價(jià)格歧視下四種市場(chǎng)的均衡產(chǎn)量和價(jià)格

摘 要 在線性需求函數(shù)條件下，對(duì)1個(gè)壟斷廠商市場(chǎng)情形用微分法，對(duì)n個(gè)廠商市場(chǎng)情形用完全信息靜態(tài)博弈的方法，對(duì)實(shí)施二度價(jià)格歧視時(shí)均衡產(chǎn)量和價(jià)格的確定進(jìn)行了研究，給出了市場(chǎng)均衡歧視產(chǎn)量，均衡歧視價(jià)格和均衡歧視總收益的統(tǒng)一的計(jì)算公式，并分析了其性質(zhì).

關(guān)鍵詞 線性需求；二度價(jià)格歧視；納什均衡；博弈論

中圖分類(lèi)號(hào) F224.32 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Equilibrium Output and Price of Four Kinds of Markets under the Condition of Price Discrimination

GAO Xing-you，GAO Wen-jin

(School of Economics and Management， Qujing Normal University， Qujing，Yunnan 655011， China)

Abstract Under the condition of linear demand function， the equilibrium output and price under the condition of second-degree price discrimination were studied. In the study， differential method was applied in one monopoly enterprise market，and complete information static game method was applied in n enterprises markets. Unified calculating formula were presented for market equilibrium discriminating output，and equilibrium discriminating price， equilibrium discriminating total revenue，and their characteristics were analyzed.

Key words linear demand; second-degree price discrimination; Nash equilibrium; game theory

1 引 言

寡頭壟斷市場(chǎng)的均衡產(chǎn)量和價(jià)格的確定已經(jīng)有成熟的模型，主要是古諾（Antoine Augustin Cournot）模型和斯塔克博格（H.V. Stackelberg）模型［1］.不過(guò)這兩個(gè)模型只用于研究?jī)蓪?shí)力相當(dāng)廠商和一領(lǐng)導(dǎo)一追隨廠商市場(chǎng)情形的均衡產(chǎn)量和價(jià)格.這是單一定價(jià)的情形.事實(shí)上，在寡頭壟斷市場(chǎng)還存在價(jià)格歧視，只要廠商對(duì)市場(chǎng)具有控制力，價(jià)格歧視就不可避免.價(jià)格歧視定價(jià)法又稱(chēng)差別定價(jià)，是指具有市場(chǎng)控制力的廠商根據(jù)消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)意愿定價(jià)從而占有消費(fèi)者剩余的定價(jià)方法.按照占有消費(fèi)者剩余的多少，福利經(jīng)濟(jì)學(xué)家庇古(A.C.Pigou)把價(jià)格歧視分為一度價(jià)格歧視，二度價(jià)格歧視和三度價(jià)格歧視.二度價(jià)格歧視就是根據(jù)消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)量確定的數(shù)量差別定價(jià).二度價(jià)格歧視理論近年來(lái)受到了普遍關(guān)注，文獻(xiàn)［2-5］給出了較為系統(tǒng)的定量和定性分析.其中壟斷廠商在線性需求函數(shù)條件下的二度價(jià)格歧視的分析已基本完備，主要結(jié)論有：1）壟斷廠商使總收益最大的充要條件是，對(duì)需求量區(qū)間實(shí)行等分，分段定價(jià)［2-3］；2）分段越多，占有的消費(fèi)者剩余越多，但占有量的增幅遞減，對(duì)需求量區(qū)間的分段以二至四段為宜［4］.而非線性需求下的二度價(jià)格歧視的研究只限于定性分析，主要結(jié)論是：壟斷廠商為最大化自己的收益，實(shí)施二度價(jià)格歧視的方法是，對(duì)需求量區(qū)間實(shí)施先窄后寬的分段，對(duì)較小的購(gòu)買(mǎi)量確定較高的價(jià)格，對(duì)較大的購(gòu)買(mǎi)量確定較低的價(jià)格，并給出了求分段點(diǎn)的方法［5］.不過(guò)在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，價(jià)格歧視無(wú)所不在，寡頭廠商也會(huì)實(shí)施價(jià)格歧視［6-9］.文獻(xiàn)［10］研究了多廠商二度價(jià)格歧視行為.在實(shí)施二度價(jià)格歧視的前提下，本文用微分法研究了1個(gè)壟斷廠商市場(chǎng)情形，用完全信息靜態(tài)博弈的方法［11-16］ 研究了n廠商市場(chǎng)情形的均衡產(chǎn)量和價(jià)格，并把它們歸納為統(tǒng)一的公式.當(dāng)n=1時(shí)市場(chǎng)為完全壟斷市場(chǎng)；當(dāng)n=2，3等較小的自然數(shù)時(shí)市場(chǎng)為寡頭壟斷市場(chǎng)；當(dāng)n=20，30等較大的自然數(shù)時(shí)市場(chǎng)為壟斷競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，當(dāng)n→

時(shí)市場(chǎng)變成完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng).因而本文事實(shí)上給出了所有市場(chǎng)類(lèi)型的情況.

