數(shù)感培養(yǎng)“五法”

鳳凰衛(wèi)視當(dāng)家花旦曾子墨在世界摩根斯坦利銀行應(yīng)聘時(shí)，面試官問她：“如果你找到一份工作，薪水有兩種支付方式：一年12000美元，一次性全部給你；同樣一年12000美元，按月支付，每月1000美元。你怎么選擇？”曾子墨回答：“這取決于現(xiàn)在的銀行利率。如銀行利率是正數(shù)，我選第一種；如是負(fù)數(shù)，我擇第二種；如果是零，兩者一樣。同時(shí)，我還會(huì)考慮成本機(jī)會(huì)。即使實(shí)際利率是負(fù)數(shù)，假如有好的投資機(jī)會(huì)能帶來更多的回報(bào)，我還是選擇第一種。”因曾子墨全面周密的回答，面試官在其評(píng)定書上填寫的是：不惜代價(jià)，一定要雇傭！

在這里，筆者不想分析曾子墨的思維敏捷度、思維空間寬窄等問題，而是從數(shù)學(xué)的角度來看，其具備了一種較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)——良好的數(shù)感，即主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》對(duì)數(shù)感的主要表現(xiàn)進(jìn)行了六個(gè)方面的詳細(xì)闡述；（1）理解數(shù)的意義；（2）能用多種方法來表示數(shù)；（3）能在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；（4）能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；（5）能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ唬?）能估計(jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋。一個(gè)人所具有的數(shù)感不是天生的，而是可以通過后天的數(shù)學(xué)教育，通過有意識(shí)地培養(yǎng)來形成。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談一談培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)感的五種方法，希望能起到拋磚引玉的作用。

一、觀察：在細(xì)微處探尋數(shù)

蘇霍姆林斯基在其《給教師的一百條建議》第74條“學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握的最重要的技能和技巧”中，把“觀察”排在最前面：“我把學(xué)生在10年內(nèi)應(yīng)當(dāng)掌握的最重要的技能和技巧按一個(gè)豎式排列出來，其結(jié)果如下：（1）會(huì)觀察周圍世界的現(xiàn)象。（2）會(huì)思考——即會(huì)類比、比較、對(duì)比，找出不懂的東西，能提出疑問。（3）會(huì)表達(dá)關(guān)于自己所見、所觀察、所做、所想的事情的思想……”第76條“怎樣對(duì)待學(xué)習(xí)有困難的兒童”中又強(qiáng)調(diào)：“在學(xué)校工作的36年使我深信，在小學(xué)里對(duì)兒童進(jìn)行教學(xué)，這首先就是教給他們觀察和發(fā)現(xiàn)世界。……發(fā)展年幼兒童的思維，這首先就是發(fā)展他看見和觀察的能力，就是通過對(duì)周圍世界的視覺感知來豐富他的思想。教育者的任務(wù)就在于讓兒童去覺察事物和現(xiàn)象中那些最細(xì)微的判別和變化，思考各種因果聯(lián)系。”學(xué)生對(duì)數(shù)的觀察能力的高低，反映了其數(shù)感的強(qiáng)弱。要培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)感，首先應(yīng)該從培養(yǎng)學(xué)生觀察數(shù)的能力開始。通過認(rèn)真觀察，使學(xué)生能在細(xì)微處覺察出數(shù)所隱藏著的秘密，從而感知數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在含義和規(guī)律特征，建立初步的數(shù)感。

在進(jìn)行有關(guān)數(shù)的計(jì)算時(shí)，學(xué)生往往不觀察數(shù)的特征，就急于動(dòng)筆計(jì)算，導(dǎo)致對(duì)一些題目的計(jì)算既浪費(fèi)時(shí)間，準(zhǔn)確率又不高。因此，在計(jì)算教學(xué)中，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成先觀察數(shù)的特征，尋找規(guī)律，后動(dòng)筆計(jì)算，即“三思而后算”的習(xí)慣，使計(jì)算既巧妙、簡(jiǎn)便，又準(zhǔn)確。如：777×9+111×37，初看這四個(gè)都是不同的數(shù)，沒什么規(guī)律可循。但是，再認(rèn)真思考，可發(fā)現(xiàn)“777”可以變成“111×7”，7和后面的9相乘等于63，然后逆用乘法分配律，算出結(jié)果是11100。即：

又如：仔細(xì)觀察，不用計(jì)算，在○里填上“＞”、“＜”或“=”，并在□里填上合適的數(shù)。

①99×99+199○100×100

②999×999+1999○1000×1000

③9999×9999+19999○□×□

題目明確要求學(xué)生要“仔細(xì)觀察，不用計(jì)算”，迫使學(xué)生去觀察各算式中的數(shù)及運(yùn)算符號(hào)所隱含的規(guī)律：算式①左邊可以通過拆數(shù)和逆用乘法分配律將其變成與右邊的“100×100”完全一樣：99×99+199=99×99+99+100=99×（99+1）+100=100×100，所以○填“=”。算式②③可以依此類推。

