價格歧視下四種市場的均衡產量和價格

摘 要 在線性需求函數條件下，對1個壟斷廠商市場情形用微分法，對n個廠商市場情形用完全信息靜態博弈的方法，對實施二度價格歧視時均衡產量和價格的確定進行了研究，給出了市場均衡歧視產量，均衡歧視價格和均衡歧視總收益的統一的計算公式，并分析了其性質.

關鍵詞 線性需求；二度價格歧視；納什均衡；博弈論

中圖分類號 F224.32 文獻標識碼 A

Equilibrium Output and Price of Four Kinds of Markets under the Condition of Price Discrimination

GAO Xing-you，GAO Wen-jin

(School of Economics and Management， Qujing Normal University， Qujing，Yunnan 655011， China)

Abstract Under the condition of linear demand function， the equilibrium output and price under the condition of second-degree price discrimination were studied. In the study， differential method was applied in one monopoly enterprise market，and complete information static game method was applied in n enterprises markets. Unified calculating formula were presented for market equilibrium discriminating output，and equilibrium discriminating price， equilibrium discriminating total revenue，and their characteristics were analyzed.

Key words linear demand; second-degree price discrimination; Nash equilibrium; game theory

1 引 言

寡頭壟斷市場的均衡產量和價格的確定已經有成熟的模型，主要是古諾（Antoine Augustin Cournot）模型和斯塔克博格（H.V. Stackelberg）模型［1］.不過這兩個模型只用于研究兩實力相當廠商和一領導一追隨廠商市場情形的均衡產量和價格.這是單一定價的情形.事實上，在寡頭壟斷市場還存在價格歧視，只要廠商對市場具有控制力，價格歧視就不可避免.價格歧視定價法又稱差別定價，是指具有市場控制力的廠商根據消費者的購買意愿定價從而占有消費者剩余的定價方法.按照占有消費者剩余的多少，福利經濟學家庇古(A.C.Pigou)把價格歧視分為一度價格歧視，二度價格歧視和三度價格歧視.二度價格歧視就是根據消費者的購買量確定的數量差別定價.二度價格歧視理論近年來受到了普遍關注，文獻［2-5］給出了較為系統的定量和定性分析.其中壟斷廠商在線性需求函數條件下的二度價格歧視的分析已基本完備，主要結論有：1）壟斷廠商使總收益最大的充要條件是，對需求量區間實行等分，分段定價［2-3］；2）分段越多，占有的消費者剩余越多，但占有量的增幅遞減，對需求量區間的分段以二至四段為宜［4］.而非線性需求下的二度價格歧視的研究只限于定性分析，主要結論是：壟斷廠商為最大化自己的收益，實施二度價格歧視的方法是，對需求量區間實施先窄后寬的分段，對較小的購買量確定較高的價格，對較大的購買量確定較低的價格，并給出了求分段點的方法［5］.不過在現實經濟生活中，價格歧視無所不在，寡頭廠商也會實施價格歧視［6-9］.文獻［10］研究了多廠商二度價格歧視行為.在實施二度價格歧視的前提下，本文用微分法研究了1個壟斷廠商市場情形，用完全信息靜態博弈的方法［11-16］ 研究了n廠商市場情形的均衡產量和價格，并把它們歸納為統一的公式.當n=1時市場為完全壟斷市場；當n=2，3等較小的自然數時市場為寡頭壟斷市場；當n=20，30等較大的自然數時市場為壟斷競爭市場，當n→

時市場變成完全競爭市場.因而本文事實上給出了所有市場類型的情況.

2 壟斷廠商市場情形

2.1 單一定價

設壟斷廠商在同一個市場面對線性需求函數P=a－bQ(a＞0，b＞0)，其中P為價格，Q為需求量.該廠商考慮如何確定產量Q以使總收益TR=PQ=(a－bQ)Q最大.由總收益最大的必要條件dTRdQ=a－2bQ=0，確定出Q*=a2b為最優產量.因d2TRdQ2=－2b＜0，故Q*=a2b也是總收益最大的充分條件.此時P*=a－bQ*=a2為最優價格，TR*=P*Q*=a24b為最大總收益.

2.2價格歧視

設壟斷廠商將需求量區間分為兩段：0，Q=0，Q2=0，Q1∪Q1，Q2 進行價格歧視(Q=Q2). 該廠商考慮如何確定分段點Q1，

在Q1，Q2定價P2，在0，Q1定價P1，以 使總收益

TRd=P1Q1+P2(Q2－Q1)

=(a－bQ1)Q1+(a－bQ2)(Q2－Q1)最大（見圖1）.由總收益最大的必要條件

dTRddQ1=－2bQ1+bQ2=0

確定出Q*1=12Q2. 因此時d2TRddQ21=－2b＜0，故Q*1=12Q2也是總收益最大的充分條件.也就是說，壟斷廠商把歧視產量定為單一定價時自己最優產量的12倍，可獲最大收益.根據2.1單一定價的結果，取Q2=Q*，則Q*1=a4b為最佳分段點.此時分段點1處的均衡歧視價格為P*1=a－bQ*1=34a，最優定價P2=P*=a2，壟斷廠商的最大總收益為TRd*=P*1Q*1+P2(Q2－Q*1)=5a216b.

