大學(xué)數(shù)學(xué)中美學(xué)的研究與應(yīng)用

摘 要： 本文對大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中出現(xiàn)的一些美學(xué)進(jìn)行了研究，并用實(shí)際例子作了討論。從這些美學(xué)思想中，學(xué)生不僅可以利用美學(xué)思想更好地掌握大學(xué)數(shù)學(xué)知識，而且可以從中接受美的熏陶，將美的思想帶入到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)當(dāng)中。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)美學(xué) 大學(xué)數(shù)學(xué) 美學(xué)教育

1.引言

自然科學(xué)及人文科學(xué)中的美，也都能在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)出來，并且顯示出它獨(dú)有的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為:“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也就是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目。詩歌能動(dòng)人的心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。”具體地說，數(shù)學(xué)美的特征主要有統(tǒng)一美、對稱美、簡潔美、奇異美。大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程一般是指微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。雖然數(shù)學(xué)美是客觀存在的，但要在具體的數(shù)學(xué)課程，尤其是大學(xué)數(shù)學(xué)課程中體現(xiàn)出來，與教學(xué)相結(jié)合，卻并非容易的事情。這主要是因?yàn)閮蓚€(gè)原因：1.大學(xué)數(shù)學(xué)是高度抽象、具有嚴(yán)密邏輯性的科學(xué)，要體現(xiàn)具體的美學(xué)思想不容易切入；2.大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)時(shí)間安排一般都十分緊湊，如果從教學(xué)內(nèi)容中引入美學(xué)思想，就有可能導(dǎo)致教學(xué)進(jìn)度受影響，因此往往難以深入。正因?yàn)檫@些原因，要求教師在處理教材時(shí)，從內(nèi)容本身出發(fā)，找出其中蘊(yùn)含的美學(xué)思想，吸引學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的濃厚興趣。已有一些文獻(xiàn)做了這方面的工作。如錢雙平提出了對稱美在微分學(xué)和積分學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用［１］；我在文獻(xiàn)中從費(fèi)馬原理出發(fā)，討論了對稱美在運(yùn)籌學(xué)中的應(yīng)用，提出了一些巧妙的算法；劉學(xué)鵬論及了非齊次線性方程組解的優(yōu)美的逆向問題［３］。這些都是數(shù)學(xué)美在大學(xué)數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn)。

本文從以下幾個(gè)方面討論了數(shù)學(xué)美，為數(shù)學(xué)美學(xué)的研究提供了很好的素材。

2.從差分方程看數(shù)學(xué)的形與數(shù)的統(tǒng)一美

高等數(shù)學(xué)里有差分方程這一章節(jié)。教材里一般是給出一個(gè)差分方程，就有一個(gè)相應(yīng)的解析解。但事實(shí)上有一類差分方程，即混沌方程，是沒有解析解的，即使給出數(shù)值解也是不可能的。它是無限不循環(huán)的，卻有著確定的概率分布，在圖形的點(diǎn)集上可清楚地顯示出來，因此是形與數(shù)的美妙統(tǒng)一。

概率統(tǒng)計(jì)教程中，教師總是難以找到較好的隨機(jī)數(shù)據(jù)來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。其實(shí)我們可利用這個(gè)差分方程來作為良好的偽隨機(jī)數(shù)生成器。方法是：將x的值按順序置于［0，1］的線段上，并分成2n個(gè)子區(qū)間，區(qū)間循環(huán)取0、1，便得到隨機(jī)性能良好的偽隨機(jī)序列。這個(gè)方法已由我在文［４］中得到論述。現(xiàn)在我們便可用它來驗(yàn)證概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的大數(shù)定律，對于二項(xiàng)分布，只須檢驗(yàn)De Moivre-Laplace定理。這是確定性與不確定性、偶然與必然的統(tǒng)一美。

De Moivre-Laplace定理：設(shè)隨機(jī)變量?耷（n=1，2，…）為具有參數(shù)n，p（0＜p＜1）的二項(xiàng)分布，則對于任意區(qū)間［a，b）恒有：

p{a≤＜b}=?蘩edt

驗(yàn)證步驟：

步驟1：取一段用x=1-2x生成的長度為N的“0－1”偽隨機(jī)數(shù){x}。取{x}的長度為n的不同子集A（k=1，2，…），n＜N；

步驟2：對不同的A，計(jì)算頻數(shù)?耷，即A中1的個(gè)數(shù)。取任意區(qū)間［a，b），計(jì)算落入［a，b）頻率，記為F；

步驟3：查表計(jì)算?蘩edt，比較它與F的誤差；

步驟4：對不同的［a，b），重復(fù)上述步驟。

3.矩陣與幻方的形數(shù)統(tǒng)一美、奇異美

線性代數(shù)教程里提到應(yīng)用的實(shí)例較少，是因?yàn)閷I(yè)知識所限。課本里涉及到的矩陣，大多有很好的對稱性與規(guī)律性，解答結(jié)果也有一種簡潔美。利用這些知識可以解決一些問題，如幻方。這就是數(shù)與形的統(tǒng)一美。

這個(gè)增廣矩陣是一個(gè)很有規(guī)律的矩陣，可筆算或利用Matlab軟件就可以方便地計(jì)算出來。同理也可以算得四階幻方。

4.結(jié)語

大學(xué)數(shù)學(xué)里的許多章節(jié)知識里都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)美，但這些美不僅需要教師去挖掘，而且要能舉出實(shí)際例子使之具體體現(xiàn)出來。本文所論述的數(shù)學(xué)美主要是形與數(shù)的統(tǒng)一美、確定性與不確定性的統(tǒng)一美，它對數(shù)學(xué)的美學(xué)教學(xué)能起到良好的輔助作用。

參考文獻(xiàn)：

［1］錢雙平.對稱性在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用. 云南電大學(xué)報(bào)，2004，6，（2）：61.

［2］王福來.對稱原理在有條件極值問題中的運(yùn)用與研究. 考試周刊，2010.4，（17）：66.

［3］劉學(xué)鵬.對稱矩陣和諧的外在美和內(nèi)在美［J］.高等理科教育，2004，（2）：80.

［4］Wang Fulai.A universal algorithm to generate pseudo-random numbers based on uniform mapping as homeomorphism.Chinese physics B，2010，19，（9）：0905051―0905056.

基金項(xiàng)目：浙江省新世紀(jì)高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目；浙江財(cái)經(jīng)學(xué)院教改項(xiàng)目。