經(jīng)常要求學(xué)生這樣進(jìn)行先觀察后計(jì)算，或不用計(jì)算，只依靠觀察算式的規(guī)律及數(shù)的特征解決問題的訓(xùn)練，并使之形成一種解題的習(xí)慣，學(xué)生的數(shù)感必會(huì)得到不斷增強(qiáng)。

二、轉(zhuǎn)化：在變化中感知數(shù)

在每年的元旦和春節(jié)，很多人都會(huì)收到或發(fā)出這樣的一條祝福短信：“愿您一年12月月月平安，365天天天開心，8760小時(shí)時(shí)時(shí)快樂，525600分鐘分分精彩，31536000秒鐘秒秒幸福。”這條短信很好地利用了大眾的數(shù)感，使人體會(huì)“用不同的數(shù)來表示相同的內(nèi)容：一年時(shí)光的相對(duì)意義”，以及這些數(shù)所承載的時(shí)間長(zhǎng)短、心情指數(shù)等內(nèi)容。

在日常生活中，也會(huì)經(jīng)常遇到一些考驗(yàn)我們認(rèn)識(shí)和感受數(shù)的大小的情形，如《杭州市城市公共交通乘車規(guī)則》第五條有對(duì)乘客攜帶物品的規(guī)定：“每位乘客可免費(fèi)攜帶重量不超過15千克或體積不超過0.064立方米，或占地面積不超過0.25平方米的行李物品。”對(duì)乘客而言，要認(rèn)識(shí)“體積不超過0.064立方米，或占地面積不超過0.25平方米”這一規(guī)定，從而決定是否購(gòu)票，其腦子里勢(shì)必要將這兩個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，才能想象出該行李的大小。筆者猜想，大多數(shù)乘客都需要進(jìn)行如下的轉(zhuǎn)換，才能在各自的腦海里對(duì)這樣大的行李形成一個(gè)大致的空間觀念：“0.064立方米”——64立方分米，也就是長(zhǎng)、寬、高分別是4分米，即40厘米；“0.25平方米”——25平方分米，也就是長(zhǎng)、寬分別為5分米，即50厘米。

轉(zhuǎn)化包含不同計(jì)量單位之間的轉(zhuǎn)化，如上面分別用年、月、天、時(shí)、分、秒等時(shí)間單位來衡量同樣長(zhǎng)的時(shí)間；包含不同計(jì)數(shù)單位之間的轉(zhuǎn)化，如10000是10個(gè)千，是100個(gè)百，是1000個(gè)十；包含不同種類數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，如0.25= =25%。

要讓學(xué)生能把這些不同的計(jì)量單位、不同的計(jì)數(shù)單位、不同種類的數(shù)自如地進(jìn)行切換，敏銳地感知一個(gè)數(shù)的不同表示法，一定要求他們能熟記常用數(shù)據(jù)，如20以內(nèi)數(shù)的平方，常用的小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的互化，10以內(nèi)數(shù)的立方，各種計(jì)量單位之間的進(jìn)率，典型算式的值：如125×8=1000，25×4=100等。只有熟練才能生巧，才能提高數(shù)感。

三、參照：在比較中感受數(shù)

現(xiàn)實(shí)生活中曾發(fā)生過這樣一件事：2009年7月初的一天，王某去某銀行補(bǔ)登其夫婦倆的住房公積金存折。補(bǔ)登完后，她習(xí)慣性地檢查一遍補(bǔ)登的各筆數(shù)量。其中，夫婦倆的存折上都在7月1日有一筆結(jié)息記錄。如果分別單獨(dú)看兩本存折，發(fā)現(xiàn)不了問題：誰也不會(huì)懷疑銀行電腦上的自動(dòng)計(jì)息會(huì)出錯(cuò)。巧的是，王某把兩本存折放在一起看，問題就出現(xiàn)了：王某的金額是14041.88元，利息135.14元，其丈夫的金額是12860.93元，利息是164.34元。很明顯，王某的金額多，利息少；其丈夫的金額少，利息反而多。根據(jù)王某的反映，銀行進(jìn)行了核查，原來是電腦程序出錯(cuò)。王某能發(fā)現(xiàn)銀行計(jì)息的錯(cuò)誤，就在于她把兩本存折放在一起看，使原本各自獨(dú)立的數(shù)據(jù)有了比較、參照的可能。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有時(shí)候教師可以引導(dǎo)學(xué)生尋找參照物或“參照數(shù)”來感受大數(shù)、陌生的數(shù)或把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系，從而化大為小、化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化抽象為具體。如拇指指甲蓋的面積約是1平方厘米，圖釘?shù)拈L(zhǎng)大約是1厘米，1分硬幣的厚度大約是1毫米等等。

又如：“將下列數(shù)按從小到大的順序排列：①0.5286②102%③ 。”這道題可以通過化成小數(shù)或通分來比較三個(gè)數(shù)的大小。如果化成小數(shù)，把第③個(gè)數(shù)化成小數(shù)，難度是可想而知的；如果通分，則難度更大。要簡(jiǎn)單一些，可以引導(dǎo)學(xué)生找“參照數(shù)1”來比較： 比1小且接近1；102%大于1，0.5286接近1的一半，由此可以很快按順序列出：0.5286＜ ＜102%。

