基于信用風險修正的多階段銀行資產組合優化模型

摘 要 從資產組合管理角度出發，用信用風險修正的方法對企業信用等級閾值進行修正，同時考慮商業銀行持續經營的特點，將修正后的信用風險引入到多階段的模型當中去，建立一個基于信用風險修正的多階段銀行資產組合優化模型.針對該模型的特點， 給出了把Monte Carlo模擬的動態算法和改進粒子群的多階段算法相結合求解方法.數值試驗表明所建立的模型是合理的且符合商業銀行的實際操作要求，給出的方法是有效的和可行的.

關鍵詞 多階段資產組合；信用風險修正；風險價值（VaR）；Monte Carlo模擬；改進粒子群算法（APSO）

中圖分類號 F830 文獻標識碼 A

Multi-Period Bank’s Asset Portfolio Optimization Model Based on the Adjusted Credit Risk

SUN Ying，GAO Yue-lin

(Institute of Information and System Science， Beifang University of Nationalities， Yinchuan，Ningxia 750021，China)

Abstract From the management of asset portfolio， by adjusting the credit threshold value by Risk Migration， and considering the bank’s continuity principle， This paper established a multi-period dynamic asset portfolio optimization model for banks，based on the adjusted credit risk. According to the model’s feature， we gave the methodconsisting of the dynamic algorithm based on the Monte Carlo simulation and an adaptive multi-period particle swarm optimization algorithm. The numerical experiment indicates that the model is reasonable and the given method is effective and feasible.

Key words multi-period asset portfolio; adjusted credit risk;value at risk;Monte Carlo simulation; adaptive particle swarm optimization algorithm

1 引 言

銀行的資產組合管理即是在有限資本約束的前提下，保持資產業務風險與收益的平衡統一，并對資產結構的調整和發展戰略起到引導作用.國內外學者對該問題都進行了大量的研究，文獻［1］中考慮了單階段情況時，銀行的資產分配問題，但這不符合商業銀行持續經營的要求；文獻［2］中考慮了多階段時商業銀行的資產分配，但卻忽略了利率風險的計算；文獻［3-4］中在多階段模型中考慮了信用風險轉移矩陣，但是在計算過程中又假設了企業的收益率服從正態分布，這樣必然增大信用風險的度量誤差； 鑒于現有模型均存在的一些不足，本文建立了一個基于信用風險修正的多階段銀行資產組合優化模型.

本文中提出的模型是一個非線性的多階段問題，其求解本身就是一個難題，再加之模型中每一階段都需要Monte Carlo方法來模型信用風險等級轉移概率，則更加大了問題的求解難度.給出了把Monte Carlo模擬的動態算法和改進粒子群的多階段算法相結合求解方法，前者求解銀行各類貸款的期望收益率，后者求解每一階段銀行對各類貸款的最優投資比重.

2 基于信用風險修正的多階段銀行資產

組合優化模型的建立2.1 信用風險修正后的信用等級轉移概率

本文將初始信用等級相同，貸款期限也相同的貸款企業劃分為同一類企業，同類企業年收益率為該類企業中各企業平均收益率［5］.

根據正態概率紙檢驗原理［6］，首先對企業收益率進行正態檢驗.

如果企業收益率不服從正態分布，直接采用已知的信用等級轉移矩陣計算貸款收益率和貸款組合信用風險，必然會導致較大的誤差.因此，在每一階段的開始，結合貸款企業此時處于的信用等級，用峰度偏度非正態修正法［3］對信用等級轉移矩陣進行修正.

2.2 目標函數的建立

同時考慮表1中的各類資產和 N個貸款項目，求解其最優的分配比重.表1中的前六項資產的利率是固定不變的，不存在風險.故而，銀行資產組合的風險僅存在于類企業貸款中.應當指出：由于存在貸款風險，表1中的1~3年和4~5年貸款的名義收益率不能作為下文中貸款收益率的標準，真實貸款收益率才是確定資產收益率的標準.

