在不允許賣空條件下的最優比例再保險投資

摘 要 假設保險公司的盈余過程服從一個帶擾動項的布朗運動，保險公司可以投資一個無風險資產和n個風險資產，還可以購買比例再保險，并且風險市場是不允許賣空的.本文在均值方差優化準則下研究保險公司的最優投資再保策略選擇問題，利用LQ隨機控制方法求解模型，得到了保險公司的最優組合投資策略的解析和保險公司投資的有效投資邊界的解析表達式.

關鍵詞 HJB方程; 均值方差準則; 有效邊界;LQ隨機控制

中圖分類號 F224；O213 文獻標識碼 A

Optimal Proportional Reinsurance and Investment with No-Shorting Constraint

LU Zhong-ming， GUO Wen-jing

(School of Finance， Nanjing University of Finance economics， Nanjing，Jiangshu 210046)

Abstract The basic claim process is assumed to follow a Brownian motion with drift. In addition， the insurer is allowed to invest in a risk-free asset and n risky assets and to purchase proportion reinsurance. Under the constraint of no-shorting， themean-variance portfolio selection problem was studied. The LQ stochastic control method was applied to get the explicit form of the optimal investment strategies and efficient frontier .

Keywords HJB equation ; mean-variance criterion; efficient frontier; LQ stochastic control

1 引 言

再保險是指保險人通過訂立合同， 將保險人自己承擔的風險通過投保的形式轉移給其他的保險人， 以降低自己面臨風險的保險行為， 即“保險人的再保險”.從保險人的角度看，再保險行為就是投資行為， 保險人要在收益和風險之間權衡.因此， 再保險問題與投資組合問題有相似之處， 再保險分為比例再保險和非比例再保險兩類.比例再保險，是指保險公司在接受保險業務時，如果認為所承擔的保險金額過高，一旦出現危險，將超過自己的償付能力，于是按一定比例把一部分保費轉讓給其他保險公司（稱為再保險公司）以共同承擔風險.為了保證保險公司對保險對象及時履行經濟賠償的義務，確保公司的賠償能力，保險公司必須從保費收入中提存一定的準備金，這樣才能保證保險公司在賠償時有足夠的資金來源.通過再保險， 保險公司將自己承保業務的一部分轉讓給其他保險公司， 從而分散所承擔的風險.現代保險公司普遍采用再保險來分散危險，通過簽訂再保險合同， 原保險人可以積極大膽地開展業務， 承保超過其自身能力所能承擔的風險， 增加業務收入， 同時， 使被保險人的需求得到滿足，特別是對于巨額風險的保障， 保證企業生產秩序的正常運作.

由于投資日益成為保險業的一個重要因素，風險模型不僅考慮投保風險，也考慮了投資風險，近年來這方面引起了很大關注.除了投資，人們可以還考慮把再保險概念融入到模型之中.事實上，受投資影響或者受投資和再保險的影響，最優化各項目標已成為精算學的熱門話題.特別是，最大化指數期望效用和最小化破產概率是精算學中兩個重要目標函數.

Brown(1995)用連續的幾何Brown運動模擬保險公司的盈余過程，最早研究了CARA(Constant Absolute risk Aversion)效用最大化以及破產概率最小化目標下的最優投資策略選擇問題，發現最優的投資策略［1］.Yang和Zhang(2005)考慮了跳躍擴散模型中使指數效用最大化的最優投資問題，他們也得到了最優策略和值函數的近似表達式［2］.運用同樣的擴散模型，Promislow和Young(2005)考慮了在受投資和比例再保險影響下，最優化破產概率的問題［3］.Luo等人(2008)考慮了和Promislow和 Young(2005)相似的最優化問題，而且不允許賣空，也不允許借款［3-4］.

但是，這些文章只考慮了單一的風險資產，并且市場是允許賣空的.事實上，保險公司為了減少風險，增加利潤，可以將其財富投資多個風險資產.因此，為了使破產（效用）分析更符合實際，在這里本文考慮的投資市場是包含n個風險資產和1個無風險資產的資本市場，風險市場不允許賣空.除了投資，也假定保險公司可以購買比例再保險來減少潛在的保險風險.具體來說，投資多個風險資產和購買比例再保險.保險公司的目標是最小化最終財富與目標財富的偏差.

