有效處理算理與算法的過渡和聯系

《新課程標準》提出：“應重視口算，加強估算，提倡算法多樣化；應減少單純的技能性訓練，避免繁雜計算和程序化地敘述‘算理’”。《新課程標準》對計算教學提出了更高的要求，要實現這些要求，就要有效處理算理與算法過渡和聯系。處理算理與算法的過渡和聯系，就是讓學生探究算理的同時呈現算法多樣化；或者讓學生呈現多種算法，教師及時引導學生比較、梳理、溝通各種算法，同時引導學生通過多種方法理解“為什么要這樣算”的算理，即在算法中探索算理，用算理歸類、提升算法，使學生的算法擁有算理的支撐，從而走得更遠。

當前大多數教師在計算教學中是這樣處理算理和算法的：讓個別學生介紹自己的算法，然后讓全體學生選擇自己喜歡的算法進行計算。而這些算法來自于某些優生，這實質上就是優生代替教師教學、代替全體學生學習算法，全體學生沒有真正經歷探究“為什么要這樣算”的過程，造成了假象的算法多樣化，學生因算理的缺失而無法在原有基礎上獲得新的計算方法。因此，正確處理算理與算法的過渡和聯系，已成為目前計算教學至關重要的問題。

一、了解學生，捕捉算理與算法的過渡點

通過觀察、調查、分析等方法了解學生原有的經驗和計算基礎，捕捉算理和算法的過渡點。比如教學“萬以內口算加減法”時，未調查前教師作出如下估計：學生有了百以內加減法口算，學生學習萬以內口算加減法不會有困難，比如學習了500+800=1300，估計學生會推出500+500=1000，1000+300=1300；或者會想5個百加8個百是13個百、也就是1300這兩種方法。學生可能只是在計算500+960時會有困難，這樣教師當時關注的就是學生會出現幾種算法，即關注算法多樣化。

經過調查分析學生情況后發現：學生學過百以內加減法口算，但由于學生剛接觸萬以內大數，而且這是大數加減法的第一課，是打基礎的課，學生對于大數口算加減會感到有一定的難度。500+800是進位的，學生思維還要經過一次進位。學生直覺是5+8=13，再加2個0，因為學生學過百以內數加減，相同數位上的數相加減，但不能理解為什么用5+8=13，即算理上的困惑。如果課堂讓學生介紹方法，同樣會出現讓由個別優生介紹方法的假象多樣化的情況。因此，多種算法呈現的同時產生算理的認知沖突即是本節課算理與算法的過渡點。

二、利用過渡點，在算法中探索算理

數學活動是學生自主建構數學知識的活動，有效的數學活動應建立在學生已有的經驗和基礎上，尋找學生最近發展區，為學生提供學習的時間、空間、工具，讓每位學生經歷動手操作、觀察、思考、計算等一系列數學活動，學生得以產生多種算法。當學生產生某種新算法時，激發學生想解決問題的需求，同時使學生產生“為什么這樣算”的困惑，教師及時捕捉學生需求與困惑這一過渡點，為學生提供方法、學具，引導學生利用學具操作、觀察圖形與算式，并思考“為什么這樣算”，使學生從算法的呈現自然地進入對某一算法中算理的探索。即在教學中讓學生經歷動手操作、觀察、思考、計算等一系列數學活動，真正自主建構計算算理、計算方法等數學知識，讓學生不僅僅會用多種方法計算，而且會思考為什么這樣算，會有序思考。

1.提供學習時空。

計算教學時，學生要有充分的從事數學活動的時間和空間，讓學生得以產生多種算法，深入探索算理，有機會對各種算法進行分析、比較、歸類，總結算法。

2.提供工具。

計算教學要重視在具體情境中體驗、理解，特別要為學生提供計算方法、學具等工具，讓學生運用方法、學具有效地自主探索計算方法。特別是低計算，要巧妙提供工具，讓抽象的計算變為具象，將工具運用與計算方法的學習有機結合，做到數形結合，讓學生在動手操作中觀察、思考，呈現多種算法，同時，當學生在思考“怎么算”這一算理上產生認知沖突時，引導學生從數回到圖形，利用工具探究怎么算。

