關于數學題解題結果的檢驗方法

摘 要: 很多學生都有題訓練了不少，但是解題的正確率沒有提高的感受，本文作者認為是因為缺少必要的檢驗。本文列舉了兩個檢驗的方法，并運用于解題過程，希望對高中學生提供一點幫助。

關鍵詞: 解數學題 檢驗 檢驗方法

很多學生有這樣的感受:書讀了不少，題目解了很多，但是成績卻沒有很大的進步。我認為，缺少檢驗是一個原因。在解題完成后，對解題的結果進行檢驗、總結、歸納，從中發現一些新方法，就能夠使解題的技能不斷提高。

一、檢驗方法

解題后的檢驗，就是要對出現的錯誤進行分析，對解題過程進行反思。題目解完了，有學生就認為可以高枕無憂，可以沉浸在勝利的喜悅中。實際上，在解完某一道題后，應該這樣考慮:結果有沒有錯?錯誤的原因是什么?能否簡化解題過程?能夠檢驗這結果嗎?能夠檢驗這論證嗎?對解題者來說，檢驗很重要:可以知道答案的正確性，可以豐富解題經驗。以下列舉兩個檢驗方法，并且運用于解題過程。

1.代入檢驗法

對我來講，代入檢驗法的靈感來自初中數學分式方程的驗根。求出未知數的值后必須驗根。驗根時把根代入原式，如果分母為0，那么這個根就是增根。否則這個根就是原分式方程的根，比如:解方程=，兩邊乘以(x-1)(x+1)，得2(x+1)=4，x=1，經檢驗，x=1使分母為0，是增根，舍去，所以原方程無解。(解分式方程要驗根)我認為，解所有方程都應該檢驗。

2.特殊化檢驗

經常可以取特殊情景(特殊函數、特殊點或值、特殊圖形)驗證或推理，例如條件是f(x+1)=f(1-x)，可以研究函數f(x)=(x-1)，f(x)=-(x-1);如果比較ab，ab的大小，嘗試取情況一:a=2，b=2;情況二:a=2，b=3;情況三:a=3，b=2，代入一試，得初步的判斷ab≥ab(此題用作商法可解決，不過，代入特殊值可首先得出判斷)。如果是正四面體或者底面是正方形的正棱錐，可以馬上想到安放在正方體中，正方體又可以安放在球體中，兩正方體可構成一長方體……

平常可以看些數學史方面的書，就會有檢驗的靈感。比如:可以這樣發散思維:0和1是最重要的數(例如:比較大小是作差、作商再與0、1比較:a，b∈R，a/b≥1?圳a-b≥0?圳a≥b;等差數列分公差d=0，d≠0兩種情況討論，等比數列分公比q=1，q≠1兩種情況討論等，都和0、1有關系)，由0和1可以獲得一系列重要的數，比如:正數方向:2=1+1，3=1+1+1等，=，……負數方向:-1=0-1，有了-1，其余的數可以類推。由0和1再有特殊坐標點:(x，y)=(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(-1，-1)，(x，y，z)=(1，1，1)……可以用于檢驗的素材就豐富了。又如函數:從f(x)=1，f(x)=x出發，可以派生出:f(x)=±1， ±x，±2x，±3x;增大次方:f(x)=x， f(x)=x;組合:g(x)=1+x+x+x;取負:t(x)=-(1+x+x+x);一般化:h(x)=a+bx+cx+dx……;又如:用平面去截正方體，考慮以下情況:有沒有正三角形?有沒有正方形?五邊形呢?六邊形呢?正方體可以用平面截得正四面體嗎?正方體本身是正六面體，可以用平面截得八面體嗎?(連接正方體各面的中心可得)

又例如:等差數列的求和公式為S=na+=n+(a-)n，因為首項、公差為常數，所以令=A，a-=B，則求和公式是二次函數:S=An+Bn(A，B是常數)，所以，只要看到某數列的求和公式為S=An+Bn的形式，就可以想到該數列是等差數列(出題者可以和二次函數聯系起來出題;對于通項公式，可以和一次函數聯系起來出題)。

我們甚至可以想到:由于1+2+3+4+…+n==+=An+Bn，是關于n的二次函數，那么，正整數的平方構成的數列的前n項和:

1+2+3+4+5+…+n=An+Bn+Cn+D(關于n的三次函數)成立嗎?

