基于生態(tài)競爭方程的企業(yè)競爭動(dòng)態(tài)演化研究

摘 要 從生態(tài)學(xué)視角來研究企業(yè)競爭的動(dòng)態(tài)演化已成為一個(gè)研究熱點(diǎn).針對現(xiàn)有研究文獻(xiàn)中只討論二維系統(tǒng)的不足，以三個(gè)企業(yè)之間的競爭為例，構(gòu)造了企業(yè)間競爭的三維模型，運(yùn)用微分方程穩(wěn)定性理論分析其穩(wěn)定性，并由此揭示出企業(yè)間競爭的動(dòng)力學(xué)機(jī)制.數(shù)值仿真結(jié)果表明，該三維模型能有效地模擬企業(yè)間競爭的動(dòng)態(tài)演化規(guī)律.

關(guān)鍵詞 生態(tài)競爭方程；企業(yè)競爭；穩(wěn)定性分析；動(dòng)力學(xué)機(jī)制

中圖分類號(hào) F062.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Dynamic Evolution of Enterprises’ Competition Based on Ecological Competition Equations

YAO Yi

(School of Mathematical Sciences， Nanjing Normal University， Jiangsu， Nanjing 210046，China)

Abstract

The research on dynamic evolution of enterprises competition from the perspective of ecology has attracted much attention. Aiming atthe drawbacks of the existing studies， a three-dimensional competitive model for three enterprises was formulated. The stability of this model was analyzed using the qualitative theory of differential equations， which reveals the dynamical mechanism of enterprises competition. The numerical simulations suggest that this three-dimensional model can reflect the law of dynamic evolution of enterprises competition effectively.

Keywords ecological competition equations；enterprise competition; stability analysis; dynamic mechanism

1 引 言

競爭是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)發(fā)展的動(dòng)力，企業(yè)要在激烈的競爭中生存與發(fā)展，就必須了解所處的市場，深刻理解競爭的內(nèi)在發(fā)展規(guī)律.考慮到經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中企業(yè)間競爭與生態(tài)系統(tǒng)中種群間競爭的相似性，國內(nèi)外一些學(xué)者嘗試?yán)蒙鷳B(tài)學(xué)理論來研究企業(yè)競爭的動(dòng)態(tài)演化規(guī)律，并取得了豐碩的成果[1-8].

文獻(xiàn)[1]利用修改的Logistic模型分析了IT企業(yè)集群的共生性分析，認(rèn)為集群內(nèi)存在若干個(gè)核心企業(yè)， 它們形成互補(bǔ)或替代關(guān)系， 眾多的衛(wèi)星企業(yè)寄生在各自的核心企業(yè)下，核心企業(yè)和衛(wèi)星企業(yè)在集群內(nèi)能夠自動(dòng)維持著這種分工協(xié)作的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[2]利用Logistic模型，對中小企業(yè)與大型企業(yè)之間的惡性競爭、寄生關(guān)系、捕食關(guān)系和互惠共生四種互動(dòng)模式進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，分析各種模式的穩(wěn)定條件，并據(jù)此提出了相應(yīng)的中小企業(yè)競爭策略的選擇.依據(jù)生態(tài)系統(tǒng)共生模型，文

獻(xiàn)[3]建立了一個(gè)包含正負(fù)作用的一般企業(yè)的競合模型，通過模型的分析說明了企業(yè)集群的發(fā)展取決于市場容納量與固定成長率，而這兩者的提高與企業(yè)集群初始狀態(tài)、企業(yè)集群環(huán)境與市場環(huán)境密切相關(guān)，同時(shí)，合作能增加企業(yè)集群的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[4]在此前研究的基礎(chǔ)上，增加了企業(yè)產(chǎn)出水平的下臨界點(diǎn)，進(jìn)行了企業(yè)競爭模型的局部穩(wěn)定點(diǎn)分析和全局漸近性態(tài)分析，并通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)具體說明了企業(yè)競爭的各種情況和穩(wěn)定性條件.

