線性紅利界下帶干擾風險模型的破產概率

摘 要 考慮到保險公司在實際經營中收益所具有的不確定性和分紅策略，建立一類具有線性紅利界和帶隨機擾動的雙復合Poisson風險模型，利用鞅方法給出模型關于破產概率的一個定理及上界．

關鍵詞 線性紅利界；干擾；雙復合Poisson風險模型；破產概率

中圖分類號 O211．6 文獻標識碼 A

Ruin ProbabilityintheRiskModelwithPerturbance underaLinearDividendBarrier

ZHONG Chao-yan

(School of Mathematics and Information Sciences，Qujing Normal University，Qujing，Yunnan 566011，China)

Abstract Takeing into account the actual operating of an insurance company withrandom income and the dividends strategy， a double compound poisson processes risk model with perturbancl under a linear dividend barrier was established. By using martingale ，the formula and theupper bound of ruin probability in this new model were obtained.

Key words linear dividend barrier;perturbance; the risk model with double compound poisson processes; ruin probability

1 引 言

在Lundberg-cramer經典風險模型中，為了數學處理方便，給了許多假定條件和簡化．而由于保險業務的復雜性，在某些情況下，這些假定條件和簡化并不一定是合適的．因此，后繼的研究者對它從許多方面作了推廣，并且有些研究已比較完整和深入（如文獻［1-5］等）．為了從保險精算的角度來考慮股份制保險公司的紅利分配問題，當前國際保險精算界非常關注對引入紅利的保險風險模型的研究（如文獻［6-7］等）．從當前對紅利模型理論研究的現狀來看，一般可以分成兩類：一類是最優紅利問題；一類是紅利與破產的問題．為了豐富風險模型的研究，克服有關局限性，加強模型的預警和現實描述能力，考慮到保險公司收益具有的不確定性和分紅策略，在前人對紅利邊界風險模型推廣研究的基礎上，建立一類具有線性紅利界和帶隨機擾動的雙復合Poisson風險模型，利用鞅方法給出模型關于破產概率的一個定理及上界，并給出數值算例．

2 建立模型

建立帶隨機干擾的雙復合Poisson風險模型：

R(t)=u+S1(t)－S2(t)+σW(t)，

S1(t)=∑N1(t)i=1Xi，S2(t)=∑N2(t)j=1Yj，t≥0.（1）

其中，u=R(0)(＞0)是初始盈余；{N1(t)，t≥0}、{N2(t)，t≥0}分別是參數為λ1(λ1＞0)，λ2(λ2＞0)的Poisson過程，它們分別表示(0，t)內保費收取的次數和索賠次數；{Xi，i≥1}、{Yj，j≥1}分別表示第i次保單到達隨機收取的保費和第j次索賠的索賠量，它們是i.i.d的非負r.v序列，cdf分別為FX(#8226;)和FY(#8226;)，mgf分別為MX(r)＜

和MY(r)＜

，E［X］=μ1＜

，E［Y］=μ2＜

； {W(t)，t≥0}為一標準布朗運動，σ＞0為一常數，σW(t)表示保險公司的不確定收益；{N1(t)，t≥0}，{N2(t)，t≥0}，{W(t)，t≥0}、{Xi，i≥1}，{Yj，j≥1}相互獨立．

為了保證公司的穩定經營，假定單位時間內的平均保費收入大于平均理賠額．

在模型（1）基本假設不變下，設定一個線性紅利界限y=b+qt，其中b為初值（u≤b），q為遞增速率（0＜q＜λ1μ1）．這樣只要盈余在紅利界限以下，便不發放紅利；若盈余在紅利界限以上，每單位時間便發放λ1μ1－q的紅利，直至下一次索賠發生．這樣的運作結果可使得盈余一旦超越紅利界限便駐留在邊界上．于是得一新的盈余過程：

dR(t)=dS1(t)+σdW(t)－dS2(t) ， R(t)＜b+qt，qdt+σdW(t)－dS2(t)，R(t)=b+qt.（2）

令T=Tb(u)=inf {t≥0|R(t)≤0}為模型（2）的破產時刻；Ψ(u，b)=P(Tb(u)＜

|0≤u≤b)為模型（2）的最終破產概率．

3 主要結果

引理1 模型（1）的Lunderg方程為λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22=0，它有非平凡正解為R，并稱R為模型（1）的調節系數．

證明 對h＞0和r∈R，可得

E［exp (－r(R(t+h)－R(t)))］

=E［e－r［S1(t+h)－S1(t)］e－rσ［W(t+h)－W(t)］er［S2(t+h)－S2(t)］］

=eh(λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22).

故模型（1）的Lunderg方程為

λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22=0．

令g(r)=λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22，則g(0)=0，r→

，g(r)→

，且

g″(r)=λ1M″X(－r)+λ2M″Y(r)+σ2

=λ1E［X2e－rX］+λ2E［Y2erY］+σ2≥0，

所以g(r)=0必有一非平凡正解R．

引理2 方程sq+Rq=λ1(MX(s)－1)+λ2(MY(－s)－1)+σ2s22有唯一正解s=S，其中R為調節系數．

證明 方程sq+Rq=λ1(MX(s)－1)+λ2(MY(－s)－1)+σ2s22可改寫為

λ1MX(s)+λ2MY(－s)

=((λ1+λ2)+Rq)+sq－σ2s22.

