純增益反饋控制律在MF模型中的應用研究

摘 要 給出蒙代爾—弗萊明模型的動態表述， 并證明蒙代爾—弗萊明模型的動態系統具有能控性、能達性、能觀性等結構特征.在蒙代爾—弗萊明模型動態系統的基礎上對開放經濟條件下宏觀經濟模型的供需均衡問題轉化為宏觀經濟政策的控制律設計問題， 得出開放經濟條件下宏觀經濟政策的純增益反饋控制律的解析解并且對控制律的解析解的政策含義作出闡述.本文提出的方法對開放經濟條件下的宏觀經濟系統具有較大的應用價值， 并且能為有關決策層制定宏觀經濟調控政策和進行宏觀經濟系統的分析提供了新的方法與思路.

關鍵詞 純增益反饋控制律;能控性;能觀性;蒙代爾—弗萊明模型;宏觀經濟政策

中圖分類號 F224；F830 文獻標識碼 A

Application Research on Pure Gain Feedback Control Law in MF Model

WANG Xiang-bing，YAN Guang-le，CHEN Hua

(Business school， Shanghai University of Science and Technology， Shanghai 200093， China )

Abstract The dynamic Mundell-Flemming model was presentated，and its controllability ，reachability and observables was proved. The supply and demand balance problem of macro-economic model under open economy condition was transformed into design problem of macro economic policy control law based on the dynamic system of Mundell-Flemming model， the analytical solution was given for pure gain feedback control law of macro-economic policies under open economic conditions， and the policy implications of analytical solution was described. This study provides an atlernative approach and thinking for relevant decision-making in formulating macro economic policies and analyzing macro economic system.

Key words pure gain feedback control law;controllability;observables ;Mundell-Flemming model;Macroeconomic policies

1 引 言

開放經濟條件下一國的宏觀經濟通常是非均衡的，對于這種非均衡宏觀經濟的分析一般是通過蒙代爾—弗萊明模型即MF模型來進行的.蒙代爾-弗萊明模型是經濟學家蒙代爾和弗萊明在封閉經濟條件下的IS-LM模型基礎上，引入了對外貿易和資本流動等開放因素后而提出的，是凱恩斯主義范式的宏觀經濟學的一個重要理論模型.該模型將IS-LM模型分析的內部均衡拓展至開放經濟的一般均衡狀態，為分析產品市場、貨幣市場、國際市場的一般均衡提供了一個簡便的理論框架工具.

現實經濟系統的本質是動態演化的，隨著時間進程各種經濟變量不斷的進行調整，如價格、稅率、利率、匯率、投資、消費、政府支出、凈出口、總需求、總供給等經濟變量都在隨著時間不斷變化，各經濟變量調整的時延和調整本身都會對經濟系統的動態演化產生影響，致使經濟系統也出現各種非均衡狀態和波動［1］.為了熨平經濟失衡和波動對宏觀經濟的負面影響，政府必須根據經濟發展形勢來設計宏觀經濟政策，以期有效控制經濟系統演化.這就是經濟系統動態模型的控制問題的切入點，也是本文研究的出發點.

目前用經濟控制論來研究經濟系統動態模型控制問題已有一些研究成果［2-6］.文獻［2］利用我國統計數據，建立了一個修正的薩繆爾森乘數-加速數模型.在此基礎上，對我國宏觀經濟系統的穩定性、能觀性、能控性進行了討論.文獻［3］把動態分析引入總需求-總供給模型對宏觀經濟作出深入分析，利用無模型控制在動態的總需求-總供給模型進行宏觀經濟政策設計.文獻［4-6］在IS-LM模型的基礎上，對封閉經濟下宏觀經濟政策的設計和控制進行了研究.但上述研究成果都是建立在封閉經濟模型情況下，由于實際經濟系統是一個開放的動態系統，必然受到外部經濟系統的影響，因此現有經濟系統模型必須進行拓展，引入國際市場，以更符合經濟實際.當封閉經濟系統引入國際市場后，要研究受控經濟系統由商品市場、貨幣市場、國際市場三大市場組成復雜系統，與封閉經濟系統相比有許多不同特性，狀態變量、控制變量、干擾變量都發生了變化，其政策控制難度加大，其政策設計和控制策略也有很大不同.因而研究開放經濟條件下宏觀經濟政策的控制策略問題十分必要.