2 壟斷廠商市場(chǎng)情形

2.1 單一定價(jià)

設(shè)壟斷廠商在同一個(gè)市場(chǎng)面對(duì)線性需求函數(shù)P=a－bQ(a＞0，b＞0)，其中P為價(jià)格，Q為需求量.該廠商考慮如何確定產(chǎn)量Q以使總收益TR=PQ=(a－bQ)Q最大.由總收益最大的必要條件dTRdQ=a－2bQ=0，確定出Q*=a2b為最優(yōu)產(chǎn)量.因d2TRdQ2=－2b＜0，故Q*=a2b也是總收益最大的充分條件.此時(shí)P*=a－bQ*=a2為最優(yōu)價(jià)格，TR*=P*Q*=a24b為最大總收益.

2.2價(jià)格歧視

設(shè)壟斷廠商將需求量區(qū)間分為兩段：0，Q=0，Q2=0，Q1∪Q1，Q2 進(jìn)行價(jià)格歧視(Q=Q2). 該廠商考慮如何確定分段點(diǎn)Q1，

在Q1，Q2定價(jià)P2，在0，Q1定價(jià)P1，以 使總收益

TRd=P1Q1+P2(Q2－Q1)

=(a－bQ1)Q1+(a－bQ2)(Q2－Q1)最大（見(jiàn)圖1）.由總收益最大的必要條件

dTRddQ1=－2bQ1+bQ2=0

確定出Q*1=12Q2. 因此時(shí)d2TRddQ21=－2b＜0，故Q*1=12Q2也是總收益最大的充分條件.也就是說(shuō)，壟斷廠商把歧視產(chǎn)量定為單一定價(jià)時(shí)自己最優(yōu)產(chǎn)量的12倍，可獲最大收益.根據(jù)2.1單一定價(jià)的結(jié)果，取Q2=Q*，則Q*1=a4b為最佳分段點(diǎn).此時(shí)分段點(diǎn)1處的均衡歧視價(jià)格為P*1=a－bQ*1=34a，最優(yōu)定價(jià)P2=P*=a2，壟斷廠商的最大總收益為T(mén)Rd*=P*1Q*1+P2(Q2－Q*1)=5a216b.

圖1 二段定價(jià)

3 n廠商市場(chǎng)情形

3.1 單一定價(jià)（古諾的寡頭模型）

假設(shè)n個(gè)(n≥2)廠商1， 2，…，n生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品，在同一個(gè)市場(chǎng)面對(duì)相同的線性需求函數(shù)P=a－bQ(a＞0，b＞0)，其中P為價(jià)格，Q為需求量.它們各自選擇產(chǎn)量，以使自己的得益最大.設(shè)廠商1，2，…，n的產(chǎn)量分別q1，q2，…，qn，則市場(chǎng)總產(chǎn)量為Q=q1+q2+…+qn.n廠商同時(shí)決定自己的產(chǎn)量，即它們?cè)跊Q策之前都不知道對(duì)方的產(chǎn)量.設(shè)n廠商的得益就為它們的銷(xiāo)售收益，分別為

TR1=Pq1=［a－b(q1+q2+…+qn)］q1，

TR2=Pq2=［a－b(q1+q2+…+qn)］q2，

………

TRn=Pq3=［a－b(q1+q2+…+qn)］qn.

容易看出，n個(gè)博弈方的得益（收益）都取決于其余方的策略（產(chǎn)量）.設(shè)(q*1，q*2，…，q*n)是本博弈的納什均衡，則其中的q*1，q*2，…，q*n是廠商相互對(duì)其余方的最佳對(duì)策，即在其余方產(chǎn)量既定的情況下，自己所選擇的能使自己的收益最大化的產(chǎn)量. (q*1，q*2，…，q*n)必是最大化問(wèn)題

maxq1［a-b(q1+q2+…+qn)］q1，

maxq2［a-b(q1+q2+…+qn)］q2，

………

maxqn［a-b(q1+q2+…+qn)］qn

的解.由最大化問(wèn)題的必要條件，有

dTR1dq1=－bq1+a－b(q1+q2+…+qn)=0，dTr2dq2=－bq2+a－b(q1+q2+…+qn)=0，………dTRndqn=－bqn+a－b(q1+q2+…+qn)=0

解出各廠商的均衡產(chǎn)量為q*1=q*2=…=q*n=a(n+1)b.因?yàn)楠玠2TRidq2i=－2b＜0，i=1，2…，n，所以q*1=q*2=…=q*n=a(n+1)b也是各廠商收益最大化的充分條件.此時(shí)市場(chǎng)的均衡產(chǎn)量為Q*=q*1+q*2+…+q*n=na(n+1)b，市場(chǎng)的均衡價(jià)格為P*=a－bQ*=a(n+1)，n個(gè)廠商的最大收益之和為T(mén)R*=P*Q*=na2(n+1)2b. 因各廠商的均衡產(chǎn)量相同，即q*1=q*2=…=q*n，故可認(rèn)為各廠商的實(shí)力相當(dāng).

