解決存在性問題的幾種常用方法

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué);問題;存在;分類討論法;解析

法;比例線段法;圖象法

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)06(B)—0046—02

一、分類討論法

例1已知，在直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)是拋物線y=x2-(m-3)x-m與x軸的交點(diǎn)(A在B的右側(cè))，x1、x2分別是A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且|x1-x2|=3.

(1)當(dāng)m>0時(shí)，求拋物線的解析式;

(2)如果(1)中所求拋物線與y軸交于點(diǎn)C，問y軸上是否存在點(diǎn)D(不與點(diǎn)C重合)，使得以D、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似?若存在，請求出D點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

分析:要求拋物線的解析式，只需求出m的值，可通過條件“|x1-x2|=3”，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式確定m的值為2.

解:(1)略，所求拋物線的解析式為y=x2+x-2.

(2)假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)D，使得△DOA∽△AOC. 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，y)，由(1)知拋物線y=x2+x-2與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，-2)，與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，如圖①、②所示分以下兩種情況討論:

①當(dāng)∠ACO=∠ADO時(shí)，則△ACD為等腰三角形，此時(shí)AO垂直平分DC.

∵點(diǎn)C、D關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴D1的坐標(biāo)為(0，2).

②當(dāng)∠DAO=∠ACO時(shí)，有兩種情況，如圖②所示點(diǎn)D2、D3的位置，并且此時(shí)點(diǎn)D2與點(diǎn)D3關(guān)于原點(diǎn)對稱，下面求D2點(diǎn)的坐標(biāo).

∵△DAO∽△ACO ，∴OA2=OC·OD.

∴OD=■=■，

∴點(diǎn)D2的坐標(biāo)為(0，■)，而D3是D2關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，即D3的坐標(biāo)為(0，-■)，

綜上所述，D點(diǎn)存在，有3個(gè)，其坐標(biāo)分別是(0，2)、(0，■)與(0，-■).

評注:本題所探索的是點(diǎn)的存在性問題，用了分類討論的方法，解題時(shí)要注意將任何可能的情況都要考慮到，否則易將D3漏解，而在探求此點(diǎn)時(shí)又利用了對稱性原理巧妙地進(jìn)行了解答.

二、解析法

例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，tan∠ABC=■，點(diǎn)P在線段OC上，且PO，PC(PO

(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求AP的長;

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在請直接寫出直線PQ的解析式;若不存在，請說明理由.

分析:該題前兩問是常規(guī)求解問題，只需根據(jù)已知條件和已有知識進(jìn)行推理論證，解答出結(jié)果即可，而最后一問將函數(shù)和幾何的有關(guān)知識有機(jī)結(jié)合在一起，形成一道“是否存在”的綜合題目，應(yīng)以“假設(shè)存在，去偽存真”作為解答策略.

解:(1)略，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，-3);

(2)略;

(3)假設(shè)存在，分兩種情況討論，如圖③ 所示:

(i)過P作PQ1∥AC交x軸于點(diǎn)Q1，由(1)(2)知，點(diǎn)A、C、P的坐標(biāo)分別為(-9，0)，(0，-12)，(0，-3)，設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入解析式得

-9k1+b1=0b1=-12 解得k1=-■b1=-12

又∵AC∥PQ1，∴直線PQ1的解析式為y=-■x-3.

(ii)過點(diǎn)C作CQ2∥AP交x軸于點(diǎn)Q2，設(shè)直線AP的解析式為y=k2x+b2，同(i)，解得k2=-■，b2=-3. ∵CQ2 ∥AP， ∴CQ2的解析式為y=■x-12. 令y=0，得x=-36， ∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(-36，0).再設(shè)直線PQ2的解析式為y=kx+b，將P(0，-3)，Q2(-36，0)分別代入y=kx+b，可得k=■，b=-3，∴直線PQ2的解析式為y=-■x-3.

三、成比例線段法

例2中的第三問還可以用下面的方法解答.

分兩種情況:

如圖③所示:當(dāng)PQ∥AC時(shí)，則由△OPQ∽△OCA得■=■，

∴OQ=■=■ =■ ，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-■，0) ，再設(shè)PQ的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別代入解析式，有

b= -3-■k+b=0 解得b= -3k= -■

∴直線PQ的解析式為y= -■x-3.

當(dāng)AP∥QC時(shí)，則由△OAP∽△OQC得■=■，

∴ OQ=■=■=36.

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-36，0)，利用待定系數(shù)法可確定此時(shí)直線PQ2的解析式為y=-■x-3.

評注:此題在解關(guān)于“是否存在”的問題時(shí)解法靈活，既可以利用“解析法”中兩直線平行的特點(diǎn)，并以一次項(xiàng)系數(shù)k相同作中間橋梁進(jìn)行解答，又可以利用平行線等分線段定理確定線段的長度，進(jìn)而得到解析式.

四、圖象法

例3如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于0、M兩點(diǎn)，OM=4，矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點(diǎn)A、O在拋物線上.

(1)請寫出P、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式;

(2)設(shè)矩形ABCD的周長為L，求L的最大值;

(3)連結(jié)OP、PM，則△PMO為等腰三角形，請判斷在拋物線上是否存在點(diǎn)Q(除點(diǎn)M外)，使得△OPQ是等腰三角形，簡要說明理由.

分析:此題第一問可以直接將已知條件中的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)形式，再利用待定系數(shù)法確定解析式即可;第二問利用矩形的性質(zhì)及拋物線的對稱性，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為xA，找出點(diǎn)A的坐標(biāo)與矩形的長、寬之間的關(guān)系，列出L關(guān)于xA的二次函數(shù)關(guān)系式，從而求出最值;第三問直接通過作圖的方法來探究“是否存在”.

解:(1)略，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，4)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，0)，拋物線的解析式為y=-x2+4x;

(2)略，L的最大值為10;

(3)假設(shè)存在點(diǎn)Q(除點(diǎn)M外)，使得△OPQ是等腰三角形.若△OPQ是等腰三角形，OP可以為底，也可以為腰.

①以O(shè)P為底，作OP的垂直平分線RS，可以交拋物線于Q1，Q2，∴這樣的點(diǎn)存在，有兩個(gè).

②以O(shè)P為腰時(shí)，可以以O(shè)為圓心，OP的長為半經(jīng)作圓(除M點(diǎn)外)還有3個(gè)點(diǎn)，∴存在點(diǎn)Q，使△POQ為等腰三角形.

評注:對“是否存在”的問題是通過猜測、分析、作圖的方法，探究到結(jié)果，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)圖形的簡潔性、直觀性、形象性.