圖1 二段定價

3 n廠商市場情形

3.1 單一定價（古諾的寡頭模型）

假設n個(n≥2)廠商1， 2，…，n生產同樣的產品，在同一個市場面對相同的線性需求函數P=a－bQ(a＞0，b＞0)，其中P為價格，Q為需求量.它們各自選擇產量，以使自己的得益最大.設廠商1，2，…，n的產量分別q1，q2，…，qn，則市場總產量為Q=q1+q2+…+qn.n廠商同時決定自己的產量，即它們在決策之前都不知道對方的產量.設n廠商的得益就為它們的銷售收益，分別為

TR1=Pq1=［a－b(q1+q2+…+qn)］q1，

TR2=Pq2=［a－b(q1+q2+…+qn)］q2，

………

TRn=Pq3=［a－b(q1+q2+…+qn)］qn.

容易看出，n個博弈方的得益（收益）都取決于其余方的策略（產量）.設(q*1，q*2，…，q*n)是本博弈的納什均衡，則其中的q*1，q*2，…，q*n是廠商相互對其余方的最佳對策，即在其余方產量既定的情況下，自己所選擇的能使自己的收益最大化的產量. (q*1，q*2，…，q*n)必是最大化問題

maxq1［a-b(q1+q2+…+qn)］q1，

maxq2［a-b(q1+q2+…+qn)］q2，

………

maxqn［a-b(q1+q2+…+qn)］qn

的解.由最大化問題的必要條件，有

dTR1dq1=－bq1+a－b(q1+q2+…+qn)=0，dTr2dq2=－bq2+a－b(q1+q2+…+qn)=0，………dTRndqn=－bqn+a－b(q1+q2+…+qn)=0

解出各廠商的均衡產量為q*1=q*2=…=q*n=a(n+1)b.因為d2TRidq2i=－2b＜0，i=1，2…，n，所以q*1=q*2=…=q*n=a(n+1)b也是各廠商收益最大化的充分條件.此時市場的均衡產量為Q*=q*1+q*2+…+q*n=na(n+1)b，市場的均衡價格為P*=a－bQ*=a(n+1)，n個廠商的最大收益之和為TR*=P*Q*=na2(n+1)2b. 因各廠商的均衡產量相同，即q*1=q*2=…=q*n，故可認為各廠商的實力相當.

3.2 價格歧視

假設廠商1，2，…和n都將各自的產量分為二段：0，q1=0，q11∪q11，q1，0，q2=0，q21∪q21，q2，…，0，qn=0，qn1∪qn1，qn.為方便起見，記q1=q12，q2=q22 ，…，qn=qn2，即qij中，i表示廠商，j表示分段點.Q2=q12+q22+…+qn2為n廠商最優產量之和，此時相應價格為P2=a－bQ2，Q1=q11+q21+…+qn1為兩廠商在分段點1處產量之和，由需求函數，此時市場價格相應為P1=a－bQ1（見圖1）.廠商1在q11，q12定價P2，在0，q11定價P1；廠商2在q21，q22定價P2，在0，q21定價P1，…，廠商n在qn1，qn2定價P2，在0，qn1定價P1進行價格歧視.此時各自的收益為

TRd1=P2q12+(P1－P2)q11=

［a－b(q12+q22+…+qn2)］q12+b(q12+

q22+…+qn2－q11－q21－…－qn1)q11，

TRd2=P2q22+(P1－P2)q21=［a－b(q12+

q22+…+qn2)］q22+b(q12+q22+…+qn2－

q11－q21－…－qn1)q21，

………

TRdn=P2q12+(P1－P2)qn1=［a－b(q12+

q22+…+qn2)］qn2+b(q12+q22+…+

qn2－q11－q21－…－qn1)qn1.

n個廠商同時決策，以最大化自己的收益.廠商1在其他廠商分段點取法q21，q31，…qn1給定的條件下確定自己的分段點q11以使TRd1最大；同樣，廠商2在其他廠商分段點取法q11，q31，…qn1給定的條件下確定自己的分段點q21以使TRd2最大；…；廠商n在其他廠商分段點取法q11，q21，…q(n－1)1給定的條件下確定自己的分段點qn1以使TRdn最大.設q*11，q*21，…，q*n1是本博弈的納什均衡，則q*11，q*21，…，q*n1必是最大化問題

max q11TRd1(q11，q21，…，qn1)，max q21TRd2(q11，q21，…，qn1)，………max qn1TRdn(q11，q21，…，qn1)

