多元線性模型中兩類預測的最優性判別

摘 要 在一般多元線性模型中就基于嶺估計的預測量與最優線性無偏預測量的最優性判別問題進行了討論，得到了基于嶺估計的預測量在矩陣跡意義下優于最優線性無偏預測量的充要條件.

關鍵詞 多元線性模型；最優線性無偏預測；嶺型預測

中圖分類號 O 212.1 文獻標識碼 A

Discrimination of Superiority of Two Predictions in the Multivariate Linear Model

HUANG Jiewu

(School of Science， Guizhou University for Nationalities，Guiyang，Guizhou 550025， China)

Abstract The optimality of the prediction based on the ridge estimation and the optimal linear unbiased predication in the multivariate linear model was investigated. A sufficient and necessary condition of the superiority of the ridge prediction to the optimal linear unbiased prediction was given under the condition of the criteria of matrix trace function.

Keywords the multivariate linear model， the optimal linear unbiased prediction， the ridge prediction

1 引 言

設n×q的觀察值矩陣Y滿足一般的多元線性模型：

Y=XB+ε，E(Vec(ε))=0，Cov(Vec(ε))=ΔΣ.(1)

其中，B是p×q的未知回歸系數矩陣，ε是n×q的隨機誤差矩陣，X為n×p已知設計陣，且rank(X)=p，Δ和Σ分別為已知的q階和n階正定矩陣.

式中Vec(ε)為把ε的列按先后次序排列得到的列向量，ΔΣ表示Δ與Σ的Kronecker乘積，E(#8226;)和Cov(#8226;)分別表示隨機向量的期望與協方差陣，rank(#8226;)表示矩陣的秩.

模型(1)的預測問題就是利用已知觀察值矩陣Y預測未觀察值矩陣

Y0=X0B+ε0.

其中E(Vec(ε0))=0，Cov(Vec(ε0))=ΔΣ0，E(Vec(ε)Vec′(ε0))=0，X0為m×p的已知矩陣，Σ0為已知的m階正定矩陣，ε0是m×q的隨機誤差陣.

針對有偏估計的預測問題，文獻［1］在線性模型(y=Xβ+ε，ε~N(0，σ2Σ))中針對三類特殊的估計量(1=β，2=(X′Σ－1X)－1X′Σ－1y，3=ββ′X′Σ－1yσ2+β′(X′Σ－1X)β)，對未知觀察向量y0的最優預測量與經典預測量關于風險函數R()=E(－y0)′A#8226;(－y0)的最優性判別進行了討論，這里矩陣A≥0.而文獻［2］就y0的最優預測量與經典預測量關于離差矩陣M()=E(－y0)(－y0)′的最優性判別進行了討論.

本文在一般多元線性模型中對基于嶺估計的預測量與最優線性無偏預測量的最優性判別進行了討論，得到了基于嶺估計的預測量在矩陣跡意義下優于最優線性無偏預測量的充要條件.

2 嶺型預測與最優線性無偏預測

的最優性判別

記L=(X′Σ－1X)－1X′Σ－1Y，L=X0L，易知L=X0L為Y0的最優線性無偏預測，即有E(L)=B，且Cov(Vec(L))=Δ(X′Σ－1X)－1.

定義1 記k=(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1Y，k=X0k，則稱k=X0k為Y0的嶺型預測.這里k＞0是可選擇的參數，稱為嶺參數或偏參數［3］.

易知E(k)=(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1XB，E(k－Y0)≠0，即k為Y0的有偏預測，且 Cov(Vec(k))=Δ(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1.

定義2 設1、2為Y0的兩個預測量，RT(，Y0)trE(－Y0)′(－Y0)，若它們滿足：

RT(1，Y0)－RT(2，Y0)≥0，

則稱預測量2關于RT(#8226;)優于預測量1，或簡稱為RT(#8226;)準則［4］.

引理1 設M≥0，N≥0，則M≥Nμ(N)μ(M)，λ1(NM－)≤1.其中λ1(NM－)與M－的選擇無關［5］.

引理2 設Σ是n階正定陣，Q是n×m的矩陣，則

Q′Σ－1Q≤IQQ′≤Σ.

證 若Q′Σ－1Q≤I則λ1(Q′Σ－1Q)≤1λ1(Σ－1QQ′)≤1λ1(Σ－1QQ′Σ－1Σ)≤1，又μ(Σ－1QQ′Σ－1)μ(Σ－1)，所以有：

Σ－1QQ′Σ－1≤Σ－1QQ′≤Σ.

若QQ′≤Σ，則Σ－1QQ′Σ－1≤Σ－1λ1(Σ－1QQ′Σ－1Σ)≤1λ1(Σ－1QQ′）≤1λ1(Q′Σ－1#8226;Q)≤1，又μ(Q′Σ－1Q)μ(I)，所以有

Q′Σ－1Q≤I.

引理證畢.

