排列\\組合問題的類型及解答策略

排列、組合問題，通常都是以選擇題或填空題的形式出現在試卷上。它聯系實際，生動有趣，但題型多樣，解法靈活。實踐證明，備考有效的方法是題型與解法歸類、識別模式、熟練運用，下面介紹10種排列組合問題的解答策略。

一、相鄰元素捆綁法

所謂“捆綁法”，就是在解決對于某幾個元素要求相鄰問題時可整體考慮將相鄰元素視為一個“大”元素。

例1.6名同學排成一排，其中甲、乙兩人必須在一起的不同排法共有（）種。

A.720B.360

C.240D.120

解析：選C。

二、相離問題插空法

不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其他元素將它隔開。此類問題可以先將其他元素排好，再將所指定的不相鄰元素插入到它們的空隙及兩端位置，故稱“插空法”。

例2.要排一張有6個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單，任何兩個舞蹈節目不得相鄰，問有多少種不同的排法？

解析：A74·A66

三、相同元素插板法

所謂“插板法”即先將N個相同元素排成一列，則中間有N-1個空，在中間的N-1個空中選擇m-1個空。每空放一個隔板，則把N個相同的元素分成了m部分，且每部分中至少有一個元素。

例3.要從7個班中選10人參加數學競賽，每班至少1人，共有多少種不同的選法。

解析：用“插板法”得C96=84。

四、定序問題縮倍法

在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序稱為定序問題，這類問題用縮小倍數的方法求解比較方便。

例4.信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號，現有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數是 。

解析：5面旗全排列有A55種掛法，由于3面紅旗與2面白旗分別全排列只能作一次掛法，故共有不同的信號種數為■=10種。

五、定位問題優限法

所謂“優限法”，即有限制條件的元素（或位置）在解題時優先考慮。

例5.計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一列陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有多少種？

解析：利用“優限法”得A22A44A55。

六、至少問題間接法

含“至多”“至少”的排列組合問題，是需要分類的問題，可用間接法即排除法解答。

例6.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的選法共有幾種？

解析：利用“間接法”得C93-C43-C53=70。

七、選排問題先取后排法

對于排列組合的混合應用題，一般解法是先取（組合）后排（排列）。

例7.4個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有多少種？

解析：利用“先取后排法”得C42A43=144。

八、部分符合條件淘汰法

在選取總數中，只有一部分符合條件，可從總數中減去不符合條件數，即為所求。

例8.四面體的頂點與各棱中點共有10個點，在其中取4個不共面的點，不同取法共有多少種？

解析：利用“淘汰法”得C104-4C64-6-3=141種。

九、有序分配問題逐分法

有序分配問題是指元素按要求分成若干組，常采用逐步分組法求解。

例9.有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔。從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選法共有多少種？

解析：利用“逐分法”得C102C81C71=2520種。

十、標號排位問題分步法

把元素排在指定號碼的位置上稱為標號排位問題，求解這類問題可先把某個元素按規定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續下去，依次即可完成。

例10.同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀卡，則4張賀年卡不同的分配分式有幾種？

解析：由“分步法”得3×3×1=9種。

（作者單位：江西省吉安縣第二中學）