微分方程的應用教學探討

摘 要： 本文通過一些簡單的實例來說明建立微分方程的方法，使學生明確建立微分方程時如何找等量關系，提高其應用數學的能力。

關鍵詞： 微分方程 等量關系 應用

在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數關系比較困難，但導出包含未知函數的導數或微分的關系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題。在連續變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數學工具之一。

建立微分方程的一般步驟：（1）建立方程：對所研究的問題根據已知定律或公式以及某些等量關系列出微分方程。（2）求解問題：用所學知識或用數學軟件求解。（3）分析問題：通過已求得的解的性質，分析實際問題。

經驗表明，對初學者來說，多數問題出在第一步，不知如何建立方程，其中一個重要原因是不知如何找出具體問題的等量關系。下面以分類的方式總結微分方程的應用。

一、幾何問題

這類問題常用到導數的幾何意義，曲線在某點的切線的斜率就是函數在該點的導數。

例1：一曲線通過點（4，8）且在該曲線上任意點M（x，y）處的切線斜率為3x，求這條曲線的方程。

解：設所求曲線方程為y=f（x），由題意有，=3x，并且y|=8，于是y=?蘩3xdx=x+c，將y|=8代入上式，得8=64+C，故C=-56，從而得到所求曲線方程為：y=x-56.

二、動力學問題

動力學的基本定律是牛頓第二定律f=ma，這是微分方程解決力學問題的基本關系式。它的右端明顯地含有加速度a，而a是位移對時間的二階導數。列出微分方程的關鍵在于找出外力f和位移對時間的導數與速度的關系。同時，求解動力學問題時，要特別注意力學問題中的定解條件，如初值條件等。

例2：設降落傘從跳傘塔下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘離開塔頂（t=0）時的速度為零，求降落傘下落速度與時間t的函數關系。

解：設降落傘下落速度為v（t），它在下落過程中同時受到重力P與阻力R的作用。重力P=mg，方向與v一致，阻力R=kv（k＞0為常數），方向與v相反，從而降落傘所受外力的合力為F=P-R=mg-kv，由牛頓第二定律F=ma，即v=（1-e）m=mg-kv，且有初始條件v|=0.

將方程分離變量，得=，兩邊積分得-ln（mg-kv）=+C.

整理得：v=-Ce（C=e），將初始條件v|=0代入，得C=，故所求速度與時間的函數關系為v=（1-e）.

三、光學問題

這類問題常用到光學反射定律α=α（入射角=反射角），其中α、α分別是入射光線、反射光線與入射法線間的夾角。

例3：有旋轉曲面形狀的凹鏡（假設由旋轉軸上一點O發出的一切光線經此凹鏡反射后都與旋轉軸平行，求這旋轉曲面的方程。

解：設此凹鏡是由xOy面上曲線l：y=y（x）（y＞0）繞x軸旋轉而成，光源在原點。在l上任取一點M（x，y），作l的切線交x軸于A，點O發出的光線經點M反射后是一條平行于x軸射線。

由光學及幾何原理可以證明OA=OM，因為OA=AP-OP=PMcotα-OP=-x，而OM=，于是得微分方程-x=，整理得=+，這是一個齊次方程。

問題歸結為解齊次方程=+，令=v，即x=yv，得v+y=v+，即y=，分離變量得=，兩邊積分得ln（v+）=lny-lnC?圯v+=?圯（-v）=v+1?圯-=1，以yv=x代入上式，得y=2C（x+）.

這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線，它繞x軸旋轉所得旋轉曲面的方程為y+z=2C（x+），這就是所求的旋轉曲面方程。

四、電學問題

這類問題常用到基爾霍夫定律：在閉合回路中，全部元件的電壓降的代數和為0。

例4：在RLC電路中（如下圖），接有電源E，交流電動勢為Esinωt，不斷地供給能量，當開關K合上后，電路在電動勢作用下，不斷產生振蕩，試建立描述電路中電振動的微分方程。

解：設電容器上電量Q=Q（t），則電流I=，由回路電壓定律有：

于是得電量Q滿足的微分方程：L+R+=Esinωt

它是一個關于未知函數Q（t）的二階常系數線性非齊次方程，它描述了在交流電壓的作用下，RLC電路中的電振蕩，這種振蕩稱為強迫振蕩。

五、經濟學問題

新產品的推廣模型設有某種新產品要推向市場，t時刻的銷量為x（t），由于產品性能良好，每個產品都是一個宣傳品，因此t時刻產品銷售的增長率與x（t）成正比。同時，考慮到產品銷售存在一定的市場容量N，統計表明與尚未購買該產品的潛在顧客的數量N-x（t）也成正比，于是有=kx（N-x）（1.1）

其中k為比例系數，分離變量積分，可以解得x（t）=（1.2）

由=，=

當x（t）＜N時，則有＞0，即銷量x（t）單調增加；當x（t）=時，=0；當x（t）＞時，＜0；當x（t）＜時，即當銷量達到最大需求量N的一半時，產品最為暢銷，當銷量不足N一半時，銷售速度不斷增大，當銷量超過一半時，銷售速度逐漸減少。

國內外許多經濟學家調查表明，許多產品的銷售曲線與公式（1.2）的曲線（邏輯斯諦曲線）十分接近。根據對曲線性狀的分析，許多分析家認為，在新產品推出的初期，應采用小批量生產并加強廣告宣傳；在產品用戶達到20%到80%期間，產品應大批量生產;在產品用戶超過80%時，應適時轉產，可以達到最大的經濟效益。

例5：某商場的銷售成本y和存貯費用S均是時間t的函數，隨時間t的增長，銷售成本的變化率等于存貯費用的倒數與常數5的和，而貯存費用的變化率為存貯費用的-倍。若當t=0時，銷售成本y=0，存貯費用S=10試求銷售成本與時間t的函數關系及存貯費用與時間t的函數關系。

解答：由已知=+5，=-S。解微分方程得S=Ce，由S|=10得C=10，故存貯費用與時間t的函數關系為S=10e將上式代入微分方程，得=e+5，從而y=e+5t+C，由y|=0，得C=-，從而銷售成本與時間t的函數關系為y=e+5t-.

六、流體混合問題

例6：有高為1m的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面面積為1cm。開始時容器內盛滿了水，求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時間t變化的規律。

解：由水力學知道，水從孔口流出的流量Q可用下列公式計算：Q==0.62S，其中0.62為流量系數，S為孔口橫截面面積，g為重力加速度。現在孔口橫截面面積S=1cm，故=0.62或dV=0.62dt.

設在微小時間間隔［t，t+dt］內，水面高度由h降至h+dh（dh＜0），則又可得到dV=-πrdh，其中r是時刻t的水面半徑（右端置負號是由于dh＜0而dV＞0的緣故，又因r==，所以dV=-π（200h-h）dh.

通過比較得到0.62dt=-π（200h-h）dh，這就是未知函數h=h（t）應滿足的微分方程。

此外，開始時容器內的水是滿的，所以未知函數h=h（t）還應滿足下列初始條件：h|=100.

將方程0.62dt=-π（200h-h）dh分離變量后得dt=-（200h-h）dh，兩端積分得t=-?蘩（200h-h）dh，即t=-（h-h）+C，其中C是任意常數.由初始條件得t=-（×100-×100）+C，C=（-）=××10，因此t=（7×10-10h+3h）.

上式表達了水從小孔流出的過程中容器內水面高度h與時間t之間的函數關系。

參考文獻：

［1］潘家齊.常微分方程［M］.北京：中央廣播電視大學出版社，２００２，７.

［2］同濟大學數學教研室編.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，２００２，７.