已有文獻(xiàn)的研究是深入且有效的，是對企業(yè)企業(yè)競爭理論的完善和充實(shí).然而，目前這些研究主要集中于利用二維系統(tǒng)研究企業(yè)競爭機(jī)制，其不足之處在于只能單純刻畫企業(yè)之間的競爭或合作模式，無法揭示企業(yè)之間合作并與其他企業(yè)競爭的過程.本文將討論企業(yè)競爭的更一般情形，以三維系統(tǒng)為研究對象，運(yùn)用微分方程穩(wěn)定性理論討論它們在完全合作市場、完全競爭市場和混合市場下競爭的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，并通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)企業(yè)競爭的動(dòng)態(tài)演化規(guī)律.

2 生態(tài)競爭模型

假設(shè)x1(t)，x2(t)，x3(t)分別表示企業(yè)1、2、3在t時(shí)刻的產(chǎn)出水平，這三個(gè)量均為時(shí)間t的函數(shù).為了分析的方便，這里的時(shí)間t不僅包含一般時(shí)間的含義，而且還包含技術(shù)、信息、成本、專業(yè)化和分工等影響產(chǎn)出水平的因素.

Lotka-Volterra競爭模型描述了這三個(gè)企業(yè)間的競爭：

dx1dt=α1x1(1－x1N1－γ12x2N2－γ13x3N3)，

dx2dt=α2x2(1－x2N2－γ21x1N1－γ23x3N3)，

dx3dt=α3x3(1－x3N3－γ31x1N1－γ32x2N2)， （1）

其中，α1，α2，α3是三個(gè)企業(yè)的產(chǎn)出水平在獨(dú)立生存狀態(tài)下的固定增長率，N1、N2、N3是其對應(yīng)的最大產(chǎn)出水平，γij表示企業(yè)i與j之間的競爭系數(shù)，這里假設(shè)γij=γji.

本文將市場定義為以下三類：

Ⅰ.完全合作市場：當(dāng)γij<1時(shí)，所有的企業(yè)之間的競爭相對較弱，每個(gè)企業(yè)都能取得一定的發(fā)展.需要說明的是，這里所謂的“合作”只是意味著較弱的競爭，并不考慮真正的合作現(xiàn)象.

Ⅱ.完全競爭市場：當(dāng)γij>1時(shí)，所有的企業(yè)之間存在強(qiáng)的競爭，只有一個(gè)企業(yè)能在競爭中獲勝，最終取得全部市場.

Ⅲ.混合市場：在這種市場中，兩個(gè)企業(yè)之間競爭較弱，他們與第三個(gè)企業(yè)之間存在強(qiáng)的競爭.

下面，本文將分析在這三種市場中企業(yè)競爭的動(dòng)力學(xué)機(jī)制和動(dòng)態(tài)演化過程.

3 企業(yè)競爭動(dòng)態(tài)演化的分析

采用微分方程定性理論[9]分析系統(tǒng)（1）中的平衡點(diǎn).由定態(tài)方程，得到模型的平衡點(diǎn)分別為：P0=（0，0，0）；P1=（N1，0，0），P2=（0，N2，0），P3=（0，0，N3），P1、P2、P3表示只有一個(gè)企業(yè)能獲勝；P12=（N11+γ12，N21+γ12，0），P13=（N11+γ13，0，N31+γ13），P23=（0，N21+γ23，N31+γ23），P12，P13，P23表示兩個(gè)“合作”企業(yè)將在競爭中獲勝；P123表示三個(gè)企業(yè)各自占有一份市場的情形.為了計(jì)算上的方便，這里假設(shè)完全對稱的條件：γ12=γ13=γ23=γ，α1=α2=α3=α，N1=N2=N3=N，P123=（N2γ+1，N2γ+1，N2γ+1）.

