從一道數(shù)列的典型錯(cuò)題談起

有這樣一道題：已知數(shù)列{a}為遞增數(shù)列，且a=n+λn（n∈N），則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為?搖?搖 ?搖?搖。

【典型錯(cuò)解】研究函數(shù)f（x）=x+λx（x≥1）的對(duì)稱軸x=-，要使數(shù)列{a}為遞增數(shù)列，則只需-≤1，即λ≥-2.

【錯(cuò)因分析】a=n+λn（n∈N）的圖像并非是拋物線，而是一群孤立的點(diǎn)。

【正解】事實(shí)上，f（x）=x+λx對(duì)稱軸x=-在x=1和x=2之間時(shí)，a=n+λn（n∈N）也有可能單調(diào)遞增，此時(shí)只需要-＜，即λ＞-3.

【另解】a-a=（n+1）+λ（n+1）-n-λn=2n+1+λ （*）

因?yàn)閿?shù)列{a}為遞增數(shù)列，故（*）＞0對(duì)n∈N恒成立，即λ+3＞0，所以λ＞-3.

在數(shù)列這一章中，通過(guò)研究數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決數(shù)列的最值問(wèn)題是常用的方法之一。

例1：已知數(shù)列{a}的通項(xiàng)a=（n+1）（）（n∈N），試問(wèn)該數(shù)列{a}有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由。

解：a-a=（n+2）（）-（n+1）（）=（）（-）

則當(dāng)n＜9時(shí)a＞a，n=9時(shí)a=a，即a=a，n＞9時(shí)a＜a，故{a}中存在最大項(xiàng)，即a或a.

例2：在數(shù)列{a}中，a=1，a=（1-）a（n∈N），

（Ⅰ）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若對(duì)于一切n＞1的自然數(shù)，不等式a+a+…+a＞log（a-1）+恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：易知數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a=。a+a+…+a=++…+

令F（n）=++…+，則F（n+1）=++…+++

F（n+1）-F（n）=+-=-=＞0

∴{F（n）}單調(diào)遞增，當(dāng)n＞1時(shí)，F(xiàn)（n）=F（2）=+=。只需F（n）＞log（a-1）+，

故1＜a＜.

例3：設(shè)由正項(xiàng)組成的等差數(shù)列{a}，S是其前n項(xiàng)的和，并且a=5，aS=28，（1）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；（2）求使不等式（1+）（1+）…（1+）≥a對(duì)一切n∈N均成立的最大實(shí)數(shù)a。

解：（1）易得a=2n-1。設(shè)F（n）=，則F（n+1）=·===＞1，∴要使{F（n）}單調(diào)遞增，只需F（n）==≥a.