比如教學“500+800”口算時，教師為學生提供計數器、方格圖，讓學生計算，學生有的利用計數器，有的擺方格圖，有的用百以內加減法的口算方法直接口算等多種方法，在呈現多種方法的同時學生出現算理上的認知沖突。學生提出了5+8=13，13后面加2個0就是1300，這時另一位學生質疑：2個0加2個0應該變成4個0。一位學生又質疑：0加0不還是什么也沒有嗎?學生的認知在500+800=1300與5+8=13之間產生了沖突。這時，教師要及時利用方格圖，同時把探索的空間還給學生，讓學生互想問、說想法、互相補充。第一次：讓學生動手擺方格圖，學生邊擺邊介紹：1張100就是1個100，先擺500。再擺800，合起來是1300；第二次：讓全體學生觀察方格圖，想一想，500+800=1300與5+8=13之間有什么關系?學生開始觀察圖形和算式，圖形與算式相結合，算式與算式相比較，有的說都有I、5、8、3等數字，有的說第二個算式沒有十位、個位(5和8是百位上的數字)，有的通過將圖形與算式相結合后發現5是5張，即5個百；8是8個百，所以500+800=1300就是5個百加8個百就是13個百，也就是1300。

教師捕捉算理與算法的過渡點，即抓住500+800：1300變成5+8=13這一認知沖突，利用學生產生了探索算理的問題及解決問題需求這一學習契機，從算法多樣化及時引導學生探究算理“你是怎么算的”。為學生提供探索工具，讓學生動手擺、觀察、比較，逐步探究5個百+8個百=13個百、也就是1300這一算理，改變以前程序化地敘述算理的方法，又克服當前不經歷算理的探究過程這一問題，教師通過圖形與算式結合的方法，讓學生從圖形到算式，再從算式到算式，經歷了縝密的數學思考過程。

三、有效引導，溝通算理與算法的聯系。

計算教學的過程是算理與算法互相交融的過程，如何過渡與溝通，如何讓學生在理解算理的同時呈現各種好的算法，在學生有多種算法的同時又有算理的支撐，這是讓計算走得更遠的根本原因，也是培養學生數學思維與綜合能力的重要渠道。

1.引導學生歸類。

學生有多種算式，有時表達不同，但實際上計算方法是相同的，如果教師能及時引導學生觀察、比較，使學生發現相同的算法，避免重復，就能培養學生發現同一種方法有不同的表達方式，使學生數學思維清晰，加強學生思維的深刻性，培養學生的方法意識。比如有一位學生說：500+500=1000，1000+300=1300；另一位學生說800+200=1000，1000+300=1300，教師及時引導學生觀察、比較這兩種方法有什么共同點，學生們經過比較后發現這兩種都采用拆數的方法。接著又有一位學生用撥計數器，百位撥5個珠子表示500，再撥5個珠子，滿十向千位進一，800撥500還剩300，所以百位還有3個珠子，就是1300。教師又引導學生觀察：這種與哪種方法相同?學生們經過觀察后發現以上兩種方法是一樣的，只不過前兩種是直接口算，這種借助計數器。當前課程改革的數學計算教學中，教師們根據課標精神提倡算法多樣化，因此課堂上學生經常出現多種算法，要讓多樣化的算法有序、高效，要如以上方法引導學生觀察、比較，讓學生進行歸類。可以按口算與筆算歸納，按運用學具或不用學具歸類，按拆數或幾個百加減幾個百歸類等等，將看似無序的多種方法進行梳理，并提煉方法，使學生學會萬以內口算加減法的計算方法，并能在以后的學習中運用，從而學會靈活解題。

2.引導學生梳理。

當各種方法呈現，學生也理解算理之后，教師引導學生觀察各種方法，比一比有什么相同點和不同點。當50+800=1300教學結束后，教師引導學生觀察、梳理有哪幾種方法。學生歸納出：用擺小棒、撥計數器、口算、列豎式。教師引導學生了解，擺小棒、撥計數器其實就是口算，而口算中有以下兩種方法：用拆數，湊成整千；也可以用幾個百加幾個百的方法。經過梳理，學生形成了知識網絡，真正實現了學生數學學習的建模。當教學結束時，教師讓學生觀察500+800=1300、960+500=1460、800-500=300960-500-M60這四道題，讓學生想一想，整百數相加減及幾百幾十數相加減有什么方法，各方法有什么相同點和不同點。