本文首先將靜態的蒙代爾—弗萊明模型動態化，在此基礎上研究了開放經濟條件下宏觀經濟政策的控制策略問題.為此先證明動態化蒙代爾—弗萊明模型的能控性、能達性、能觀性，然后給出模型純增益反饋控制律的解析解并且指出控制律的解析解的政策含義.

2 MF動態模型建立

通常的蒙代爾—弗萊明模型是由商品市場、貨幣市場、國際市場分別達到供需均衡而組成的靜態模型，但現實經濟系統的本質是動態演化的，也就是說商品市場、貨幣市場、國際市場都是供需非均衡的.當商品市場供需非均衡，市場對總供給會相應調整；貨幣市場供需非均衡，市場會通過利率傳導相應調整貨幣供求；國際市場供需非均衡，市場會通過實際匯率的傳導調整國際需求.下面先構造MF的動態模型，并利用該動態模型來研究開放條件下宏觀經濟政策的控制策略問題.2.1商品市場

1)總需求方程

 Dt=Ct+It+Gt+NXt，(1）

其中Dt為t期的總需求，它是由t期的消費需求Ct、投資需求It、政府支出需求Gt、凈出口支出需求NXt四個部分組成.

2)消費函數

Ct=+bYdt－1，0＜b＜1，（2）

其中Ydt－1為t－1期的可支配收入， ，b分別為自發性消費水平、邊際消費傾向.

3)可支配收入方程

Ydt=Yt－Tt+t，（3）

其中Tt為t期稅收，為政府的轉移支付.

4)稅收方程

Tt=τYt，0＜τ＜1 ，（4）其中τ為邊際稅率.

5)投資函數

It=+k(Ct－Ct－1)－hit，k＞0，h＞0. （5）

其中it為t期的利率.

6)總供給方程

ΔYt=Yt+1－Yt=e(Dt－Yt)，0＜e＜1. （6）

總供給調節方程表明，商品市場供不應求(Dt＞Yt)時，生產者將增加生產，導致下期總供給增加；反之，商品市場供過于求(Dt＜Yt)時，庫存增加、生產者將減少生產，導致下期總供給減少.2.2 貨幣市場

1)貨幣總需求函數

Lt=+αYt－βit，α＞0，β＞0， （7）

其中自發性貨幣需求.

2)利率調節方程:

Δit=it+1－it=g(Lt－Mt)，0＜g＜1.（8）

利率調節方程表明，貨幣市場供不應求(Lt＞Mt)時，導致下期利率上升；反之，貨幣市場供過于求(Lt＜Mt)時，導致下期利率下降.

2.3 國際市場

1)凈出口函數

NXt=－γYt+nEPfP，＞0，γ＞0，n＞0 ，（9）

其中為自發性凈出口水平， ，γ，n均為外生參數， EPfP為實際匯率，為簡化討論設其為Et，即表示t期的實際匯率.

2)實際匯率調節方程

ΔEt=Et+1－Et=sBPt=sNXt－Ft， 0＜s＜1. （10）

其中BPt為t期國際收支差額，其值為凈出口NXt和凈資本流出Ft的差額.實際匯率調節方程表明，國際收支順差(NXt＞Ft)時，導致下期實際匯率上升；反之，國際收支逆差(NXt＜Ft)時，導致下期實際匯率下降.

3)MF模型的控制目標和變量

模型中，政府決策者調控目標有3個：一是希望總需求或總產出Yt按一個給定增長率δ增長，即Yt趨向計劃總供給Y*，Y*按給定增長率δ增長；二是利率穩定在給定水平，即名義利率it趨向一個適當的利率i*；三是匯率穩定在給定水平，即實際匯率Et趨向一個適當的匯率E*.即

Y*t=Y*0(1+δ)t，0＜δ＜1，Y*0＞0; it→i*;

Et→E*.

根據本模型控制目標和純增益反饋控制律設計要求控制輸出變量為y(t)，寫成矢量形式

y(t)=Yt－Y*t，it－i*，Et－E*T.

在模型中， 政府支出需求Gt、貨幣發行量Mt、凈資本流出Ft為政策變量，并且分別稱為財政政策變量、貨幣政策變量、匯率政策變量，他們都是模型控制輸入變量，把它寫成矢量形式為

u(t)=(Gt，Mt，Ft)T.

模型中t期消費Ct，t期投資It，t期總產出Yt、t期利率it，t期實際匯率Et為本模型的狀態變量.把它寫成矢量形式為：x(t)=(Ct，It，Yt，it，Et)T.

