基于數學方法論中的“數感”研究

摘 要: 本文通過對數學方法論中“數感”概念、作用的闡述，提出在高中數學教學中如何培養學生“數感”的四種方法。

關鍵詞: 數感 培養 研究

一、數感的概念

數感不是一個新的概念，早在20世紀初，英國數學大師哈代(Hardy)發現了印度天才數學家拉馬努金(Ramanujan，Srinivasa Aaiyangar)，他沒有受過嚴格的數學訓練，卻能獨立發現3000—4000個公式的高超技巧，唯一的解釋就是拉馬努金具有超凡的數感。何為數感?它是一種高層次的思維，是指對數的含義、計數技能、數的順序大小、數的多種表達方法、模式、數運算及結果的準確感知和理解等。數感是人的一種基本的數學素養，它是建立明確的數概念和有效地進行計算等數學活動的基礎，是將數學與現實問題建立聯系的橋梁。[1]

二、數感的作用

我國基礎教育課程改革《高中數學課程標準》第一次明確把數感作為數學學習內容的首要核心概念提了出來，并對它進行淺顯的解讀:數感是人對數與運算的一般理解，可以幫助人們用靈活的方法做出數學判斷和為解決復雜的問題提出有用的策略;在數學方法論中，數感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數和運用數的態度和意識，是人的一種基本的數學素養。

美國心理學家和教育家、結構主義教育思想的代表人物布魯納(Bruner)強調:“數學知識不是一個簡單的結果，而是一個過程。”學生的年齡特點決定他們的思維在認知活動中正從具體形象思維向抽象邏輯思維發展。在數學教學中發展學生的“數感”是極其重要的。“數感”的建立可以理解為讓學生學會“數學地”思考問題，這對學習數學的每個人都是非常重要的。

三、課堂教學中培養學生的數感的方法

如何在具體的教學中培養學生的“數感”，根據實際教學經驗與調查研究，我們認為下面幾種方法必不可少。

1.構建探索平臺，在表達與交流中培養學生數感。

心理學研究表明，每個人有一種與生俱有的、以自我為中心的探索性學習方式。而這種探究性學習非常有助于培養學生的數感。數感不是通過教師的傳授而能得到培養的，重要的是讓學生自己去感知、體驗、發現，主動探索，使學生在探索中不斷積累數學經驗的同時，數感也得以培養。《高中數學課程標準》強調:“要引導學生聯系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察事物的特征建立解決數學問題的模型和實驗等活動，深刻感受數學的內涵和思想，體會用數學語言來交流和表達的作用，初步建立數感。”在教學中，教師應為學生創設數學問題情境，讓學生在討論的過程中互相啟發、互相借鑒，體會數學的廣泛用途，使學生在交流對數學思想的感知時，拓展思維，豐富自己對數學概念、思想的認識，進一步體會數學的核心價值，從而促進數感的快速形成。

2.創設生活情境，在體驗中培養數感。

數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫的科學，它源于生活，并優化生活。荷蘭著名數學家和教育家弗蘭登塔爾(H.Freudenthal)提出:要從學生的生活中發現并創造數學。即強調從學生熟悉的生活環境和生活經驗出發進行教學。數學教學只有從學生的生活經驗和已有的知識出發，創設與學生生活環境、知識背景密切相關，引人入勝、充滿誘惑的生活情景，才能激發學生學習興趣，調動學生學習積極性和主動性，使學生的好奇心得到滿足，產生情感共鳴和極大的求知欲，幫助學生真正理解“數感”的意義。

3.在解決問題中培養學生數惑。

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞指出:解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的?”“是什么促使你這樣想，這樣做的?”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程。在這個思維過程中可以培養數學生的“數感”。[2]比如說:在數學家費馬和笛卡爾的時代，數學家就已經發現多項式的根與多項式的因式之間的關系。如果多項式f(x)=0有根x=a，則f(x)有因式x-a。

