微積分對稱美賞析

摘要本文以例題形式展現了微積分的對稱美及其重要作用。

中圖分類號:O172文獻標識碼:A

對稱是人類最古老的概念之一。所謂對稱，即指整體的各個部分之間的勻稱和對等。對稱性是最能給人以美感的一種形式。德國著名數學家和物理學家赫爾曼·外爾(C·H·H·Weyl)曾指出:“美和對稱性緊密相連。”

現實世界中，許多事物不論是在靜止狀態，還是在運動變化狀態，往往呈現出各種各樣的對稱性或對等性。既有軸對稱、中心對稱和鏡對稱等等的空間對稱，又有周期、節奏和旋律的時間對稱，還有與時空坐標無關的而更為復雜的對稱。作為研究現實世界的空間形式與數量關系的數學，自然會滲透著圓滿和自然的對稱美。微積分對稱美主要表現在以下四個方面:

1 函數(或方程)圖形的對稱美

例1.星形線:x +y = a (a>0) (見圖1)

例2. 狄卡兒的葉形線:x3 + y3 - 3axy = 0 (a>0)(見圖2)

例3. 貝努利雙紐線:r2 = 2a2cos2 (見圖3)

2 變量的對稱美

前面，我們介紹了圖形的對稱美。實際上，在視角下的圖形，對稱只是一類很特殊的變換。具有對稱性的圖形，是指在對稱變換下仍變為它自己的圖形。由此可以想象，在其他變換下不變的圖形，也應該有對稱一樣的美。因此，我們可以把對稱概念推廣如下:

定義1. 設集合M有一個到自身的變換f ，M的元素之間定義了某種關系“*”，a，b∈M，在變換f之下的象a'，b'∈M，如果a，b之間具有關系“*”，則a'，b'之間也保持關系“*”，就稱變換f是集合M關于關系“*”的一個自同構映射。

定義2. 設M是一個集合，P是M的一個子集，如果M有一個自同構映射f ，使得對P的任一元素x，均仍有f (x)∈P ，則稱集合P是對稱的(即P是關于f對稱的或P在f下是對稱的)。在這種對稱概念下就有了關于變量的對稱算式、對稱不等式、對稱恒等式、對稱函數等。

例4. 關于變量x1，x2，x3的對稱多項式有x1+x2+x3;

x1x2 + x2x3 +x3x1;x21+x22 +x23等。

例5. 關于G(x1，x2，x3，x4) = x31+2x2 +x23 +2x4的對稱性。經驗算可知，G(x1，x2，x3，x4)在置換、、、之下都是不變的。這四個置換就刻畫了G(x1，x2，x3，x4)的對稱性。

例6. 對稱不等式:

① 算術平均值、幾何平均值、調和平均值不等式

(a1+a2+…+an)n-1≥≥n(aj-1)-1

② 排序不等

ajbn+1-j≤ajbkj≤ajbj

③ Cauchy-Schwarz不等式

(ajbj)2≤(a2j)(b2j)

④ 三角不等式

例7. 對稱恒等式

①x4 + (x+y)4 + y4 = 2(x2 + xy +y2)2

② 設{xy}為所有xy乘積的集合，其中x∈{x}， y∈{y}，且x≥0，y≥0， 則有sup{x}sup{y}=sup{xy}。

3 數學思想的對稱美

黑格爾說“美是真理的光輝”。魏爾說“美和對稱緊密相連”。馬克思曾指出:“人類是按照美的規律去改造世界的。”這即是說，美不僅是人類所應追求的目標之一，而且按照美的規律去改造世界，乃是歷史賦予我們的使命。人們在研究客觀世界的形象對稱性的過程中，把對稱思想用于構造概念、公式和定理之中，使許多概念、公式和定理呈現對稱性。這種思想是數學思想中的精華，在微積分中隨處可見這種數學思想的對稱美。

如從正數到負數、從整數到分數、從有理數到無理數、從實數到虛數等數集的擴充，加法的逆運算是減法、乘法的逆運算是除法、乘方的逆運算是開方、微分的逆運算是積分等各種逆運算的建立，都是對稱美的追求與實際需要相結合的產物。

又如三角函數與反三角函數、函數與反函數、指數函數與對數函數、一元函數與多元函數、顯函數與隱函數、無窮小與無窮大、收斂數列與發散數列、收斂級數與發散級數、連續函數與不連續函數等成對出現的概念，它們都反映著一個事物的兩個方面，都是對稱思想的體現，呈現出數學思想的對稱美。

4 解題方法的對稱美

為了揭示自然界對稱事物及對稱變化的規律性，就導致了數學中的對稱方法的產生。人類用這種方法發現了自然界的許多奧秘，而且它已成為當前數學工作者發現、研究和解決新問題的一個重要方法。我們以例示明:

例8. 已知0

abc(1-a) (1-b) (1-c)≤ (1)

證明由于(1)式左邊是對稱式，所以只要能證明

a (1-a) ≤即可。

因a和1-a都是正數，所以有≤a+(1-a) = 1，即

a (1-a) ≤。由對稱性直接可得:b (1-b) ≤ ，c (1-c) ≤，故有abc(1-a) (1-b) (1-c)≤。

例9. 計算

解 因為被積函數連續，所以積分存在。又因被積函數的原函數不是初等函數，所以它不能用一般定積分的技巧來計算。既然可積又不能用一般定積分的技巧來計算，不妨先畫出它的圖象(圖4)。在圖象上尋找有無對稱點。經過觀察發現可能是積分曲線段的對稱點。

下面證明這種猜想是正確的。為此，先取橫坐標關于的任意兩個對稱點x與 - x，只要能證明相應的函數值關于也對稱，即只要證明

任務就完成了。其實，由于tg( - x) = ctgx，所以有

又因為點是矩形ABOC(圖四)的中心，所以曲線f (x)下方的面積等于矩形面積的一半。故有

對稱美被數學家看作數學美的最重要的特征，它已經成為數學家研究數學的重要指導思想。正如外爾(C·H·H·Weyl)所說:“對稱性不管你是按廣義還是按狹義來定義，其含義總有一種多少時代以來人們試圖用以領悟和創造秩序、美和完善的觀念。”

參考文獻

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