本文則是在無賣空下研究連續時間下的均值方差組合問題，這屬于限制范圍下的組合選擇問題，即認為市場是不充分的.通過求解LQ(Linear Quadratic)控制問題相對應的HJB方程，討論風險模型中的最優比例再保險問題，借鑒投資組合的均值-方差理論， 研究同時兼顧風險和收益的最優比例再保險模型，使得終止時刻的實際財富與期望總盈余量的偏差最小，得到了最優投資策略的解析形式和保險公司投資有效邊界的表達式.

2 模型構建

根據Promislow和Young (2005)，構建保險公司的盈余過程服從布朗運動：

dC(t)=adt－bdW0(t)，(1)

其中a，b為正的常數，W0(t)是一維標準Brown運動.假設保費以常數c=(1+θ)a比例連續支付，安全負載θ＞0.由式(1)得盈余過程:

R(t)=cdt－dC(t)=θadt+bdW0(t). (2)

假設保險公司可以將盈余進行投資到一個金融市場，該市場由一個無風險資產和n個風險資產構成的資本市場.無風險的價格過程為

dP0(t)=r(t)P0(t)dt.

風險資產的價格過程服從下面的擴散過程：

dPi(t)=Pi(t)［bi(t)dt+∑nj=1σij(t)dWj(t)］，

其中bi(t)表示風險資產的瞬時期望收益率；σij(t)表示對應Brown運動Wj(t)的瞬時擴散率;Wj(t)是一維標準Brown運動.

令b(t)=(b1(t)，b2(t)，…，bn(t))T，σ(t)=(σij(t))n×n，假定對正常數δ有σ(t)σ(t)′≥δΙ，其中Ι為n階單位矩陣.此外，還可假定保險公司可以購買比例再保險以減少保險損失.因此策略α是一個隨機過程，即（π(t)，q(t)），這里π(t)=(π1(t)，…，πn(t))且πi(t)表示保險公司t時刻在風險資產i上的投資量，q(t)表示再保險的比例，q(t)∈(0，1），對于t∈［0，T］.并且本文限制風險資產的賣空，即πi(t)≥0，i=1，…，n. 此外保險公司可以從貨幣市場借錢，也就是X(t)－∑ni=1πi(t)不被限制，這里的X(t)是在保險公司采取投資-再保策略α后的盈余過程.動態的X(t)是

dX(t)=rX(t)+［θ－ηq(t)］adt+

b［1－q(t)］dW0(t)+∑ni=1(μi－r)πi(t)dt+

∑nj=1∑ni=1σijπi(t)dWj(t).(3)

即

dX(t)={rX(T)+［θ－ηq(t)］a+π(t)T(μ－

rIn)}dt+b［1－q(t)］dW0(t)+

π(t)Tσ(t)dW(t)， (4)

其中η＞θ表示再保險的安全負載，In=（1，1，L，1），μ=(μ1(t)，μ2(t)…，μn(t))，σ(t)=(σij(t))n×n，π(t)=(π1(t)，π2(t)，…，πn(t))T，B=(μ1－r，μ2－r，…，μn－r).令

D=σ(t)′=σ11…σn1σ12…σn1σ1n…σnn，

并且假定D滿足非退化條件：

D′D≥δI，

其中δ＞0為給定的常值，I為n維單位矩陣.

均值-方差組合選擇主要是找到可行的投資策略，也就是動態的投資組合滿足上述所有限制條件.在這里令e［X(T)］=d，表示保險公司期末財富的期望值，其對應的方差為

VarX(T)=E［X(T)－EX(T)］2=E［X(T)－d］2.

