圓周率新議

摘要：目前小學數學教科書中對圓周率下的結論是“圓周率是一個固定的數，是一個無限不循環小數”。我認為“圓周率是一個固定的數，但不是一個無限不循環小數。而是一個固定的有限小數。”可利用阿基米德定律計算圓周率的準確值。

關鍵詞：傳統推算方法；剖圓術；近似值；另辟蹊徑；阿基米德定律；準確值

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315(2010)8-110-001

關于對圓周率的研究，已有兩千多年了。約兩千多年前，我國古代數學著作《周髀算經》中就有“周三徑一”之說。約1500年前，我國偉大的數學家祖沖之在世界上第一個把圓周率精確到小數點后面第6位，大約在3.1415926和3.1415927之間。還采用了兩個分數值表示，一個是“22／7”，稱之為“約率”，另一個是“355／113”，稱之為“密率”。現在人們利用計算機已能計算到小數點后面的上億位。目前小學數學教科書中對圓周率下的結論是“圓周率是一個固定的數，是一個無限不循環小數”。

這個結論我認為并不完全正確。我認為“圓周率是一個固定的數，但不是一個無限不循環小數。而是一個固定的有限小數。”為什么這么說呢?

一、所采用的推算方法不可能得到圓周率的準確值，只能得到一個非常接近于準確值的近似值

最初，古人用線測或滾動的方法來推算圓周率，這兩種方法具有很大的局限性，且容易出現人為性的誤差。如線的松緊、圓周的光滑程度、滾動時的錯位等都會造成誤差。即使同一個圓，測量幾次也會得到不同的結果，只能得到圓周的近似長度，只能得出“圓的周長總是直徑的3倍多一些”這個結論。

后來古人采用的推算方法是割圓術，即在圓內做正n邊形和在圓外做正n邊形。用在圓內做正n邊形的方法求出的圓周率是3.1415926，古人稱該數為“脯數”，即祖沖之所命名的“約率”。從圓的內接正六邊形算起，逐次加倍邊數，一直算到內接正24576邊形時，它的各邊長度總和只能逐次接近但永遠小于圓周的周長，由此求出的圓周率為3.14159261，這是一個小于圓周率的近似數值。用在圓外做正n邊形的方法求出的圓周率是3.1415927，占人稱該數為“盈數”，即祖沖之所命名的“密率”。由于外切正多邊形各邊邊長的總和永遠大于圓周的長度，所以這個數總比真實的圓周率大。由此不難看出采用割圓術，不能得到圓周的準確長度，只能得到一個非常接近于圓周準確值的極限值，因此也只能得到一個非常接近于圓周率準確值的近似值。

如今利用計算機來計算圓周率，只是采用了先進的計算工具，增加了正n邊形的邊數，提高了計算速度，而推算方法沒有變，所得的結果仍然是圓周率的近似值，只不過更為精確罷了。在生產實踐應用中可以根據實際情況，取圓周率的近似值，但并不能因此而說圓周率是一個無限不循環小數。

二、原結論與以下數學知識相矛盾

1 任何有理數數都能被2除盡。圓是一種平面曲線圖形，圓周是一條封閉性的曲線，那么圓周的長度應是有限的，是一個有理數。圓周率是圓的周長與直徑的比的比值，也就是圓的周長除以直徑的商。當圓的直徑為2時，圓周率應是一個有限小數。

2 任意一個分數的分數值，要么是有限小數，要么是一個無限循環小數。即使當圓的直徑不為2，是3、7、11……時。圓周率作為周長與直徑的比值d／π，要么是有限小數，要么是一個無限循環小數，絕不會是一個無限不循環小數。

由此可以斷定“圓周率是一個無限不循環小數”的說法是錯誤的，而應是一個無限循環小數或有限小數。

三、原結論違背了“事物的偶然性與必然性相統一”這一哲學原理

從哲學角度上講，事物的偶然性與必然性是相統一的。必然性必然包含偶然性，必然性通過大量的偶然性表現出來，沒有脫離偶然性的純粹必然性；偶然性必然體現必然性，沒有脫離必然性的純粹必然性。“圓周率是一個無限不循環小數”這一結論，沒有將“當圓的直徑為2時，圓周率應是一個有限小數”和“當圓的直徑為3、7、11……時，圓周率作為周長與直徑的分數值，要么是有限小數，要么是一個無限循環小數”這兩種情況包含進去，也就是說必然性脫離了偶然性；“當圓的直徑為2時，圓周率應是一個有限小數”和“當圓的直徑為3、7、11……時，圓周率作為周長與直徑的分數值，要么是有限小數，要么是一個無限循環小數”這兩種情況不能體現“圓周率是一個無限不循環小數”這一結論，也就是說偶然性脫離了必然性而獨立存在。

總之，以上三點充分證明了“圓周率是一個無限不循環小數”的說法是錯誤的，而應是“一個無限循環小數或有限小數”。

那么“圓周率究竟是一個無限循環小數還是一個有限小數”呢?從哲學角度上講，根據“事物的偶然性與必然性是相統一的”這一原理，圓周率應是一個有限小數。當圓的直徑為3、7、11……時，它的周長實際也能被它正好除盡，只是我們目前無法測量出圓周的長度。

那么，“圓周率這個固定的數”究竟是多少呢?那就需要我們重新來推算。采用什么方法來推算呢?仍用割圓術是不行的，需要換個角度，另辟蹊徑，如利用阿基米德定律，即將圓柱體放人裝有水的長方體容器內(完全浸沒)，算出它的體積，再用它的體積除以它的高，得出它的底面積，再用它的底面積除以它的半徑的平方數，即可得到圓周率。(長方體容器、圓柱體必須精密，高必須測量準確)

或許后人會有更好的方法。若計算出圓周率的準確值，必將給相關科技領域帶來重大突破。因此，我們應重新給圓周率下結論：圓周率是一個固定的數，是一個有限小數。使后人明白圓周率目前是采用割圓術得到的一個近似值，它的準確值需要繼續去研究。