立足考題本質,在探究中尋找通法

高考試題是所有試題材料中的精品，是命題專家們智慧的結晶，它對高中的數學教學有一定的方向性和指引性。深入研究和學習高考試題，廣大一線教學工作者能把握好教學方向，提高教學效率；面臨高考壓力的學生能克服盲目的題海戰術，歸納提煉出知識脈絡和解題方法。

本文以2008、2009兩年高考數學江蘇卷的解析幾何試題為源頭，運用方程思想對高考中出現的解析幾何探索性命題作一個通法探究。

1.2008年高考數學江蘇卷第18題

在平面直角坐標系xOy中，記二次函數f（x）=x+2x+b（x∈R）與兩坐標軸有三個交點，經過三個交點的圓記為C。

（1）求實數b的取值范圍；

（2）求圓C的方程；

（3）問圓C是否經過定點（其坐標與b的無關）？請證明你的結論。

本題主要考查含參變量的二次函數、圓的方程與曲線過定點等有關知識。難在第（3）問，這是一個探索性命題，學生普遍不知從何入手，而其實質是證明曲線過定點問題。下面我給出如下解法，探究解決這一類問題的通法。

解：（3）圓C 必過定點。

證明：假設圓C過定點（x，y）（x，y不依賴于b），將該點的坐標代入圓C的方程，并變形為（y-1）b=x+y+2x-y，

關于b的方程對所有滿足b＜1（b≠0）的b都成立，

則必有y-1=0x+y+2x-y=0

解之得：x=0y=1，或x=-2y=1

所以圓C 過定點（0，1），（-2，1）.

方法與規律：設所給曲線方程為F（x，y，a）=0（其中a為參數），若對任意參數a，要證明曲線恒過定點，則可以利用方程理論求出曲線所過定點。即假設曲線過定點M（x，y），則對任意參數a，F（x，y，a）=0恒成立。此時將F（x，y，a）=0看作是關于a的方程，則此方程有無數組解。因此，可以先將F（x，y，a）=0整理為a的方程，此時若能求得x、y，使關于a的方程的所有系數（包括常數項）均為0，那么點（x，y）就是所求定點；反之，如果這樣的x、y不存在，那么曲線F（x，y，a）=0必不過定點。

2.2009年高考數學江蘇卷第18題

在平面直角坐標系xoy中，已知圓C∶（x+3）+（y-1）=4和圓C∶（x-4）+（y-5）=4。

（1）若直線l過點A（4，0），且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；

（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l和l，它們分別與圓C和圓C相交，且直線l被圓C截得的弦長與直線l被圓C截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標。

本題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式等基礎知識。第（1）問比較簡單，容易解答；第（2）問的實質是圓心C到直線l與圓心C到直線l的距離相等。

解：（2）設點P坐標為（m，n），直線l、l的方程分別為：

y-n=k（x-m），y-n=-（x-m），

即：kx-y+n-km=0，-x-y+n+m=0

因為直線l被圓C截得的弦長與直線l被圓C截得的弦長相等，且兩圓半徑相等。由垂徑定理得：圓心C到直線l與圓心C直線l的距離相等。

故有：= ①

大多數基礎知識把握牢固的學生，可以將問題化簡到這一步，下面就不知如何繼續了。此題實質還是可以將其看成關于k的方程，下面給出如下解法：

①式化簡得：（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5

關于k的方程有無窮多解，則必有：2-m-n=0m-n-3=0，或m-n+8=0m+n-5=0，

解之得：m=-n=，或m=n=-，

所以點P坐標為（-，）或（，-）.

方法與規律：利用圓心C到直線l與圓心C直線l的距離相等建立關于m、n、k的等式F（m，n，k）=0，其中（m，n）為點P坐標，k為變參數。對于任意的參數k，等式F（m，n，k）=0恒成立。此時，將F（m，n，k）=0看作關于k的方程，則此方程有無數組解。因此，可以先將F（m，n，k）=0整理為k的方程，此時求m、n，使關于k的方程的所有系數（包括常數項）均為0，則（m，n）就是所求點P坐標。

3.通法應用舉例

例1：已知拋物線C的頂點在坐標原點，準線l的方程為x=-2，點P在準線l上，縱坐標為3t-（t∈R，且t≠0），點Q在y軸上，縱坐標為2t。

求證：直線PQ恒與一個圓心在x軸上的定圓M相切，并求出圓M的方程。

解：由題意可知：P（-2，3t-），Q（0，2t）

則直線PQ的方程為：y-2t=x，

即（t-1）x+2ty-4t=0.

設定圓M的圓心為（x，0），半徑為r（r＞0），直線PQ與圓M相切，

則=r

化簡得：（x-r-4）t=x+r或（x+r-4）t=x-r

關于t的方程對任意t∈R，t≠0恒成立，

則必有：x-r-4=0x+r=0，或x+r-4=0x-r=0

解之得：x=2r=-2（舍），或x=2r=2，

所以直線PQ恒與一個圓心在x軸上的定圓M相切，且圓M的方程為（x-2）+y=4.

