非完整圓周運(yùn)動問題的計算

帶電粒子做完整圓周運(yùn)動時往往比較簡單，但粒子如進(jìn)入一有界磁場，其運(yùn)動軌跡將是一段圓弧，這樣的問題比較復(fù)雜，難度較大，同時也是高考的考查重點(diǎn)，處理方法一般有以下幾種。

1.圓心的確定

方法1：若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)的速度方向，則可根據(jù)洛倫茲力F⊥v，分別確定兩點(diǎn)處洛倫茲力F的方向，其交點(diǎn)即為圓心。

方法2：若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)和其中一點(diǎn)的速度方向，則可作出此兩點(diǎn)的連線（即過這兩點(diǎn)的圓弧的弦）的中垂線，再畫出已知點(diǎn)v的垂線，中垂線與垂線的交點(diǎn)即為圓心

方法3：若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)和能求得的半徑R，則可作出此兩點(diǎn)連線的中垂線，從連線的端點(diǎn)到中垂線上的距離為R的點(diǎn)即為圓心。

方法4：若已知粒子入射方向和出射方向，以及軌跡半徑R，但不知粒子的運(yùn)動軌跡，則可作出此兩速度方向夾角的平分線，在角平分線上與兩速度方向直線的距離為R的點(diǎn)即為圓心。

方法5：若已知粒子圓周運(yùn)動軌跡上的兩條弦，則兩條弦的中垂線的交點(diǎn)即為圓心。

2.半徑的確定和計算

半徑的計算一般可利用幾何知識，通過解三角形的辦法求解，并注意以下幾何特點(diǎn)：

（1）粒子速度的偏向角φ等于圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角θ）的2倍，即φ=α=2θ。如圖1所示：

（2）相對的余切角θ 相等，與相鄰的弦切角θ′互補(bǔ)，θ+θ′=180°。

3.運(yùn)動時間的確定

利用圓心角與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形的內(nèi)角和等于360°計算出圓心角的大小。若α用角表示，則t=θ/360°·T。若α用弧度表示，則t=T·α/2π，可求出粒子在磁場中的運(yùn)動時間

例1：如圖2所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感強(qiáng)度為B，一帶正電的粒子以速度V從O點(diǎn)射入磁場，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正方向的夾角為θ，若粒子射出磁場的位置與O點(diǎn)的距離為l，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。

圓心位于OA的中垂線上，由圖3所示幾何關(guān)系得L/2=Rsinθ ②

例2：圖4中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向外是MN上的一點(diǎn)，從O點(diǎn)可以向磁場區(qū)域發(fā)射電量為＋q、質(zhì)量為m、速率為θ的粒子，粒于射入磁場時的速度可在紙面內(nèi)各個方向已知先后射人的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點(diǎn)相遇，P到0的距離為L，不計重力及粒子間的相互作用。

（1）求所考察的粒子在磁場中的軌道徑。

（2）求這兩個粒子從O點(diǎn)射人磁場的時間間隔。

（2）如圖5所示，以O(shè)P為弦可畫兩個半徑相同的圓，分別表示在P點(diǎn)相遇的兩個粒子的軌道。圓心和直徑分別為O因Rcos（θ/2）=1/2L

得θ=2arccos（L/2R） ③

由①、①、③三式得：

△t=4marccos（lqB/2mv）/qB