3.2 價(jià)格歧視

假設(shè)廠商1，2，…和n都將各自的產(chǎn)量分為二段：0，q1=0，q11∪q11，q1，0，q2=0，q21∪q21，q2，…，0，qn=0，qn1∪qn1，qn.為方便起見(jiàn)，記q1=q12，q2=q22 ，…，qn=qn2，即qij中，i表示廠商，j表示分段點(diǎn).Q2=q12+q22+…+qn2為n廠商最優(yōu)產(chǎn)量之和，此時(shí)相應(yīng)價(jià)格為P2=a－bQ2，Q1=q11+q21+…+qn1為兩廠商在分段點(diǎn)1處產(chǎn)量之和，由需求函數(shù)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)格相應(yīng)為P1=a－bQ1（見(jiàn)圖1）.廠商1在q11，q12定價(jià)P2，在0，q11定價(jià)P1；廠商2在q21，q22定價(jià)P2，在0，q21定價(jià)P1，…，廠商n在qn1，qn2定價(jià)P2，在0，qn1定價(jià)P1進(jìn)行價(jià)格歧視.此時(shí)各自的收益為

TRd1=P2q12+(P1－P2)q11=

［a－b(q12+q22+…+qn2)］q12+b(q12+

q22+…+qn2－q11－q21－…－qn1)q11，

TRd2=P2q22+(P1－P2)q21=［a－b(q12+

q22+…+qn2)］q22+b(q12+q22+…+qn2－

q11－q21－…－qn1)q21，

………

TRdn=P2q12+(P1－P2)qn1=［a－b(q12+

q22+…+qn2)］qn2+b(q12+q22+…+

qn2－q11－q21－…－qn1)qn1.

n個(gè)廠商同時(shí)決策，以最大化自己的收益.廠商1在其他廠商分段點(diǎn)取法q21，q31，…qn1給定的條件下確定自己的分段點(diǎn)q11以使TRd1最大；同樣，廠商2在其他廠商分段點(diǎn)取法q11，q31，…qn1給定的條件下確定自己的分段點(diǎn)q21以使TRd2最大；…；廠商n在其他廠商分段點(diǎn)取法q11，q21，…q(n－1)1給定的條件下確定自己的分段點(diǎn)qn1以使TRdn最大.設(shè)q*11，q*21，…，q*n1是本博弈的納什均衡，則q*11，q*21，…，q*n1必是最大化問(wèn)題

max q11TRd1(q11，q21，…，qn1)，max q21TRd2(q11，q21，…，qn1)，………max qn1TRdn(q11，q21，…，qn1)

的解.由最大化問(wèn)題的必要條件，有

dTRd1dq11=－b(2q11+q21+q31+

…+qn1－q12－q22－…－qn2)=0，dTRd2dq21=－b(2q21+q11+q31+

…+qn1－q12－q22－…－qn2)=0，………dTRdndqn1=－b(2qn1+q11+q21+

…+q(n－1)1－q12－q22－…－qn2)=0

解出各廠商的均衡分段點(diǎn)為q*11=q*21=…=q*n1=1n+1(q1+q2+…+qn).因?yàn)楠玠2TRdidq2i1=－2b＜0，i=1，2…，n，所以q*11=q*21=…=q*n1=1n+1(q1+q2+…+qn)也是各廠商收益最大化的充分條件.由前面單一定價(jià)的分析，取q1=q*1=a(n+1)b，q2=q*2=a(n+1)b，…，qn=q*n=a(n+1)b，則可以算出各廠商的均衡歧視產(chǎn)量為q*11=q*21=q*31=…=q*n1=na(n+1)2b.因?yàn)閝*11=nn+1q*1，q*21=nn+1q*2，…， q*n1=nn+1q*n，所以每個(gè)廠商的均衡分段點(diǎn)都取為單一定價(jià)時(shí)自己均衡產(chǎn)量的nn+1倍，各廠商可獲最大收益.此時(shí)分段點(diǎn)1處的市場(chǎng)均衡產(chǎn)量為Q*1=q*11+q*21+…+q*n1=n2a(n+1)2b，分段點(diǎn)1處的市場(chǎng)均衡價(jià)格為P*1=a－bQ*1=2n+1(n+1)2a.各廠商的最大收益之和（市場(chǎng)均衡總收益）為

TRd*=P*1Q*1+P2(Q2－Q*1)=2n3+2n2+n(n+1)4#8226;a2b.