從已知的自然倒數平方和的求解方法可以大致地看到:雖然發現這樣奇怪的級數和存在某種偶然性，但是人們通過“數感”還是可以推斷當初求和的直觀情景。培養學生的數感要讓學生有意識地將現實問題與數量關系建立起聯系。教師應使學生學會從現實情境中提出問題，從一個復雜的情境中提出問題，選擇恰當的方法解決問題，并對運算結果的合理性做出解釋，同時也使原來已具備的“數感”得到了更進一步的強化。

4.引導動手實踐，在體驗中培養數感。

數學家費登塔爾認為:“數學源于現實，寓于現實，用于現實。”在教學中教師應盡可能地創設條件抓住契機，帶領學生走出課堂，參加社會實踐活動。在活動中教師應為解決問題而選擇適當算法，并對結果合理性作出解釋，使學生感受到數是人們生活、勞動和學習不可缺少的工具。

瑞士心理學家皮亞杰說:“兒童思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就得不到發展;智慧的鮮花是開在手上的。”而動手實踐活動又是學生學習過程的展示，學生在動手實踐時若是眼、手、口、心齊動，并在此過程中自主探索、交流，往往能更好、更深刻地體驗到數感的存在和奇妙。前蘇聯教育家贊可夫說過:“從學生生活經驗中舉出的例子，將有助于他們把所學習的概念跟日常生活中十分熟悉的事物之間建立起聯系來。”

下面舉例說明:反三角函數的性質。具體作法是:抓住函數中“對應”這一實質，從圖形上去觀察這種“對應”，從而使學生發現，當自變量取全體實數時，正弦函數不具有反函數。利用電腦多媒體技術的優勢，以鮮艷的色彩、生動的動畫來激起學生了解新知識的興趣。正弦函數在定義域內沒有反函數，那么這里的反正弦函數概念是怎樣得到的呢?

提出問題:在(-∞，+∞)內正弦函數沒有y→x的一一對應存在，但在定義域的局部會不會存在這種對應呢?如果有，又應找出哪一段呢?學生可能指出[-π/2，π/2]區間，也可能指出[π/2，5π/2]區間……哪一個是正確答案呢?這時我出示電腦投影，由學生逐個分析(在出示的局部圖形中應包括[0，5π/2]這樣的區間)，應該選取怎樣的區間來得到y→x的一一對應。最終，學生逐漸得到結論:(1)[0，5π/2]這部分不符合要求，因為在這一區間內，有y→x的一對二的對應存在。(2)[-π/2，0]，[0，π/2]不符合要求，因為它們的函數值不能取到[-1，1]內所有值，這會導致反函數的定義域不符合要求。(3)[-π/2，π/2]，[π/2，5π/2]這兩個區間哪一個可以呢?我引導學生發現:從利于研究問題的角度看，以[-π/2，π/2]這一部分來得到反正弦函數最好。在這一部分中，有y→x的一一對應存在，有正負銳角這種比較容易處理的自變量，而且y取到[-1，1]的全體值，確保反函數的定義域是原函數的值域。整個過程逐步培養數感，數感也得到了充分體現。

數學知識比較抽象，學生大腦中不能較好地建立數感表象，更不能真正理解知識的內涵。只有當學生把所學知識與生活經驗聯系起來，才能更好地掌握知識，內化知識。教師在教學中要讓學生更多地接觸和理解現實問題，引導學生從現實生活中發現并提出簡單的數學問題，探究解決問題的有效途徑。

總之，學生數感的建立不是一朝一夕的事，而是需要學生在長時間數學學習生活中慢慢體驗，不斷進行數學思維，領悟數學思想方法，不斷積累經驗，逐步建立。教師在具體的數學教學中應根據學生的認知水平和思維特點進行教學，要結合學情，提供豐富的數學素材，采用多種手段，諸如:利用現代化的多媒體教學手段，強化數學的感性認識，幫助他們理解抽象的數學概念、定理和命題等。在生活體驗中加強對學生數感的培養，以促進學生數學素養的進一步提高。學生在解決問題的過程中選擇適當的算法，對運算結果的合理性作出解釋，也是形成和強化數感的具體體現。

參考文獻:

[1]http://blog.eduol.cn/25/47926/archives/2007/390629.html.

[2]波利亞著.閻育蘇譯.怎樣解題.北京:科學出版社，1982.