模型中自發性消費、政府的轉移支付TR、自發性投資、自發性貨幣需求、計劃總供給Y*、要穩定的目標利率i*、要穩定的目標匯率E*都是系統中的干擾輸入變量.把它寫成矢量形式為：

w(t)=(+bTR，，，，Y*t，i*，E*)T.

4）MF模型的狀態空間形式

把式(3)~(4)代入式(2)可得

Ct+1=(+b)+b(1－τ)Yt .(11)

把式（7）代入式（8）得

it+1=αgYt+(1－βg)it－gMt+g.(12)

把式(11)和式(13)代入式(15)可得

It+1=－kCt+［kb(1－τ)－αgh］Yt－(1－βg)hit+

ghMt+k(+b)－gh+.(13)

把式(1)和式(9)代入式(6)可得

Yt+1=eCt+eIt+(1－e－eγ)Yt+

enEt+eGt+e. (14)

把式(9)代入式(10)可得

Et+1=－sγYt+(sn+1)Et+s－sFt (15)

由式(11)~(15)構成MF模型的動態系統

Ct+1=b(1－τ)Yt+(+b)，It+1=－kCt+［kb(1－τ)－αgh］Yt－(1－

βg)hit+ghMt+k(+b)－gh+，Yt+1=eCt+eIt+(1－e－eγ)Yt+enEt+eGt+e，

it+1=αgYt+(1－βg)it－gMt+g，Et+1=－sγYt+(sn+1)Et+s－sFt.

MF模型的狀態空間形式為

x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)+Nw(t)，y(t+1)=Cx(t)+Tu(t)+Dw(t)，w(t+1)=Mw(t).

其中狀態空間第一個方程為系統裝置方程，第二方程為系統的輸出誤差方程，第三個方程為系統的外擾模型方程.

MF模型的狀態空間形式中系數矩陣為

A=00b(1－τ)00－k0kb(1－τ)－αhg－(1－βg)h0ee1－e－eγ0enooαg1－βg000－sγ0sn+1，

B=0000gh0e000－g000－s，N=1000000k1－hg0000000e00000g0000000s000，

M=100000001000000010000000100000001+δ0000000100000001，

C=001000001000001，T=000000000，

D=0000－10000000－10000000－1.

3 MF動態模型的系統分析

一個實際經濟系統，總希望輸入信號能夠對狀態實行完全控制，從而使系統具有預期的動態性能.因而經濟系統必須具備能控性、能達性、能觀性等結構特性.

3.1 系統能控性和能達性

定理1 MF動態系統具有能控性和能達性.

證明 設B=b1b2b3，其中bi為矩陣B的列向量，由b3，Ab1，A2b1，A2b2，A2b3組成矩陣D.

D=0eb(1-τ) b(1-τ)(1-e-eγ)eeb(1-τ)gh -b(1-τ)ens0［kb(1-γ)-αhg］eT1T3 T40(1-e-eγ)eT2(2-e-eγ-βg)ehg -(2-e-eγ+sn)ens0αge(2-e-eγ-βg)αge［αgeh-(1-βg)2］g－αgens-s-sγe -(2-e-eγ+sn)sγe-sγegh -［-ensγ+(sn+1)2］s ，

其中

T1=［-kbe(1-τ)(1+γ)-αhg(2-e-eγ-βg)］e，

T3=［kbe(1-τ)-αhge+(1-βg)2］hg，

T2=［eb(1-τ)(k+1)-αhge+(1-e-eγ)2+ensγ］e，

T4=－［kb(1-τ)-αhg］ens.

計算矩陣D的行列式得到：

det D=e3s2gb2kn(1-τ)2(-1+βg)2(sn+1).

當sn+1≠0，βg≠1時，則rank(D)=5.

rankQc=rank［BABA2BA3BA4B］

=rank D=5

能控矩陣Qc的秩為5，所以MF動態系統具有能控性，因而也具有能達性.

3.2 系統能觀性

定理2 MF動態系統具有能觀性

證明 設C=c1c2c3T其中ci為矩陣C的列向量，由c1，c2，c3，c1A，c1A2組成矩陣H:

H=001000001000001ee1-e-eγ0en(1-e-eγ-k)e(1-e-eγ)eT5 e(-1+βg)hen(2-e-eγ+sn)，

其中

T5=e［b(1+k)(1-τ)-αhg-γsn］+(1-e-eγ)2.