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)1個(gè)壟斷廠商市場(chǎng)情形和n個(gè)廠商(n=2，3，…)市場(chǎng)情形結(jié)果的分析，驚奇地發(fā)現(xiàn)兩種情形的均衡歧視產(chǎn)量和均衡歧視價(jià)格以及均衡歧視總收益都可以歸納為統(tǒng)一的公式.

結(jié)論1 在線性需求函數(shù)P=a－bQ下，n個(gè)廠商(n=1，2，…)二段定價(jià)實(shí)施價(jià)格歧視時(shí)，市場(chǎng)的均衡歧視產(chǎn)量都為單一定價(jià)（不實(shí)施二度價(jià)格歧視）時(shí)市場(chǎng)均衡產(chǎn)量的nn+1倍，為市場(chǎng)容量（最大可能銷(xiāo)量）ab的n2(n+1)2倍，即市場(chǎng)均衡歧視產(chǎn)量為Q*1=n2(n+1)2#8226;ab；市場(chǎng)的均衡歧視價(jià)格都為單一定價(jià)時(shí)市場(chǎng)均衡價(jià)格的2n+1n+1倍，為最高可能銷(xiāo)售價(jià)格a的2n+1(n+1)2倍，即市場(chǎng)的均衡歧視價(jià)格為P*1=2n+1(n+1)2a.

結(jié)論2 在線性需求函數(shù)P=a－bQ下，n個(gè)廠商(n=1，2，…)二段定價(jià)實(shí)施價(jià)格歧視，市場(chǎng)均衡總收益為T(mén)Rd*=2n3+2n2+n(n+1)4a2b.市場(chǎng)均衡總收益TRd*隨著廠商數(shù)n的增大而減小，當(dāng)n→

時(shí)，TRd*→0.

結(jié)論3 在線性需求函數(shù)P=a－bQ下，n個(gè)廠商(n=1，2，…)二段定價(jià)實(shí)施價(jià)格歧視，當(dāng)n→

時(shí)，每個(gè)廠商的均衡歧視產(chǎn)量都趨于單一定價(jià)時(shí)自己的最優(yōu)產(chǎn)量；每個(gè)廠商的均衡歧視價(jià)格都趨于0（事實(shí)上是趨于生產(chǎn)成本）；市場(chǎng)的均衡總收益趨于0（事實(shí)上是利潤(rùn)趨于0）.也就是說(shuō)，在完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)里二度價(jià)格歧視將不可能實(shí)施.

本文研究了n個(gè)廠商市場(chǎng)情形實(shí)施二度價(jià)格歧視時(shí)的均衡歧視產(chǎn)量和均衡歧視價(jià)格的確定問(wèn)題，給出了市場(chǎng)均衡歧視產(chǎn)量，均衡歧視價(jià)格和總收益的統(tǒng)一的計(jì)算公式.這是定量的結(jié)果.這個(gè)結(jié)果的意義在于，隨著n的取值的不同，它能把四種市場(chǎng)類(lèi)型都包括進(jìn)去，從而有利于比較不同市場(chǎng)類(lèi)型的社會(huì)福利差異.另外，還從上述的公式分析出了一些定性的結(jié)論.這些結(jié)論與經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論以及現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)生活都是吻合的，這也就驗(yàn)證了這種分析方法的正確性.本文不同于經(jīng)典的單一定價(jià)的古諾模型，考慮了常常存在的價(jià)格歧視，因而更接近于現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)生活.需要說(shuō)明的是，雖然本文的假設(shè)條件是廠商追求收益最大化，這僅是為表述的簡(jiǎn)單起見(jiàn)，事實(shí)上在利潤(rùn)最大化的假設(shè)條件下的結(jié)論與此相同.因?yàn)槭窍妊芯砍鰪S商的均衡產(chǎn)量，再考慮價(jià)格歧視，價(jià)格歧視的目的當(dāng)然是占有最多的消費(fèi)者剩余.而價(jià)格歧視階段已經(jīng)屬于營(yíng)銷(xiāo)階段，此時(shí)占有消費(fèi)者剩余的多少已與成本無(wú)關(guān).本文開(kāi)啟了博弈論在寡頭壟斷市場(chǎng)二度價(jià)格歧視分析中的應(yīng)用研究，研究結(jié)果不僅具有理論意義而且具有一定的實(shí)用價(jià)值.

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［15］Mas-Colell A， M.Whinston， Jerry Green. Microeconomics Theory［M］.Oxford:Oxford University Press，1995.

［16］J Nash， Equilibrium Points in N-person Games［J］.Proceedings of the National Academy of Sciences，1950，3(36):48-49.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文