為了進(jìn)行平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析，計(jì)算Jacobian矩陣，

α1－2α1N1y1－α1γ12N2y2－α1γ13N3y3－α1γ12N2y1－α1γ13N3y1－α2γ12N1y2α2－2α2N2y2－α2γ12N1y1－α2γ23N3y3－α2γ23N3y2－α3γ13N1y3－α3γ23N2y3α3－2α3N3y3－α3γ13N1y1－α3γ23N2y2，（2）

其中的y1、y2、y3分別表示平衡點(diǎn)中的對應(yīng)分量，并計(jì)算相應(yīng)矩陣的特征值，結(jié)果如下：

①對于P0=（0，0，0），Jacobian矩陣的特征值為ζ1=α1，ζ2=α2，ζ3=α3，所有的特征值大于0，P0是不穩(wěn)定的，三個(gè)企業(yè)都將從零開始發(fā)展壯大.

②P1=（N1，0，0），Jacobian矩陣的特征值為ζ1=α3－α3γ13，ζ2=－α1，ζ3=α2－α2γ12.

P2=（0，N2，0），對應(yīng)的特征值為ζ1=－α2，ζ2=α1－α1γ12，ζ3=α3－α3γ23；

P3=（0，0，N3），對應(yīng)的特征值為ζ1=α1－α1γ13，ζ2=α2－α2γ23，ζ3=－α3.

以P3為例進(jìn)行分析.當(dāng)γ13>1，γ23>1，即企業(yè)3與企業(yè)1、2同時(shí)都存在強(qiáng)的競爭時(shí)，P3是穩(wěn)定的.完全競爭市場競爭模型的仿真實(shí)驗(yàn)（見圖1，

其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=γ13=γ23=1.5）表明，若初始值的位置靠近P3，則軌線會(huì)趨于平衡點(diǎn)P3.因此，在完全競爭市場，競爭的初始實(shí)力決定了競爭的最終結(jié)果.

圖1 完全競爭市場競爭模型

同時(shí)，由于參數(shù)γ12沒有影響?yīng)3的穩(wěn)定性，在混合市場（企業(yè)1和企業(yè)2“合作”）， P3也是穩(wěn)定的.混合市場競爭模型的仿真實(shí)驗(yàn)（見圖2， 其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=0.5，γ13=γ23=1.5）表明，當(dāng)初始值接近P3時(shí)，軌線也將收斂到平衡點(diǎn)P3.

③對于P12=（N11+γ12，N21+γ12，0），特征值為

ζ1=α3(1+γ12－γ13－γ23)1+γ12，

ζ2=α2+α1-α22-2α1α2+α21+4α2γ212α12(1+γ12)，

ζ3=α2+α1+α22-2α1α2+α21+4α2γ212α12(1+γ12).

以P12為例進(jìn)行說明.當(dāng)γ12<1，γ13+γ23>1+γ12，即企業(yè)1和企業(yè)2“合作”，都與企業(yè)3有強(qiáng)的競爭時(shí)，P12是穩(wěn)定的.圖2中也表明，當(dāng)初始值接近P12時(shí)，軌線將收斂到平衡點(diǎn)P12.

圖2 混合市場競爭模型

由此可見，初始實(shí)力在混合市場的競爭中依然是決定因素.

P13=（N11+γ13，0，N31+γ13），其特征值為

ζ1=α2(1+γ13-γ12-γ23)1+γ13，

ζ2=-α3+α1-α23-2α1α3+α21+4α3γ213α12(1+γ13)，

ζ3=-α3+α1+α23-2α1α3+α21+4α3γ213α12(1+γ13);

P23=（0，N21+γ23，N31+γ23），其特征值為

ζ1=α1(1+γ23-γ12-γ13)1+γ23，

ζ2=-α3+α3-α23-2α2α3+α22+4α2γ223α32(1+γ23)，

ζ2=-α3+α3+α23-2α2α3+α22+4α2γ223α32(1+γ23).

P13與P23的分析與P12類似.

④對于P123=（N2γ+1，N2γ+1，N2γ+1），特征值為

ζ1=(γ-1)α2γ+1，

ζ2=(γ-1)α2γ+1，

ζ3=－α，

當(dāng)γ<1，所有企業(yè)都處在弱的競爭狀態(tài)，即在完全合作市場，P123是穩(wěn)定的.完全合作市場競爭模型的仿真實(shí)驗(yàn)（見圖3，其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=γ13=γ23=0.5

）表明，在弱競爭狀態(tài)下，三個(gè)企業(yè)的發(fā)展水平將收斂到P123.