計算矩陣H的行列式得到det(H)=e2k，所以rank H=5.

rank Qo=rankCCACA2CA3CA4T

=rank H=5.

由于能觀矩陣Qo的秩為5，所以MF動態系統具有能控性.

MF動態系統的狀態x(t)具有完全能控性、能達性、能觀性，根據控制理論，MF模型的閉環系統可以任意配置極點，從而使閉環系統漸進穩定而且有滿意的動態性能.

4 MF動態系統控制律的設計

由于MF動態系統有外部干擾輸入w(t)，可以設計該系統的純增益反饋控制器u(t)，使MF閉環控制系統漸進穩定，并達到輸出調節即輸出趨向于零，即

lim t→

y(t+1)=lim t→

(Cx(t)+Tu(t)+Dw(t))=0.

狀態反饋控制律為

u(t)=Fxx(t)+Fww(t).

其中Fx，Fw分別為鎮定矩陣和伺服矩陣.這時閉環系統的狀態方程為:

x(t+1)=(A－BFx)x(t)+Bu(t)+

(N－BFw)w(t)，y(t+1)=Cx(t)+Tu(t)+Dw(t)，w(t+1)=Hw(t).

根據MF動態系統控制目標是使MF模型閉環系統漸進穩定， 所以鎮定矩陣Fx的設計原則是使閉環A+BFx為漸進穩定矩陣且有滿意的閉環動態響應過程，即A+BFx的特征值全在復平面單位圓內；伺服矩陣Fw的設計原則是實現閉環系統輸出誤差靜態值為零，根據閉環系統靜態無差的裝置條件［4，7］可以推出Fw滿足N=AE-EM+B(FxE-Fw)，D=CE其中E為5×7階未知矩陣.下面給出MF模型的動態系統的純增益反饋控制律的解析解.

4.1 求解Fx

由于MF模型的動態系統的狀態x(t)具有完全可控性和能達性， MF模型的閉環系統可以任意配置極點，從而使MF模型的閉環系統漸進穩定.根據鎮定矩陣Fx的設計原則，A+BFx的特征值為復平面單位圓內任意給定5個極點{λ1，λ2，λ3，λ4，λ5}.

為簡化問題的討論，令λ1=λ2=0，λi＜1，i=3，4，5，λi為實數.設

Fx=f11f12f13f14f15f21f22f23f24f25f31f23f33f34f35.

為使閉環A+BFx為漸進穩定矩陣且有滿意的閉環動態響應過程，可取

Fx=－1－1f130－n00af24000－i0f35.

MF模型的閉環系統特征多項式為：

λI－A－BFx=λ0－b(1－τ)00－kλ-kb(1-τ)(1－βg+gf24)h000λ－(1－e－eγ+ef13)00000λ－1+g(j+f24)00000λ－1－sn+sf35

=λ2λ－(1－e－eγ+ef33)λ－1+g(β+f24)λ－1－sn+sf35 =λ2(λ－λ3)λ－λ4λ－λ5.

則λ1=λ2=0，λ3=1－e－eγ+ef13，λ4=1－g(β+f24)，λ5=1+sn－sf35.

其中f13，f24，f35取值分別使λ3＜1，λ4＜1，λ5＜1

4.2 求解Fw

根據Fw的設計原則，Fw滿足N=AE-Em+B(FxE-Fw)，D=CE其中E為5×7階未知矩陣.設FxE-Fw=Q，Q為3×7矩陣.則有矩陣方程：

AE－EM+BQ=N，CE=D.

1)對矩陣C，E，D其中作分塊：C=023I3，

E=E11E12E21E22，D=034－I3.

E11，E12，E21，E22分別為2×4、2×3、3×4、3×3階矩陣，零矩陣的腳碼為其階數，I為單位矩陣，其腳碼為其階數.由CE=D可得：

023I3E11E12E21E22=034－I3，

解得：E21=034，E22=－I3

2) 對矩陣A，B，M，N，Q作分塊：

A=A11A12A21A22，B=A11A21，M=I4043034M22，

N=N11023N21033，Q=Q11Q12，其中A11、A12、A21、A22、B11、B21、N11、N21、Q11、Q12、M22分別為2×2、2×3、3×2、3×3、2×3、3×3、2×4、3×4、3×4、3×3、3×3階矩陣.由AE－EM+BQ=N可得

A11E11－E11+B11Q11A11E12－A12－E12M22+B11Q12A21E11+B12Q11A21E12－A22+M22+B12Q12

=N11023N21033

由此可得

A11E11－E11+B11Q11=N11，A21E11+B21Q11=N21， (16)

A11E12－A12－E12M22+B11Q12=023，A21E12－A22+M22+B21Q12=033. (17)

由式(16)得

A11－I2B11A21B21E11Q11=N11N21. (18)

解得

E11=－10000－100，

Q11=110100－10000－1.