的解.由最大化問題的必要條件，有

dTRd1dq11=－b(2q11+q21+q31+

…+qn1－q12－q22－…－qn2)=0，dTRd2dq21=－b(2q21+q11+q31+

…+qn1－q12－q22－…－qn2)=0，………dTRdndqn1=－b(2qn1+q11+q21+

…+q(n－1)1－q12－q22－…－qn2)=0

解出各廠商的均衡分段點為q*11=q*21=…=q*n1=1n+1(q1+q2+…+qn).因為d2TRdidq2i1=－2b＜0，i=1，2…，n，所以q*11=q*21=…=q*n1=1n+1(q1+q2+…+qn)也是各廠商收益最大化的充分條件.由前面單一定價的分析，取q1=q*1=a(n+1)b，q2=q*2=a(n+1)b，…，qn=q*n=a(n+1)b，則可以算出各廠商的均衡歧視產量為q*11=q*21=q*31=…=q*n1=na(n+1)2b.因為q*11=nn+1q*1，q*21=nn+1q*2，…， q*n1=nn+1q*n，所以每個廠商的均衡分段點都取為單一定價時自己均衡產量的nn+1倍，各廠商可獲最大收益.此時分段點1處的市場均衡產量為Q*1=q*11+q*21+…+q*n1=n2a(n+1)2b，分段點1處的市場均衡價格為P*1=a－bQ*1=2n+1(n+1)2a.各廠商的最大收益之和（市場均衡總收益）為

TRd*=P*1Q*1+P2(Q2－Q*1)=2n3+2n2+n(n+1)4#8226;a2b.

4 結 論

通過對1個壟斷廠商市場情形和n個廠商(n=2，3，…)市場情形結果的分析，驚奇地發現兩種情形的均衡歧視產量和均衡歧視價格以及均衡歧視總收益都可以歸納為統一的公式.

結論1 在線性需求函數P=a－bQ下，n個廠商(n=1，2，…)二段定價實施價格歧視時，市場的均衡歧視產量都為單一定價（不實施二度價格歧視）時市場均衡產量的nn+1倍，為市場容量（最大可能銷量）ab的n2(n+1)2倍，即市場均衡歧視產量為Q*1=n2(n+1)2#8226;ab；市場的均衡歧視價格都為單一定價時市場均衡價格的2n+1n+1倍，為最高可能銷售價格a的2n+1(n+1)2倍，即市場的均衡歧視價格為P*1=2n+1(n+1)2a.

結論2 在線性需求函數P=a－bQ下，n個廠商(n=1，2，…)二段定價實施價格歧視，市場均衡總收益為TRd*=2n3+2n2+n(n+1)4a2b.市場均衡總收益TRd*隨著廠商數n的增大而減小，當n→

時，TRd*→0.

結論3 在線性需求函數P=a－bQ下，n個廠商(n=1，2，…)二段定價實施價格歧視，當n→

時，每個廠商的均衡歧視產量都趨于單一定價時自己的最優產量；每個廠商的均衡歧視價格都趨于0（事實上是趨于生產成本）；市場的均衡總收益趨于0（事實上是利潤趨于0）.也就是說，在完全競爭市場里二度價格歧視將不可能實施.

本文研究了n個廠商市場情形實施二度價格歧視時的均衡歧視產量和均衡歧視價格的確定問題，給出了市場均衡歧視產量，均衡歧視價格和總收益的統一的計算公式.這是定量的結果.這個結果的意義在于，隨著n的取值的不同，它能把四種市場類型都包括進去，從而有利于比較不同市場類型的社會福利差異.另外，還從上述的公式分析出了一些定性的結論.這些結論與經濟學的理論以及現實的經濟生活都是吻合的，這也就驗證了這種分析方法的正確性.本文不同于經典的單一定價的古諾模型，考慮了常常存在的價格歧視，因而更接近于現實的經濟生活.需要說明的是，雖然本文的假設條件是廠商追求收益最大化，這僅是為表述的簡單起見，事實上在利潤最大化的假設條件下的結論與此相同.因為是先研究出廠商的均衡產量，再考慮價格歧視，價格歧視的目的當然是占有最多的消費者剩余.而價格歧視階段已經屬于營銷階段，此時占有消費者剩余的多少已與成本無關.本文開啟了博弈論在寡頭壟斷市場二度價格歧視分析中的應用研究，研究結果不僅具有理論意義而且具有一定的實用價值.

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文