依據多階段資產組合原理［4，［7［］，即運用逆向遞推原理建立模型：

2.2.1 企業期末貸款收益率期望值的計算

Yk，m=∑ni=j=1pmS(m-1)，j×Ri，t-m+1+

pmS(m-1)，8×RDS(m-1)（1）

式(1)中t表示企業貸款的總期限；m表示企業貸款的第m年年初；S(m－1)表示第k類企業第m－1年的信用等級；i表示信用等級為i；j表示m年年初貸款企業一年后可能的信用等級為j；n表示除違約外的企業貸款可能的信用狀態的數量.由于pmS(m-1)，j和Ri，t－m+1存在一 一對應的關系，所以i等于j，由于違約是一個特例，所以單獨計算.pmS(m-1)，j表示第m年年初信用等級為S(m－1)，一年后轉移為信用等級為j的概率；Ri，t－m+1表示第i個信用等級在剩余貸款期限為n－m+1的貸款收益率；pmS(m-1)，8表示第m年年初信用等級為S(m－1)，一年后信用等級為違約的概率；RDS(m－1)表示最初信用等級為S(m－1)違約時的貸款收益率.

在求T（T＞1）年的某類企業貸款收益率的期望值時，因先求得企業貸款的信用等級轉移概率，其求解可由下文算法1的T－1步完成，利用式(1)進行第一次折算，在結合算法1的T步產生的信用等級轉移概率，求解該類貸款企業的年末期望值，即運用式(1)進行第二次折算.

2.2.2 企業貸款收益率期望值標準差的計算

由式（4）得出的企業貸款收益率期望值，進一步求其方差

D(Yk，m)=∑ni=j=1［pmS(m-1)，j×(Ri，t-m+1-Yk，m)2］+

pmS(m-1)，8×(RDS(m-1)-Yk，m)2.（2）

將D(Yk，m)開方求解企業貸款收益的標準差

σ(Yk，m)=D(Yk，m).（3）

2.2.3 目標函數的建立

令T為末期，J為第J期，N為貸款企業的個數，M為無風險資產的個數，x*k，J為第k類企業第J期的分配比重的變化量，xk，J+1為第k類企業第J+1期的分配比重，Yk，J為第k類企業第J期的收益率期望，ω*i，J為第i類無風險資產第J期的分配比重的變化量，ωi，J+1為第i類無風險資產第J+1期的分配比重，Uk，J為第i類無風險資產第J期的利率.在此模型中，仍以每一階段的收益率最大為目標函數，但此時的目標函數由兩部分組成：即每一階段的N類企業貸款的組合收益ZJ和無風險資產的收益AJ.

設xk，J=x*k，J+xk，J+1，（4）

ωi，J=ω*i，J+ω*i，J+1.（5）

為了使銀行資產的收益達到最大，則可建立目標函數為

max ZJ+AJ=∑Nk=1xk，JYk，J+∑Mi=1ωk，JUk，J

=∑Nk=1(x*k，J+xk，J+1)Yk，J+

∑Mk=1(ω*k，J+ωk，J+1)Uk，J.

J=1，2，…，T.（6）

2.3 約束函數

2.3.1 銀行監管約束

各國銀行業法令和金融管理當局都對資產負債管理有著嚴格的規定.對于中國的銀行業來說，這些監管要求主要有［1］

DLR=L/D≤75%，(ⅰ)

RR=(R+C)/L≥5%，(ⅱ)

LMR=M1/D≤8%，(ⅲ)

其中：式（ⅰ）中DLR為存款比重，L為各項貸款期末余額，D為各項存款期末余額；式（ⅱ）中RR為備付金比重，R為在人民銀行備付金存款期末余額，C為庫存現金期末余額；式(ⅲ)中LMR為拆出資金比重，M1為拆出資金期末余額.

即： (ⅰ)可轉換為

∑Nk=1(x*k，J+xk，J+1)≤75%.

(ⅱ)可轉換為

ω*1，J+ω1，J+1+ω*4，J+ω4，J+1≥

5%×∑Nk=1(x*k，J+xk，J+1) .

(ⅲ)可轉換為

∑6I=5(ω*I，J+ωI，J+1)≤8%×［1－∑4I=2(ω*I，J+ωI，J+1)］.