由式(17)中第一式得

Q12=B－121(A22－M22－A21E12) .（19）

把式(19)代入式(17)中第二式得

(A11－B11B－121A21)E12－E12M22

=A12－B11B－121(A22－M22) (20)

把分塊矩陣分別代入式(20)化簡得到如下Sylvester型方程:

00－k0E12－E12M22=b1－τ00kb1－τ－h0.

解得

E12=－b1－τ1+δ00－kδb(1－τ)(1+δ)2h0.

把E12代入式(4)得到：

Q12=T6e－hn－αβ0γ0－n，

其中T6=－e－eγ－δ+eb1－τ1+δ+kδ1+δ2.

這樣求得未知矩陣Q，E為

Q=1101T6e－hn00－10－αβ0000－1γ0－n，

E=－1000－b1－τ1+δ000－100－kδb(1－τ)1+δ2h00000－10000000－10000000－1.

由于FxE-Fw=Q，所以Fw=FxE-Q，把矩陣Fx，E，Q的結果代入Fw=FxE-Q可得：

Fw=000－11+γ+δe－f130000100－β－f240000100n－f35.

鎮定矩陣Fx、伺服矩陣Fw已經求出，把它們代入控制律u(t)=Fxx(t)+Fww(t)，可得控制律的解析解為

Gt=－Ct－It+f13Yt－nEt－+

(1+γ+δe－f13)Y*，Mt=αYt+f24it+－(β+f24)i*，Ft=－γYt+f35Et++(n－f35)E*（21）

把式（21）代入MF模型的動態系統可得到

Yt+1－Y*t+1=(1－e－eγ－ef13)(Yt－Y*t)，it+1－i*=(1－βg－gf24)(it－i*)，Et+1－E*=(1+sn+sf35)(Et－E*).

進一步可得出：

Yt－Y*t=(1－e－eγ－ef13)t(Y0－Y*0)，it－i*=(1－βg－gf24)t(i0－i*)，Et－E*=(1+sn－sf35)t(E0－E*).

由于λ3=1－e－eγ－ef13，λ4=1－βg－gf24，λ5=1+sn－sf35的模小于1，即λi＜1(i=3，4，5)，所以有

lim t→

Yt－Y*=0，lim t→

it－i*=0，

lim t→

Et－E*=0，

即lim t→

y(t+1)=0.

MF動態系統可以通過設計純增益反饋控制器u(t)，使MF模型的閉環控制系統漸進穩定，并達到輸出調節，可以有效實現控制目標.

5 政策含義

把MF動態系統的純增益反饋控制器u(t)解析解式(21)作如下變換

Gt=－Ct－It+f13Yt－nEt－+(1+γ+

δe－f13)Y*=Yt－Ct－It－NXt－

(1+γ－f13)(Yt－Y*)+δeY*，（22）

Mt=αYt+f24it+－(β+f24)i*

=Lt+(β+f24)(it－i*) ，(23)

Ft=－γYt+f35Et++(n－f35)E*

=NXt－(n－f35)(Et－E*) .（24）

根據前面假設可知：

1+γ+f13=1－λ3e＞0，β+f24=1－λ4g＞0，

f35－n=1－λ5s＞0.

MF動態系統的純增益反饋控制器u(t)解析解有很強的政策含義：由式(22)可知，政府支出Gt的調節機制是:在實際總供給扣除消費、投資、凈出口需求(Yt－Ct－It－NXt)的基礎上，與計劃總供給Y*同向變化，與實際總供給偏離計劃總供給(Yt－Y*)反向變化；由式(23)可知，貨幣供給Mt的調節機制是，在貨幣需求的基礎上，與實際利率偏離計劃利率(it－i*)同向變化；由式(24)可知，凈資本流出Ft的調節機制是，在凈出口需求的基礎上，與實際匯率偏離計劃匯率(Et－E*)同向變化.

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