保險公司的目標就是使得終止時刻的實際財富與期望總盈余量的偏差最小.與一般投資者不同的是，這里的風險包括承保風險和投資風險兩部分.因此，保險公司的投資模型可以建立為

min π≥0，0＜q＜1VarX(T)=E［X(T)－d］2，s.t.E［X(T)］=d.(5)

為了求解最小方差引入拉格朗日參數λ(λ＞0)，它反應了投資者對風險的厭惡程度，于是方程(5)轉化為最優控制問題

min π≥0;0＜q＜1E12［X(T)－d］2+2λ［EX(T)－d］s.t.EX(T)=d(6)

顯然式(6)滿足式(5)的最優控制，而且式(6)很明顯等價于

min π≥0，0＜q＜1E12［X(T)－(d－λ)］2，s.t.(π，X)滿足(4）.(7)

作變換

Y(t)=X(t)－(d－λ)，(8)

則式(5)變為

dY(t)=［Y(t)r(t)+(θ－ηq(t))a+

π(t)T(μ－rIn)+(d－λ)r(t)］dt+

b［1－q(t)］dW0(t)+π(t)Tσ(t)dW(t)，Y(0)=y:=x－(d－λ).(9)

于是問題(7)變為

min π≥0，0≤q≤1E［12Y(T)2］.s.t. (π，Y)滿足式(9）. (10)

3 最優投資策略和有效前沿3.1 HJB方程

令V(t，y)=min 0≤π，0＜q＜1Et［12Y(T)2］，

其中Et表示起始時間為t、Y(t)=y條件下的條件期望算子.據文獻［5-10］，要得到最優投資策略，需要求解下面形式的HJB方程

Vt+inf 0＜q＜1{［yr(t)+(θ－ηq(t))a+(d－

λ)r(t)］Vy+12(1－q)2b2Vyy}+

inf π≥012π′D′DπVyy+BπVy=0.(11)

由文獻［5］中的引理3.1和3.2可得，當VyVyy＜0 時，

inf π≥012π′D′DπVyy+BπVy

=Vyyinf π≥012π′D′DπVyy+VyVyyBπ

=-12V2yVyy‖ξ‖2，(12)

其中ξ(t)=(D′)－1+(D′)－1B，而使得 12‖(D′)－1z+(D′)－1B‖2最小 .

取最值時

π(t，y)=－D(t)－1ξ(t)VyVyy.(13)

當π(t，y)=－D(t)－1ξ(t)VyVyy，于是式(11)的HJB方程轉化為

Vtinf π≥0{［yr(t)+(θ-ηq(t)a+(d-

λ)r(t)］Vy+12(1-q)2b2Vyy}-12V2yVyy‖ξ‖2=0.(14)

因此要使式(14)值最小，對q求導可得：

q=1+aηb2VyVyy，(15)

下面分VyVyy≤0和VyVyy＞0兩種情形來討論：

(i）當VyVyy≤0時，方程式(11)轉化為：

Vt+［yr(t)+θa-ηa+(d-λ)r(t)］Vy-

12(a2η2b2+‖ξ‖2)V2yVyy=0.(16)

文獻［2］證明了式(11)形式的偏微分方程解析式存在，并且具有二次形式.這里不妨設式(7)具有解：

V(t，x)=12P(t)x2+Q(t)x+R(t).

于是

Vt(t，x)=12P(t)′x2+Q(t)′x+R(t)′，

Vx(t，x)=P(t)x+Q(t)，

Vxx(t，x)=P(t) ， (17)

把式(17)代入到方程(16)的左邊可得：

LHS=Vt+［yr(t)+θa-ηa+(d-λ)r(t)］Vy-

12(a2η2b2+‖ξ‖2)V2yVyy=［12P(t)′+

r(t)P(t)-12(a2η2b2+‖ξ‖2)P(t)］y2+

［Q(t)′+r(t)Q(t)+P(t)(θa-ηa+(d-

λ)r(t))-(a2η2b2+‖ξ‖2)Q(t)］+

［R(t)′+Q(t)(θa-ηa+(d-λ)r(t))-

12(a2η2b2+‖ξ‖2)Q(t)2P(t)］.(18)

由式(18)可以看出，若微分方程(19)存在唯一解，則有唯一的最優投資策略存在.

