對講授“三力平衡匯交定理”的一點探討

摘要本文采用解析法證明了“三力平衡匯交定理”的普遍形式，并提出了在課堂上講授“三力平衡匯交定理”的一個新思路。

中圖分類號:O3文獻標識碼:A

理論力學中是許多工科專業的重要專業基礎課程。其中靜力學部分是 “材料力學”、“結構力學”、“彈性力學”與“機械設計”等后續相關課程的基礎。而且靜力學自身的科學方法具有直接解決工程實際問題的能力，在工程技術中有著廣泛的應用。例如，在對房屋、橋梁的受力分析，有效載荷的分析計算等問題中都需要靜力學方面的知識。因此，熟練掌握和深入理解靜力學相關內容，對工科專業學生來說非常重要，可以為解決實際問題打下堅實的基礎。

靜力學中“三力平衡匯交定理”是靜力學中的一個重要內容。運用“三力平衡匯交定理”，可以方便地確定力的作用線的方位，對學生學習和理解物體的靜力分析有很大裨益。本文給出了“三力平衡匯交定理”普遍形式的解析證明，利用力系平衡分析的解析方法證明了普遍形式的“三力平衡匯交定理”，并為講授“三力平衡匯交定理”提供了一種新的思路。

在教材中，“三力平衡匯交定理”一般描述形式為:“當剛體在同一平面內作用線互不平行的三個力作用下平衡時，這三個力的作用線必匯交于一點”。①教材中該定理的證明方法一般為:先通過力的可傳性將同一平面內的其中兩個力沿其作用線移至匯交點，并作出兩力的合力，然后由剛體在二力作用下平衡時必須共線得出三力必然匯交。

在這個描述中，“三力作用線在同一平面內”作為定理成立的條件提出。實際上，假定三力在同一平面內并不是三力匯交的必要條件之一。“三力平衡匯交定理”可用如下普遍的形式提出:“當剛體在作用線互不平行的三個力作用下平衡時，這三個力的作用線必共面且匯交于一點”。戴淑華②通過分析不共面二力向空間任一點P(簡化中心)平移時附加力偶的力偶矩失的方向，得出作用在剛體上不共面二力不可能簡化為一個單力，從而推導出三力平衡匯交定理的普遍形式。本文中，我們將給出三力平衡匯交定理普遍形式的解析證明。

如圖1所示，剛體在三個不平行的力F1、F2和F3作用下平衡。我們選擇直角坐標系的原點O為F1的作用點，x軸的正向沿力F1的方向(圖2)。由于三力不平行，根據力的可傳性，可以將力F2和F3的作用點沿各自的作用線移動到Oxy平面，分別設為A2(x2， y2， 0)和A3(x3， y3， 0)。

圖 1作用在剛體上的三個平衡力

我們假定在該坐標系下，力F1、F2和F3的力矢分別為

(1)

(2)

(3)

顯然Fx1 ≠ 0。

圖 2直角坐標系Oxyz

由于剛體在三力作用下平衡，列平衡方程可得:

∑Fx = 0， Fx1 + Fx2 + Fx3 = 0 (4)

∑Fy = 0， Fy2 + Fy3 = 0(5)

∑Fz = 0， Fz2 + Fz3 = 0(6)

∑Mx = 0， y2Fz2 + y3Fz3 = 0 (7)

∑My = 0， -x2Fz2 - x3Fz3 = 0(8)

∑Mz = 0， x2Fy2 - y2Fx2+ x3Fy3 - y3Fx3 = 0 (9)

當Fz2 = Fz3 = 0時，力F2和F3都位于Oxy平面內，顯然三力共面。再由三力互不平行推證出三力作用線必匯交于一點，證法與教材[1]中相同。下面，我們考慮F z2 ≠ 0且F z3 ≠ 0的情況。

由公式(6)、(7)和(8)可得x2 = x3，y2 = y3。并由公式(5)和(9)可得。由于，y2 = y3 = 0。所以F2和F3的作用線相交，匯交點位于x軸上(圖3)。由此可得，力F1、F2和F3的作用線匯交。

設過力F2和F3的尾端的直線交Oxy平面于點A2(x4， y4， 0)(圖3)。當F z2 = F z3 = 0時，力F2和F3都位于Oxy平面內，顯然三力共面。當F z2 ≠ 0且Fz3 ≠ 0時，由幾何關系可得

y4 = (10)

圖 3三力作用線匯交 (下轉第79頁 )(上接第77頁)

代入公式(5)和(6)可得y4 = 0。因此，力F2、F3與x軸共面。所以三力F1、F2和F3必然共面。

由以上推導可知，剛體在三個不平行的力F1、F2和F3的作用下平衡，則此三力作用線必共面且匯交于一點。

在講授“三力平衡匯交定理”時，先按教材中的定理內容和推導過程講解。在介紹任意力系的平衡條件和平衡方程后，可以引導學生對“三力平衡匯交定理”做進一步的思考，從而得出“三力平衡匯交定理”的普遍形式。推導過程可以作為課堂例題或課后習題，即鍛煉了學生運用力系平衡方程解決剛體平衡問題的能力，也加深了學生對“三力平衡匯交定理”的理解。

注釋

[1]單輝祖，謝傳鋒.工程力學(靜力學與材料力學).高等教育出版社，2006.

[2]戴淑華.對“三力匯交定理”的一點補充”.重慶師范學院學報(自然科學版)，1990.7(1):30-31.