四、有序：在直觀中表示數(shù)

趙本山在2010年“春晚”表演的小品《捐款》所抖的包袱是一個(gè)善意的“錯(cuò)誤”，本意捐3000元，卻在刷卡時(shí)多摁了一個(gè)“0”：“三千嘛，他就告訴我四位數(shù)嘛，我按四個(gè)零兒嘛……個(gè)、十、百、千……媽呀，前邊兒還有一個(gè)三吶！”如果在刷卡時(shí)趙本山能在手指摁數(shù)字鍵的同時(shí)口里同步念叨“千、百、十、個(gè)”，那么這個(gè)“錯(cuò)誤”就不會(huì)發(fā)生。這就涉及表示數(shù)的直觀性、有序性問題。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生直觀地、有序地表示各種數(shù)。

比如，一年級(jí)上冊(cè)“11~20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”，除了讓學(xué)生會(huì)數(shù)數(shù)、讀數(shù)、知道各數(shù)的順序和大小、寫數(shù)、個(gè)位和十位外，還有一個(gè)不能忽視的內(nèi)容，就是要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從單個(gè)計(jì)數(shù)到以群計(jì)數(shù)的思維的跨越，使他們知道“怎樣擺放1堆小棒，別人不數(shù)就能一眼看出是多少根”，并從中感悟到以十為單位來計(jì)數(shù)的優(yōu)越性，同時(shí)為下冊(cè)學(xué)習(xí)20以內(nèi)的進(jìn)位加法奠定“湊十”的基礎(chǔ)。

同樣，在解答下面這類題時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生有條理地整理各數(shù)：在3.14、3.144、π、3. 、3.142、324%這六個(gè)數(shù)中，最小的是（ ），最大的是（ ）。首先，把π、3. 用省略號(hào)形式表示，把324%轉(zhuǎn)化成小數(shù)。其次，按相同數(shù)位對(duì)齊的原則，把這些數(shù)進(jìn)行整齊地排列；第三，按從大到小或從小到大的順序給這些數(shù)編號(hào)經(jīng)過這樣的有序整理，誰大誰小一目了然。

五、體驗(yàn)：在實(shí)踐中觸摸數(shù)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，一個(gè)很重要的方面就是要幫助學(xué)生建立最基本的計(jì)數(shù)單位，如個(gè)、十、百、千、萬。最基本的計(jì)量單位，如1克、1千克、1厘米、1分米、1米、1千米等的概念。學(xué)生只有對(duì)最基本的計(jì)數(shù)單位、最基本的計(jì)量單位感知正確，才能在此基礎(chǔ)上感知更大的數(shù)量。通過什么方法來使學(xué)生建立這些概念呢？有人說：“聽過了會(huì)忘記，看過了能記住，做過了才能學(xué)會(huì)。”毫無疑問，只有“做”，讓學(xué)生親身實(shí)踐、親身體驗(yàn)，才能使他們真正觸摸到數(shù)的大小，從而知道1千米有多長(zhǎng)？1噸有多重？1平方米有多大？

如建立1千米的概念，可以按由小到大、由易到難、由課內(nèi)延伸到課外的原則分四個(gè)層次讓學(xué)生體驗(yàn)其長(zhǎng)度；①重溫10米的長(zhǎng)度概念，走10米長(zhǎng)的一段路，并數(shù)出自己大約走了多少步？估一估，按照走10米所需的步數(shù)，走100米大約需要多少步？100米有多少步那么長(zhǎng)？②建立100米的長(zhǎng)度概念，組織學(xué)生走一走100米長(zhǎng)的一段路，并數(shù)一數(shù)實(shí)際需要走多少步？估一估，按照走100米所需的步數(shù)，如果走1千米，大約需要多少步？③在跑道上走一走，看看1千米需要走多少步？大約花多少時(shí)間？想一想從哪里到哪里大約有1千米，可以和爸爸媽媽一起驗(yàn)證。④寫一篇《1千米有多長(zhǎng)》的數(shù)學(xué)短文，談一談自己對(duì)1千米長(zhǎng)度的認(rèn)識(shí)。

總之，正如課改專家馬云鵬所云：“數(shù)感強(qiáng)的人眼中看到的世界，可能與其他人不同，遇到可能與數(shù)學(xué)有關(guān)的具體問題時(shí)，能自然地、有意識(shí)地與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，或者試圖進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來處理和解釋。因此，數(shù)感是一種主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識(shí)。是人的一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，它是建立明確的數(shù)學(xué)概念和有效地進(jìn)行計(jì)算等數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)問題建立聯(lián)系的橋梁。”然而，小學(xué)生數(shù)感的形成并不是一朝一夕能達(dá)成的，需要教師在教學(xué)中做個(gè)有心人，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用觀察、轉(zhuǎn)化、參照、有序、體驗(yàn)等多種方法，探尋、感知、領(lǐng)悟、表示、觸摸數(shù)，揭示各種數(shù)所隱藏的秘密，使學(xué)生不斷增強(qiáng)數(shù)感，提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

作者單位

福建省武平縣教師進(jìn)修學(xué)校

◇責(zé)任編輯：曹文◇