另外，還包括法定存款準備金比重、系統內存款準備金比重、庫存現金比重等法規［1］和銀行內部的約束條件.同時，為了分散風險，根據監管的要求，任何的貸款比重不能超過總資產的20%.將這些約束條件引入到多期資產組合的研究中，解決了現有研究中對銀行的風險承受能力和資本監管的客觀要求考慮不足的問題.即

法定存款準備金比重

ω*2，J+ω2，J+1=6%;

系統內存款準備金比重

ω*3，J+ω3，J+1=7%（上交總行）;

流動性的庫存現金比重

ω*1，J+ω1，J+1≥0.06%（銀行預測）;

盈利性的庫存現金比重

ω*1，J+ω1，J+1≤1.5% （銀行預測）.

2.3.2 貸款結構

0≤x*k，J+xk，J+1≤0.2 (k=1，2，…，N);(7)

0≤ω*k，J+ωk，J+1≤1 (k=1，2，…，M);（8）

∑Nk=1(x*k，J+xk，J+1)+∑Mi=1(ω*i，J+ωi，J+1)=1.（9）

2.3.3 VaR約束

假設 Y(J)是在第J期貸款組合的實際收益率；E(J)=xk，JYk，J為N類貸款組合在第J年的期望收益率；σ2(J)=XTJσρσXJ為N類貸款組合在第J年的方差，σ為各類貸款的標準差.

為了控制市場風險［1］，規定在95%的置信水平下貸款組合的損失(VaR)不得超過現金與備付金存款之和所占的比例，即監管要求中的R+C，由此得到不等式約束

P(Y(J)＜(E(J)－(R+C)))＜0.05，（10）

即

P(Y(J)－E(J)σ(J)＜－(R+C)σ(J))＜0.05.（11）

應當指出，在這里的貸款組合損失指的是實際貸款的價值與理論期望的貸款的價值之差.根據中心極限定理，當貸款企業的數量N足夠大時，Y(J)－E(J)σ(J)近似地服從標準正態分布.則當有足夠多的貸款企業時，由式(11)可得－(R+C)σ(J)≤－1.65，即

σ2(J)≤(R+C)2/1.652， (12)

亦可表示為

σ2(J)≤(ω1，J+ω4，J)2/1.652. （13）

2.4 基于信用風險修正的多階段銀行資產

組合優化決策模型

模型（P）為

max ZJ+AJ=∑Nk=1xk，JYk，J+∑Mi=1ωk，JUk，J

=∑Nk=1(x*k，J+xx，J+1)Yk，J+∑Mi=1(ω*k，J+ωk，J+1)Uk，J

s.t. ∑Nk=1(x*k，J+xx，J+1)≤75%，

ω*1，J+ω1，J+1+ω*4，J+ω4，J+1≥5%×∑Nk=1(x*k，J+xx，J+1).

∑6I=5(ω*I，J+ωI，J+1)≤8%×［1-∑4I=2(ω*I，J+ωI，J+1).

ω*2，J+ω2，J+1=6%，

ω*3，J+ω3，J+1=7%，

ω*1，J+ω1，J+1≥0.06%，

ω*1，J+ω1，J+1≤1.5%，

0≤x*k，J+xk，J+1≤0.2，

0≤ω*k，J+ωk，J+1≤1，

∑Nk=1(x*k，J+xx，J+1)+∑Mi=1(ω*k，J+ωx，J+1)=1，

σ2(J)≤(ω1，J+ω4，J)2/1.652，

k=1，2，…，N.

3 模型的求解

本文提出的基于信用風險修正的多階段銀行資產組合優化決策模型是一個非線性的多階段優化問題.它也可以看作是兩個階段的問題，首先，要運用正向遞推的方法求解出每一階段各類貸款的收益率和標準差，然后，在此基礎上利用逆向遞推的方法求解出在每一階段銀行對于各類企業的貸款比重.鑒于該模型的特殊性，給出算法1和算法2分別對問題中的銀行各類貸款的期望收益率和每一階段銀行對各類貸款的最優投資比重進行求解，即基于Monte Carlo模擬的動態算法和基于改進粒子群算法.本質上，前者的結果是后者進行運算的前提，是后者的一個輸入變量，兩個算法可以看成是一個算法的兩個階段，是不能顛倒運算次序的.