12P(t)′+r(t)P(t)－12(a2η2b2+

‖ξ‖2)P(t)=0，P(T)=1.(19)

Q(t)′+r(t)Q(t)+P(t)(θa－ηa+(d－

λ)r(t))－(a2η2b2+‖ξ‖2)Q(t)=0，Q(t)=0. (20)

R(t)′+Q(t)(θa－ηa+(d－λ)r(t))－

12(a2η2b2+‖ξ‖2)Q(t)2P(t)=0，R(T)=0.(21)

求解式(19)，得

P(t)=e ∫Tt［2r(s)－(a2η2b2+‖ξ‖2)］ds，

從而可以算得

Q(t)=e ∫Tt［r(s)－(a2η2b2+‖ξ‖2)］ds∫Tt［θa－ηa+(d－

λ)r(z)］e ∫Tzr(s)dsdz，

R(t)=∫Tt［(θa－ηa+(d－λ)r(v))－12(a2η2b2+

‖ξ‖2)e －∫Tvr(s)ds∫Tv(θa－ηa+(d－

λ)r(z))e ∫Tzr(s)dsdz］e∫Tv［r(s)－(a2η2b2+‖ξ‖2)］ds

#8226;∫Tv(θa－ηa+(d－λ)r(v))e∫Tzr(s)dsdzdv，

由

VyVyy≤0，即VyVyy=P(t)y+Q(t)P(t)=y+Q(t)P(t)≤0，

得

y≤e －∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－(d－

λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz，

另外由0＜q＜1算得

e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz－

b2aη＜y＜e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－

θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz.

歸納以上推導，并將y換回到x得

定理1 當

e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz－

b2aη+(d－λ)＜x＜e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－

(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz+(d－λ)

時，存在最優策略(π，q)，使得方程(11)最小，即

(π，q)=

－［σ(t)′］－1ξ(t)［x－(d－λ)+e－∫Ttr(s)ds#8226;

∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz］，

1+aηb2［x－(d－λ)+e－∫Ttr(s)ds#8226;

∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz］.(22)

(ii）當VyVyy＞0時，使得方程式(11)取最值的π=0，此時(11)式就變為

Vt+［yr(t)+θa-ηa+(d-λ)r(t)］Vy-

12a2η2b2V2yVyy=0.(23)

把式(17)代入到方程(23)的左邊可得：

LHS=Vt+［yr(t)+θa-ηa+(d-λ)r(t)］Vy-

12a2η2b2V2yVyy=［12P(t)′+r(t)P(t)-

12a2η2b2P(t)］y2+［Q(t)′+r(t)Q(t)+

P(t)(θa-ηa+(d-λ)r(t))-a2η2b2Q(t)］y+

［R(t)′+Q(t)(θa-ηa+(d-λ)r(t))-

12a2η2b2Q(t)2P(t)］.

( 24)

由式(24)可以看出，若微分方程(25)存在唯一解，則有唯一的最優投資策略存在.

12P(t)′+r(t)P(t)－12a2η2b2P(t)=0，P(T)=1.(25)

Q(t)′+r(t)Q(t)+P(t)(θa－ηa+(d－

λ)r(t))－a2η2b2Q(t)=0，Q(T)=0. (26)

R(t)′+Q(t)(θa－ηa+(d－λ)r(t))－

12a2η2b2Q(t)2P(t)=0，R(T)=0.(27)

解微分方程(25)~(27)得

P(t)=e∫Tt［2r(s)－a2η2b2］ds，

Q(t)=e∫Tt［r(s)－a2η2b2］ds∫Tt［θa－ηa+

(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz.

R(t)=∫Tt［(θa－ηa+(d－λ)r(v))－12a2η2b2

#8226;e－∫Tvr(s)ds∫Tv(θa－ηa+(d－λ)r(z))e∫Tzr(s)dsdz］#8226;

e∫Tv［r(s)－a2η2b2)］ds∫Tv(θa－ηa+(d－

λ)r(v))e∫Tzr(s)dsdzdv.

由VyVyy＞0 ，即 VyVyy=P(t)y+Q(t)P(t)=y+Q(t)P(t)＞0，得y＞e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz，另外由0＜q＜1算得：

e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz－

b2aη＜y＜e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－

(d－λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz，

顯然這兩者矛盾，所以此時不存在最優策略.