圖3完全合作市場競爭模型

4數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

為了更清楚地理解企業(yè)之間的競爭，以下將通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)來模擬企業(yè)競爭的動(dòng)態(tài)演化過程.

1）在完全競爭市場，三個(gè)企業(yè)之間都存在強(qiáng)的競爭，此時(shí)競爭將導(dǎo)致實(shí)力最強(qiáng)的企業(yè)將戰(zhàn)勝其他實(shí)力較弱的企業(yè)，并最終能達(dá)到自己的最大產(chǎn)出水平（見圖4， 其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=γ13=γ23=1.5，初始條件:x1(0)=0.2，x2(0)=0.3，x3(0)=0.5）.

時(shí)間t

圖4 企業(yè)3將贏得競爭

2）在混合市場中，企業(yè)的初始水平將決定到底是“合作”企業(yè)獲勝還是與之對抗的企業(yè)獲勝.當(dāng)“合作”企業(yè)的初始水平與對抗企業(yè)相差不大時(shí)，“合作”企業(yè)將贏得競爭.同時(shí)，由于獲勝的“合作”企業(yè)之間競爭較弱，使得雙方的產(chǎn)出能力都不能達(dá)到各自最大的水平.當(dāng)“合作”企業(yè)的初始水平遠(yuǎn)低于對抗企業(yè)時(shí)，“合作”企業(yè)在競爭中失敗.此時(shí)，對抗企業(yè)卻能通過發(fā)展達(dá)到其最大產(chǎn)出水平（見圖5，其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=0.5，γ13=γ23=1.5，初始條件:x1(0)=0.2，x2(0)=0.3，x3(0)=0.5和圖6， 其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=0.5，γ13=γ23=1.5，初始條件:x1(0)=0.2，x2(0)=0.3，x3(0)=0.8）.在實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)，勝負(fù)的結(jié)果與“合作”企業(yè)之間的競爭水平關(guān)系不大（見圖7，其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=0.8，γ13=γ23=1.5，初始條件:x1(0)=0.2，x2(0)=0.3，x3(0)=0.5

）.

時(shí)間t

圖5 “合作”企業(yè)1和2贏得競爭

3）在完全合作市場中，由于所有企業(yè)之間的競爭較弱，影響了所有企業(yè)的產(chǎn)出水平，雖然最終的產(chǎn)出水平都趨于穩(wěn)定，但遠(yuǎn)小于企業(yè)所能達(dá)到的最大產(chǎn)出水平（見圖8，其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=γ13=γ23=0.5，初始條件:x1(0)=0.2，x2(0)=0.3，x3(0)=0.5）.

5 結(jié) 論

本文以三個(gè)企業(yè)為例分析企業(yè)間競爭的動(dòng)態(tài)演化規(guī)律，通過微分方程定性理論分析了企業(yè)間競爭可能出現(xiàn)的不同情況以及穩(wěn)定性條件，通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)動(dòng)態(tài)的展示了競爭的演化過程：在完全競爭市場，實(shí)力強(qiáng)的企業(yè)將戰(zhàn)勝其他企業(yè)；在完全合作市場，所有的企業(yè)都能發(fā)展，但產(chǎn)出水平不能達(dá)到各自

的最大水平；在混合市場，實(shí)力也將決定競爭的勝負(fù)，當(dāng)“合作”企業(yè)的實(shí)力與對抗企業(yè)之間相差不大，“合作”企業(yè)獲勝，然而，“合作”企業(yè)均無法達(dá)到各自最大的產(chǎn)出水平，對抗企業(yè)的實(shí)力若遠(yuǎn)大于“合作”企業(yè)，“合作”企業(yè)將失敗，此時(shí)，對抗企業(yè)最終能獲得自己的最大產(chǎn)出水平.由于本文的分析是在三個(gè)企業(yè)的競爭基礎(chǔ)上展開，并將競爭與合作的情況全面考慮，因而，所得到的結(jié)果更具有一般意義，是對傳統(tǒng)二維模型的有效擴(kuò)展.

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