算法1 基于Monte Carlo模擬的動態算法

以某一類企業為例.

Step 1 (初始化) 輸入Monte Carlo模擬的次數C=10 000，正態假定下期末信用等級轉移矩陣對應的閾值，各企業的初始等級，各類企業的貸款期限，貸款收益率等數據.

Step 2 求解各類企業收益率分布的偏度和峰度，

偏度S=E(ri－μ)3σ3；峰度K=E(ri－μ)4σ4.

Step 3 利用Monte Carlo模擬的方法，求出此階段某類企業的信用轉移概率.具體為

Step 3.1 由配極法產生一個服從標準正態分布N(0，1)的標準正態隨機數γ.

Step 3.2 根據此時貸款企業所處的信用等級，按下式修正信用等級轉移對應的標準正態閾值［4］和步驟3.1成生的標準正態隨機數，得出修正后的閾值表Z′G，S和隨機數γ'，

zi=zci+16(z2ci-1)S+124(z3ci-3zci)K-

136(2z3ci-5zci)S2.

Step 3.3 若Z′G，S-1≤γ′≤Z′G，S，則該類貸款的期末信用等級處于S等級，令TS=TS+1，TS為計算器.

Step 3.4 如果滿足C=10 000，即可得出該類貸款在處于不同信用等級的次數，亦可求出其該階段的概率分布情況.

Step 4 利用公式（1），（3）求出該類貸款企業的期望收益率和標準差.

Step 5 （終止檢驗）如果終止準則滿足，即達到該類企業的貸款年限，則輸出每一階段該類貸款企業的期望收益率和標準差，否則，

置t:=t+1，轉步驟3.

同理，可以求出其他類貸款企業的期望收益率和標準差.

此時，已經運用基于Monte Carlo模擬的動態算法正向遞推出了全部貸款企業的期望收益率和標準差，接下來介紹算法2，用于求解各階段的銀行貸款比重.

本文采用的改進粒子群優化算法，是一種帶有非線性遞減慣性權重策略的粒子群優化算法［10］，其將算法中的慣性權重按式(14)進行改變，增強了算法的局部和全局搜索能力.

ω(t)=(ωstart－ωend－d1)e11+d2t/tmax ，（14）

其中，ωstart和 ωend分別為初始慣性權重和進化的最大的迭代次數時的慣性權重，本文取 ωstart=0.95，ωend=0.4；d1，d2為控制因子，ω(t)在ωstart和ωend之間，本文取d1=0.2，d2=7；tmax 為最大的迭代次數；t為當前的迭代次數.

算法2 基于改進粒子群的多階段算法

Step 1 (初始化) 輸入總階段數T和算法1產生的數據，X*(T+1)=0.

Step 2 隨機初始化滿足約束條件的種群規模為NP的進化種群，位置向量為xti=(xti1，xti2，…，xtiN，xti(N+1)，…，xti(N+M))，速度向量vi=(vi1，vi2，…viN+M)，社會學習系數c1，認知系數c2，控制因子d1，d2，初始慣性權重ωstart，進化到最大的迭代次數時的慣性權重ωend，編碼長度N+M，種群進化代數t=0.

Step 3 問題的歸一化處理：xti=xti∑N+Mj=1xtj（此時前N個為第T階段第t次循環時的貸款分配比重；后M個為第T階段第t次循環時無風險資產的分配比重）.

Step 4 貸款比重的變化量：令xti=xti-X*i(T+1) （此時前N個為第T階段第t次循環時的貸款分配比重的變化量；后M個為第T階段第t次循環時無風險資產的分配比重的變化量）.

Step 5 個體評價：計算每個個體的適應度值fun(*)（適應度函數即為目標函數）.

Step 6 初始化整個粒子群的當前全局最優值Pg＝(pg1，pg2，…，pgN+M)和每個個體的當前最優值Pi=(pi1，pi2，…，piN+M).

Step 7 對粒子群中的所有粒子按下式相繼執行更新粒子速度和位置：

xid(t+1)=xid(t)+vid(t+1)，

vid(t+1)=ω(t)vid(t)+c1r1(pid(t)－xid(t))+

c2r2(pgd(t)－xid(t)，

d=1，…，N+M.