當s=0時，上式左端小于右端；再由于左端是凸函數，右端是開口向下的二次函數，故恰有兩個解：平凡解s=－R及非平凡解s=S．

引理3 對于存在線性紅利界限的風險模型（2），若函數

v(x，t)=exp (－Rx)+RSexp (Sx－

(R+S)(b+qt))，t≥0，0≤x≤b+qt，

其中，R，S同引理1與引理2所設，則{v(R(t)，t)}為一鞅．

證明 對于存在線性紅利界限的風險模型（2），為了尋找函數v(x，t)，t≥0，0≤x≤b+qt，使{v(R(t)，t)}為一鞅，只要函數v(x，t)滿足［1］

lim h→0E［v(R(t+h)，t+h)|Ht］－v(R(t)，t)h=0.（3）

在(t，t+h)時間內討論如下情況：

1）沒有保費收入，也沒有索賠發生；2）沒有保費收入，有一次索賠發生；

3）有一次保費收入，沒有索賠發生；4）有一次保費收入，有一次索賠發生．

可知，當{v(R(t)，t)}滿足條件：

σ222vx2+vt+

λ1∫

0v(x+z，t)dFX(z)+λ2∫

0v(x－y，t)dFY(y)－(λ1+λ2)v(x，

t)=0，x＜b+qt.（4）

σ222vx2+qvx+vt+

λ2∫

0v(x－y，t)dFY(y)－λ2v(x，t)=0，

x=b+qt（5）

時式（3）成立，所以{v(R(t)，t)}為一鞅．這樣，可以轉而尋找這樣一個函數v(x，t)，它使得方程（4）對所有x與t皆成立，并滿足

vx=0，x=b+qt .（6）

考慮函數

v(x，t)=exp (－Rx)+RSexp (Sx－(R+

S)(b+qt)).

由引理1、引理2知函數v(x，t)滿足式（4）與式（6），故{v(R(t)，t)}為一鞅．

定理存在線性紅利界限的風險模型（2）的最終破產概率Ψ(u，b)滿足：

Ψ(u，b)=exp (－Ru)(1+RSexp (－(R+S)(b－u)))E［exp (－RR(T))+RS

exp (－(R+S)(b+qT)+SR(T)|T＜

］，0≤u≤b.

其中，R，S同引理1與引理2所設．

證明 設

z(t)=exp (－RR(t))+RSexp (SR(t)－

(R+S)(b+qt))，

則由引理3知{z(t)}為一正鞅，對任意固定的t0，T∧t0是有界停時，利用有界停時定理有

E［z(T∧t0)］=E［z(0)］

=e－Ru{1+RSexp ［－(R+S)(b－u)］}.

由全期望公式得

E［z(T∧t0)］=E［z(T)|T≤t0］，

P(T≤t0)+E［z(t0)|T＞t0］P(T＞t0)，

在上式兩端令t0→

，由單調收斂定理和Lebesgue控制收斂定理知

E［z(0)］=E［z(T)|T＜

］Ψ(u，b)+

E［z(

)|T=

］(1－Ψ(u，b)).

由于lim t→

R(t)=+

，a.s.，故z(

)=0，a.s.，進而

Ψ(u，b)=exp (－Ru)(1+RSexp (－(R+S)(b－u)))E［exp (－RR(T))+RSexp (－(R+S)(b+qT)+SR(T)|T＜

］．

推論存在線性紅利界限的風險模型（2）的最終破產概率Ψ(u，b)滿足：

Ψ(u，b)≤exp (－Ru)(1+RS#8226;

exp (－(R+S)(b－u)))，0≤u≤b.

其中，R，S同引理1與引理2所設．

下面給出一個數值算例.

例 假設保單的到達速率為λ1=20張/天，理賠速率為λ2=0.01次/天，FX(x)=1－e－x和FY(y)=1－e－0.001y．下面在不同假定條件下計算風險模型（2）最終破產概率的理論上界.

1）在假定u=1，b=2，q=11的條件下，計算不同σ下的R、S和最終破產概率的理論上界可得表1.

從表1中可以看出，在考慮投資收益等干擾因素的條件下，調節系數隨著擾動強度的增大而減小；最終破產概率的理論上界隨著調節系數的減小而增大；這與追求高收益的激進的投資策略往往帶來高風險的實際是相符的．因此保險公司應當注意控制投資策略的平穩性，盡量避免大的波動.

2）在假定σ=1，u=1，q=11的條件下，計算不同b下的最終破產概率的理論上界可得表2.

從表2中可以看出，最終破產概率的理論上界隨著b值的增大而減小；這與b設置得越高，意味著保險公司不傾向于過度分配當期盈利，所分配的紅利就越少，相應的實際償付能力就越強的實際是相符的．

3）在假定σ=1，u=1，b=2的條件下，計算不同q下的S和最終破產概率的理論上界可得表3：

從表3中可以看出，最終破產概率的理論上界隨著q值的增大而減小；這與q設置得越大，意味著保險公司每單位時間發放的紅利就越少，相應的實際償付能力就越強的實際是相符的．

4 結 論

為了加強模型的預警和現實描述能力，考慮到投資收益等干擾因素的偏差對保險公司財務穩定的影響和分紅策略，建立了一類具有線性紅利界和帶隨機擾動的雙復合Poisson風險模型，并利用鞅方法給出了模型關于最終破產概率的一個定理及上界，推廣了不含紅利和不帶隨機擾動時的相應結果，通過數值算例可以看到，所建模型是符合保險實際的，這對保險公司科學地預測未來的風險和收益，確保經營穩定性有一定的實際意義．

參考文獻

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