因此最優控制問題(7)的最優解為

(π，q)=

－［σ(t)′］－1ξ(t)［x－(d－λ)+e－∫Ttr(s)ds#8226;

∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz］，

1+aηb2［x－(d－λ)+e－∫Ttr(s)ds#8226;

∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz］.(28)

3.2 有效邊界

在這里，令

V(t，y)=mine［12Y(T)2］，

Y(t)=X(t)－(d－λ).

根據文獻，式(5)的最優解可以通過求解LQ優化問題得到：

minE［12Y(T)2］s.t.(π(t)，Y(t))滿足式(9）.(29)

本節推導問題式(29)的有效邊界

E［12Y(T)。2］=E12［X(T)－(d－λ)］2

=E12［X(T)－d］2+λ［EX(T)－d］+12μ2

minE12［X(T)－d］2+λ［EX(T)－d］

=minE12［Y(T)2］－12λ2=V(0，y)－12λ2

=12P(0)y2+Q(0)y+R(0)－12λ2

=12P(0)［x－(d－λ)］2+Q(0)［x－

(d－λ)］+R(0)－12λ2.

當0＜q＜1時，在最優策略(π，q)，即

π(t，y)=－D(t)－1ξVyVyy=－D(t)－1ξ［y+Q(t)P(t)］時，

P(t)=e∫Tt［(a2η2b2+‖ξ‖2)－2r(s)］ds，

Q(t)=e∫Tt［r(s)－(a2η2b2+‖ξ‖2)］ds∫Tt［θa－

ηa+(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz，

R(t)=∫Tt［(θa－ηa+(d－λ)r(v))－12(a2η2b2+

‖ξ‖2)e－∫Tvr(s)ds∫Tv(θa－ηa+(d－

λ)r(z))e∫Tzr(s)dsdz］e∫Tv［r(s)－(a2η2b2+‖ξ‖2)］ds

∫Tv(θa－ηa+(d－λ)r(v))e∫Tzr(s)dsdzdv.

將P(0)，Q(0)和R(0)代入上式，因此

min E12［X(T)－d］2+λ［EX(T)－d］取得最小值為：

minE12［X(T)－d］2+λ［EX(T)－d］=

minE12［Y(T)2］－12λ2=V(0，y)－12λ2

=12P(0)y2+Q(0)y+R(0)－12λ2

=12P(0)［x－(d－λ)］2+Q(0)［x－(d－λ)］+

R(0)－12λ2=

12E－(a2η2b2+‖ξ‖2)］T{erT［x－(d－

λ)］+(θa－ηa+(d－λ)r)(erT－1)r}2－12λ2.

根據Lagrange對偶定理，上式取得最值當且僅當在

λ=d－xerT－(θa－ηa)(erT－1)r1－e［(a2η2b2+‖ξ‖2)T

時取得.

定理2 保險公司在再保險的情況下的有效邊界由如下表達式給出

VarX(T)=1e(a2η2b2+‖ξ‖2)T－1#8226;

［(d－xerT)2－(θa－ηa)2(erT－1)2r2e－(a2η2b2+‖ξ‖2)T］.

4 結 論

從本文模型的求解得到最優再保-投資策略的解析式，根據解析式可以得到如下結論：1)其他條件不變時，保險公司的安全負載和初始財富越大，保險公司分配于風險資產上的投資量則越少，購買比例再保險的比例也就越大.這表示保險公司應當將更多資金用于購買比例再保險來降低風險；同樣在其他參數不變的條件下，隨著再保險公司安全負載的增大，分配于風險資產上的投資量越大，購買再保險的比例就越小.這就意味著，保險公司將更多資金用于投資風險市場，較少地購買比例再保險.2)其他條件不變，保險公司的預期目標財富越大，分配于風險資產上的投資量就越多.很明顯，保險公司想要最終財富越大，就應當拿更多的錢投資于風險資產，因為投資風險市場的收益遠大于無風險收益的債券收益.3)若銀行利率越高，保險公司分配于風險資產上的投資量就越少.這意味著，當銀行利率比較高時，保險公司應該拿更多的錢存放于銀行以獲得穩健較高的銀行利息收入.因此，本文模型得到的最優策略與實際情況基本相符，保險公司可以借助于本文的模型來配置保險公司的資產，以達到同時兼顧安全性和收益性的要求.

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