正整數的立方構成的數列的前n項和:

1+2+3+4+…+n=An+Bn+Cn+Dn+E(關于n的四次函數)成立嗎?

通過代入n=1，2，3，4，5以后，得到A，B，C，D，E的值，和熟知的公式:

1+2+3+4+5+…+n=，

1+2+3+4+…+n=[]。進行對比，猜想得到了檢驗。

對于等比數列，有類似的結果:當公比q≠1時，因為首項和公比是常數，所以:

S==-q=T-Tq(T是常數)，

可以和指數函數聯系起來出題。所有這些，都可以作為檢驗的素材。

二、例題

例1.已知數列{a}中，a=b，a=ca+d，求{a}的通項公式。

分析:如果直接就用遞推法，即:a=ca+d=c(ca+d)+d=…=cb+(c+c+…+c+1)d=cb+d，顯然可以得部分答案。但是，可以這樣分析，結果既然出現了分母為c-1，是否分母可能為0?于是，在解完后檢驗結果，聯想到分類討論思想。首先，分c=0，c≠0，c=1，c≠1四種情況討論;其次，可以特殊化檢驗取b=1，c=2，d=1探索解題規律，可以用b=3，c=4，d=5檢驗結果。再次，此題可以用構造方法解答。

解:(1)當c=0時，則a=b，a=d(n≥2)(必須首先考慮到)。

(2)當c≠0時，設a=ca+d可以轉化為:a+x=c(a+x)。

則cx-x=d，x=，則數列{a+}是首項為a+，公比為c的等比數列。a+=c(a+)，整理后，得a=(構造法)。

(3)當c=1時，

a=a+d，{a}為首項為a，公差為d的等差數列。a=b+(n-1)d。

(4)當c≠1時，a=ca+d=c(ca+d)+d=…=cb+d(遞推法)。

最后，檢驗(在草稿上進行)。

對解答過程的總結:解答采用了分類討論思想，是在沒有分類討論的情況下得出結果后進行檢驗而聯想到分類討論思想，解答完成后，經過檢驗當b=3，c=4，d=5時，符合一般的結果:a=，還采用了構造轉化的思想，解答的結果與用遞推法解答的結果一致(構造法與遞推法對照檢驗)。

例2(2009年理數全國卷一):不等式<1的解集為()。

A.{x|01} B.{x|0

解:從最簡單的備選項D入手，取特殊化x=-1代入，則<1滿足題意，即x=-1是不等式的解，排除A、B、C，選擇D。

例3.(2009年理數全國卷二):設集合A={x|x>3}，B={x|<0}，則A∩B=()。

A.?覫B.(3，4)C.(-2，1)D.(4，+∞)

解:由于觀察到x>3，所以取x=3.5，則<0，滿足題意，排除A、C、D，選B。

例4(2009年文數全國卷一):設等差數列{a}的前n項和為S，公比是正數的等比數列{b}的前n項和為T，已知a=1，b=3，a+b=17，T-S=13，求{a}，{b}的通項公式。

解:設{a}的公差為d，{b}的公比為q。公比是正數，則q>0。

由a+b=17得:1+2d+3q=17，由T-S=12得:q+q-d=4，

于是:q=2，d=2，a=2n-1，b=3×2。

代入檢驗(在草稿紙上進行):數列{a}為1，3，5……，數列{b}為:3，6，12……，滿足:a+b=17，T-S=3+6+12-(1+3+5)=12，所以，經檢驗，答案正確。

例5(2009文數全國卷二):設等差數列{a}中，aa=-16，a+a=0，求{a}的前n項和S。

解:設{a}的公差為d，則有:(a+2d)(a+6d)=-16a+3d+a+5d=0，

解得:a=-8d=2或a=8d=-2。

(在草稿上進行代入檢驗，a=-4，a=-2，a=2，a=4，經檢驗，答案正確;或者a=4，a=2，a=-2，a=-4，經檢驗，答案正確)。

故S=-8n+n(n-1)=n(n-9)或S=8n-n(n-1)=-n(n-9)。

在解題過程中，用于檢驗的方法很多，可以檢驗的也題很多，以上只舉了兩個方法四個例子，學生平常稍加注意，多積累檢驗的方法，就可以提高解題的正確率。當然，檢驗答案需要花費時間，不過，如果學生在平時就養成檢驗的習慣，加上適當的解題速度訓練，那么，在考試時，就可以節約時間來對一部分題進行檢驗，以保證答案的正確性。