經 濟 數 學第 28卷第1期黃介武:多元線性模型中兩類預測的最優性判別

定理1 Y0的嶺型預測k關于RT(#8226;)準則優于它的最優線性無偏預測L，即RT(L，Y0)－RT(k，Y0)≥0的一個充要條件是：

BB′≤tr(Δ)(2kI+(X′Σ－1X)－1).

證 因RT(L，Y0)=trE(X0L－Y0)′(X0L－Y0)，由E(X0L－Y0)=0，

Cov(Vec(X0L－Y0))=ΔX0(X′Σ－1X)－1X′0

+ΔΣ0，

通過計算可知：

RT(L，Y0)=tr(X0(X′Σ－1X)［－1X′0)tr(Δ)+

tr(Σ0)tr(Δ) .

由E(X0k)=X0(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1XB，

Cov(Vec(X0k－Y0))=

ΔX0(X′Σ－1X+

kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1X′0+ΔΣ0，

E(X0k－Y0)=－kX0(X′Σ－1X+kI)－1B計算可得

RT(k，Y0)=tr(k2X0(X′Σ－1X+kI)－1#8226;

BB′(X′Σ－1X+kI)－1X′0)+tr(X0(X′Σ－1X+

kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1X′0)tr(Δ)+

tr(Σ0)tr(Δ) ，

RT(k，Y0)≤RT(L，Y0)

tr(k2X0(X′Σ－1X+kI)－1BB′(X′Σ－1X+kI)－1X′0)

≤［tr(X0(X′Σ－1X)－1X′0)－tr(X0(X′Σ－1X+

kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+

kI)－1X′0)］tr(Δ).(2)

因為

X′Σ－1X+kI＞X′Σ－1X，

所以

(X′Σ－1X+kI)－1(X′Σ－1X+kI)(X′Σ－1X+kI)－1

＞(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1.

而

(X′Σ－1X+kI)－1＜(X′Σ－1X)－1.

所以

(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1＜

(X′Σ－1X)－1X0(X′Σ－1X+kI)－1#8226;

X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1X′0≤

X0(X′Σ－1X)－1X′0.

當k2(X′Σ－1X+kI)－1BB′(X′Σ－1X+kI)－1≤

(X′Σ－1X)tr(Δ)－(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1

X(X′Σ－1X+kI)－1tr(Δ).

必有

k2X0(X′Σ－1X+kI)－1BB′(X′Σ－1X+kI)－1X′0≤

X0(X′Σ－1X)X′0tr(Δ)－X0(X′Σ－1X+kI)－1#8226;

X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1X′0tr(Δ).

即式(2)一定成立.而

k2(X′Σ－1X+kI)－1B′(X′Σ－1X+kI)－1≤

(X′Σ－1X)－1tr(Δ)－(X′Σ－1X+kI)－1#8226;

X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1tr(Δ)BB′≤

tr(Δ)(2kI+(X′Σ－1X)－1)B′X′Σ－1XB≤tr(Δ)I

λ1(B′X′Σ－1XB)≤tr(Δ).

定理證畢.

推論1 若λ1(B′X′Σ－1XB)≤tr(Δ)，則對一切k＞0，在矩陣跡意義下，k優于L.

定義3 設1、2為0的兩個預測量，M(，Y0)E(－Y0)(－Y0)′若它們滿足

M(1，Y0)－M(2，Y0)≥0，

則稱預測量2關于MDE－優于預測量1，或簡稱為MDE－準則.

定理2 RT(1，Y0)－RT(2，Y0)≥0等價于M(1，Y0)－M(2，Y0)≥0.

證 因為RT(，Y0)=trE(－Y0)′A(－Y0)，M(，Y0)=E(－Y0)(－Y0)′，

從而

RT(1，Y0)－RT(2－Y0)=trE(1－

Y0)′A(1－Y0)－trE(2－Y0)′A(2－Y0)

=EtrA(1－Y0)(1－Y0)′－EtrA(2－Y0)#8226;

(2－Y0)′=trA［M(1，Y0)－M(2，Y0)］

RT(1，Y0)－RT(2，Y0)≥0.

M(1，Y0)－M(2，Y0)≥0.

定理證畢.此結論說明以上兩種判別準則等價.

定理3 Y0的嶺型預測k關于MDE－準則優于它的最優線性無偏預測L，即M(L，Y0)－M(k，Y0)≥0的一個充分條件是：

BB′≤tr(Δ)(2kI+(X′Σ－1X)－1).參考文獻

［1］ Bibbyj Toutenburgh. Prediction and Improved estimation in linear models ［M］ New York: Wiley， 1977.

［2］ C R Rao ， H Toutenburg. Prediction and improved estimation in linear models ［M］.New York: SpringerVerlag， 1995.

［3］ Rao Toutenburg.Linear models least square and alternatives［M］.New York:SpringerVerlag，1995.

［4］ 楊婷，楊虎，張洪陽.基于嶺估計的最優預測與經典預測的最優性判別.重慶大學學報，2002，25(6):56～58.

［5］ 喻勝華 何燦芝任意秩多元線性模型中的最優預測 應用數學學報，2001，24（2）:227-236.

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