點評：利用直線與圓相切建立關于x、r、t的等式F（x，r，t）=0，其中（x，0）為圓M圓心坐標，r為圓M半徑，t為變參數。對于任意的參數t，等式F（x，r，t）=0恒成立。因此，可以先將F（x、r、t）=0整理為t的方程，此時求x、r，使關于t的方程的所有系數（包括常數項）均為0，則（x，0）、r就是所求圓M的圓心坐標和半徑。

例2：已知圓C的方程為x+（y-2）=8，若在給定直線y=x+t上任取一點P，從點P向圓C引切線，切點為Q，問是否存在一個定點M，恒有PM=PQ？請說明理由。

解：假設存在一個定點M，恒有PM=PQ。

設M點坐標為（m，n），定直線y=x+t上任意一點P坐標為（x，x+t），

則有：=

化簡得：（2m+2n-4）x=m+n-2nt+4t+4

關于x的方程對任意的x∈R恒成立，則必有2m+2n-4=0m+n-2nt+4t+4=0

消去m，得：n-（t+2）n+2t+4=0（*）

又由題意知，定直線y=x+t與圓x+（y-2）=8相離，

故有＞2，解之得：t＞6或t＜-2，

所以方程（*）的判別式Δ=（t+2）-4（2t+4）=（t-6）（t+2）＞0，

故方程（*）有解，

所以存在一個定點M，恒有PM=PQ.

點評：利用PM=PQ建立關于m、n、t的等式F（m，n，t），其中（m，n）為點M坐標，t為變參數。對于任意的參數t，等式F（m，n，t）=0恒成立。因此，可以先將F（m，n，t）=0整理為t的方程，此時求m、n，使關于t的方程的所有系數（包括常數項）均為0，則（m，n）就是所求點M坐標。

例3：已知橢圓M：+=1（7＞b＞0）的離心率為，點A、B分別為其左、右頂點，點F為其左焦點，以點A位圓心，AF為半徑作圓A，以點B為圓心，OB為半徑作圓B。

問：是否存在點P，使得過點P有無數條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為？若存在，請求出所有的P點坐標；若不存在，請說明理由。

解：由題意得：a=7，e=，∴c=，

∴圓A的圓心為A（-7，0），半徑為；圓B的圓心為B（7，0），半徑為7.

假設存在點P（m，n），使得過點P有無數條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為。設直線方程為：y-n=k（x-m），即kx-y+n-km=0，

則圓A到直線的距離為：，

圓B到直線的距離為：.

所以=，即4|-7k+n-km|=3|7k+n-km|，

化簡得：（49+m）k=n或（m+1）k=n.

關于k的方程有無數組解，則必有49+m=0n=0，或1+m=0n=0，

解之得m=-49n=0，或m=-1n=0.

所以，存在點P（-49，0）或（-1，0），使得過點P有無數條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為.

點評：利用過點P的直線被圓A和圓B截得的弦長之比為建立關于m、n、k的等式F（m，n，k）=0，其中（m，n）為點P坐標，k為變參數。對于任意的參數k，等式F（m，n，k）=0恒成立。因此，可以先將F（m，n，k）=0整理為k的方程，此時求m、n，使關于k的方程的所有系數（包括常數項）均為0，則（m，n）就是所求點P坐標。

例4：已知圓O：x+y=1和圓M：（x-4）+（y-2）=9，設P為圓M上任意一點，過點P向圓O引切線，切點為Q，試探究：平面內是否存在一定點R，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由。

解：假設存在定點R（a，b），使得為定值，且=λ。

設P（x，y），則切線PQ=，又PR=，

所以，即x+y-1=λ（x+y-2ax-2by+a+b）.

∵點P在圓M上∴（x-4）+（y-2）=9，

∴x+y=8x+4y-11，

∴［8-λ（8-2a）］x+［4-λ（4-2b）］y=12+λ（a+b-11）

關于x、y的方程有無數組解，則必有8-λ（8-2a）=04-λ（4-2b）=012+λ（a+b-11）=0

解之得：a=2b=1λ=，或a=b=λ=，

所以存在定點R（2，1），使得為定值，且=；或存在定點R（，），使得為定值，且=.

點評：利用=λ建立關于a、b、λ、x、y的等式F（a、b、λ、x、y）=0，其中（a，b）為定點R坐標，λ定值，（x，y）動點P坐標。對于任意的變量x、y，等式F（a，b，λ，x，y）=0恒成立。因此，可以先將F（a，b，λ，x，y）=0整理為x、y的方程，此時求a，b，λ，使關于x、y的方程的所有系數（包括常數項）均為0，則（a，b）就是所求定點R坐標，λ就是所求定值。

上述各種類型的解析幾何探究性命題經過適當的分析求解最終都可以劃歸為含變參數的等式，利用方程思想，將等式看作關于變參數的方程，則此方程有無數組解。我們可以利用此方程的所有系數（包括常數項）均為0進行求解。