Step 8 根據式（14），分別計算ω.

Step 9 確定每一個貸款比重：xi+1i=xt+1i+X*i(T+1)，xt+1i=xt+1i∑N+Mj=1xt+1j （此時前前N個為第T階段第t+1次循環時的貸款分配比重，后M個為第T階段第t+1次循環時無風險資產的分配比重）.

Step 10 單階段的終止檢驗：若達到最大進化代數或滿足誤差要求，則輸出最優解至X*(T)轉步驟10；否則，令t=t+1轉步驟4.

Step 11 總的終止檢驗：若滿足總的階段數，則輸出X*(1)，X*(2)，…X*(T)；否則，令T=T－1并將X*(T)代回步2.

4 數值算例

4.1 算例

本文采用文獻［4］中的算例對模型和算法進行試驗.研究擬采用某銀行申請貸款的7類企業(其信用等級和貸款年限見表2)和其15年的收益率(見表3)作為樣本.假定該銀行可用于中長期貸款的資金頭寸為1或100%.

4.2 問題的求解

4.2.1 求解問題 (P)的每一階段各類貸款的收益率和標準差，即算法1所計算的結果：

（1） 企業收益率的正態檢驗

經正態檢驗概率紙檢驗可看出這7類企業收益率并不服從正態分布，故不能直接采用已知的信用轉移矩陣.

（2） 各類貸款企業的期望收益率和方差

運用Matlab編寫算法1的程序，進行運算可得（由于數據較龐大，僅列舉結果見表4）：

5 結束語

本文從資產組合管理角度出發，用信用風險修正的方法對企業信用等級閾值進行修正，使得其能更準確地計算資產組合的信用風險，同時考慮商業銀行持續經營的特點，將修正后的信用風險引入到多階段的模型當中去，建立一個基于信用風險修正的多階段銀行資產組合優化模型.鑒于該模型的復雜性和非線性等特點，對其求解本身就十分困難，傳統的方法幾乎不能求解，因此，給出了求解該問題的智能優化方法—基于Monte Carlo模擬的動態算法和基于改進粒子群的多階段算法.通過對現有算例進行數值試驗，由于智能算法的局限性，對同一問題進行了50次運算取其平均值，所得結果較為理想，但不得不指出計算時間仍有待減少.綜上，建立的模型更加符合商業銀行的實際操作要求，給出的算法可以求解此模型并得到較好的解，故模型是合理的，算法是有效的.

參考文獻

［1］ 遲國泰，奚揚，姜大治，等.基于VaR約束的銀行資產負債管理優化模型［J］.大連理工大學報:2002，42(6):750-758.

［2］ D Li，LungNg-wan. Optimal dynamic portfolio selection: Multiperiod mean variance formulation［J］. Mathematical Finance:2000， 10(3):387-406.

［3］ E I Aitman. Rating migration of corporate bonds: comparative results and investor/lender implications ［R］. New York: Salomon Brothers， Inc， 1997.

［4］ 遲國泰，董賀超，孫秀艷.基于多期動態優化的銀行資產組合決策模型［J］.系統工程理論與實踐:2007，(2):1-16.

［5］ Y TKAT，S T RACHEV.E S SCHWARTZ. The stable non-gaussian asset allocation: A comparisonwith the classical gaussian approach［J］.Journal of Economic Dynamics Control:2003， 27 (6): 937-969.

［6］ 天津大學數學系概率統計教研室.應用概率統計［M］.天津:天津大學出版社:1990:282-313.

［7］ 許文，董賀超，遲國泰.商業銀行貸款組合動態優化模型研究［J］.管理科學:2006，3(6):652-660.

［8］ 孫秀艷.基于信用風險修正的銀行資產組合優化模型［D］.大連:大連理工大學經濟學院，2005.

［9］ R.詹姆斯， L.埃文斯，奧爾森.模擬與風險分析［M］.上海:上海人民出版社:2001:68-69.

［10］李會榮，高岳林，李濟民.一種非線性遞減慣性權重策略的粒子群優化算法［J］.商洛學院學報:2007，21(4):16-20.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文