關(guān)于汽車(chē)追尾沖擊模型的維修策略

摘 要 討論了關(guān)于汽車(chē)追尾的沖擊模型的可修系統(tǒng).在系統(tǒng)不能修復(fù)如新的條件下，假定汽車(chē)運(yùn)行時(shí)間構(gòu)成隨機(jī)遞減的幾何過(guò)程，逐次追尾后的維修時(shí)間構(gòu)成隨機(jī)遞增的幾何過(guò)程.分別考慮汽車(chē)按比例保修和免費(fèi)保修條件下，以汽車(chē)追尾次數(shù)N為策略，以車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，導(dǎo)出目標(biāo)函數(shù)的解析表達(dá)式P1(N)與P2(N).最后，通過(guò)實(shí)例分析，求出最優(yōu)策略N*，使得車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用最小.

關(guān)鍵詞 按比例保修；免費(fèi)保修；汽車(chē)追尾；沖擊模型；幾何過(guò)程；維修策略

中圖分類(lèi)號(hào) O224 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

The Maintenance Policy for the Shock Model on the Rear-end

ZHANG Xiao-shuang1，2， MENG Xian-yun2， ZHU Zhen-hua2， JIA Peng-ru2， LI Yan-yan2

(1.Avic Aviation Powerplant Research Institute，Zhuzhou，Hunan 412002，China;

2.College of Sciences， Yanshan University， Qinhuangdao， Hebei 066004， China)

Abstract A repairable system with the shock model on the rear-end was studied. Under the condition that the system can not be repaired as good as new， we assume that the vehicle running time constitutes a decreasing stochastically geometric process， and the repair time after successive rear-end constitutes an increasing stochastically geometric process. The pro rata warranty，thefree warranty strategy and the replace policy based on the failure number N were studied，andthe explicit expressions P1(N) and P2(N) of the vehicle owners’ expected cost per unit time owing to the vehicle running in the long term was derived. Finally， the optimal strategy N*was obtained by the numerical example，which makes the vehicle owners’ expected cost per unit time minimal in the long term ofvehicle running.

Keywords the pro-rata warranty;the free warranty;the rear-end;shock model;geometric process;the maintenance policy

1 引 言

隨著車(chē)輛每年不斷的增加，汽車(chē)追尾事件頻繁發(fā)生.對(duì)于商家和車(chē)主來(lái)說(shuō)，都會(huì)造成一定的損失，如何來(lái)減少他們的損失成為研究的重點(diǎn).本文對(duì)于汽車(chē)追尾給車(chē)主帶來(lái)的損失進(jìn)行了討論，首先把汽車(chē)追尾事件的過(guò)程看作一個(gè)特殊的沖擊模型，早期階段介紹沖擊模型時(shí)是以?xún)纱芜B續(xù)沖擊之間的時(shí)間間隔小于系統(tǒng)閥值，系統(tǒng)故障;或以沖擊中系統(tǒng)損失超過(guò)閥值時(shí)系統(tǒng)失效.本文在參考大量文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，介紹了一種特殊的沖擊模型，沖擊程度考慮為與修理時(shí)間有關(guān)的函數(shù)，同時(shí)沖擊程度與費(fèi)用有關(guān)，所以將費(fèi)用看作修理時(shí)間的函數(shù).為了使得汽車(chē)追尾的沖擊模型更合理化，本文在汽車(chē)運(yùn)行時(shí)間與汽車(chē)追尾后的修理時(shí)間上運(yùn)用了Lam提出的幾何過(guò)程.整體來(lái)說(shuō)，本文在文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］提出的沖擊模型的更換策略和

Symbol`@@ 文獻(xiàn)［3］提出的沖擊維修模型的更換策略的基礎(chǔ)上，研究了在按比例保修和免費(fèi)保修兩種保修情況下，以汽車(chē)追尾次數(shù)N為策略，分別求出在這兩種保修條件下車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用的表達(dá)式，并且通過(guò)數(shù)值例子，求出汽車(chē)追尾沖擊模型的最優(yōu)策略N*使得車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用最小.

2 模型假設(shè)

假設(shè)1 開(kāi)始時(shí)，汽車(chē)是新的.汽車(chē)發(fā)生追尾時(shí)，馬上進(jìn)行修理.汽車(chē)追尾N次后，用新的同型號(hào)的車(chē)更換，更換時(shí)間忽略不計(jì).

假設(shè)2 汽車(chē)從第n－1次追尾后修復(fù)完成到第n次追尾后修復(fù)完成的時(shí)間間隔為汽車(chē)的第n個(gè)周期.Xn(n=1，2…)為汽車(chē)在第n個(gè)周期內(nèi)的工作時(shí)間，Xn的分布函數(shù)

F(xn)=1－e－an－1λxn(a≥1).Yn(n=1，2…)為汽車(chē)在第n個(gè)周期內(nèi)的工作時(shí)間，Yn的分布

函數(shù)G(yn)=1－e－bn－1μyn(0＜b≤1).

假設(shè)3 在第n個(gè)周期中汽車(chē)給車(chē)主帶來(lái)的工作報(bào)酬為c1(xn)=c1xn (n=1，2…)，在第n個(gè)周期中修理汽車(chē)需要的費(fèi)用為c2(yn)=c2yn (n=1，2…).在按比例保修下，商家按比例1－p支付出保修費(fèi)用.汽車(chē)更換時(shí)的費(fèi)用為c3.

假設(shè)4 Xn，Yn (n=1，2…)是相互獨(dú)立的.

3 模型分析

由假設(shè)可知：一次更換的完成是一個(gè)更新周期.有更新報(bào)酬定理得車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)所花費(fèi)的費(fèi)用可以看作一個(gè)更新周期內(nèi)的期望費(fèi)用，因此只需考慮一個(gè)更新周期的長(zhǎng)度和在一個(gè)更新周期內(nèi)的汽車(chē)給車(chē)主帶來(lái)的花費(fèi).設(shè)W為一個(gè)更新周期的長(zhǎng)度，R1和R2為在一個(gè)更新周期內(nèi)車(chē)主因汽車(chē)在按比例保修和免費(fèi)保修下長(zhǎng)期運(yùn)行的花費(fèi)，P1(N)和P2(N)分別是在按比例保修和免費(fèi)保修的策略N下車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用，則

P1(N)=E(R1)E(W)，P2(N)=E(R2)E(W).

定理1 P1(N)是在按比例保修的策略N下車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用，則

P1(N)=

(4p－2)c2μ2b2N－b2b2N－b2N－2+c3－2λ2c1a2N+2－a2a2N－2－a2NλaN+1－aaN+1－aN+μbN－1－1bN－1－bN－2.(1)

證明 由假設(shè)可知在一個(gè)更新周期內(nèi)車(chē)主因汽車(chē)在按比例保修下長(zhǎng)期運(yùn)行的花費(fèi)：

R1=p∑N－1i=1c2(yi)yi+c3－

(1－p)∑N－1i=1c2(yi)yi－∑Ni=1c1(xi)xi. (2)

一個(gè)更新周期的長(zhǎng)度：

W=∑Ni=1xi+∑N－1i=1yi.(3)

則

P1(N)=E(R1)E(W)=Ep∑N－1i=1c2(yi)yi+c3－(1－p)∑N－1i=1c2(yi)yi－∑Ni=1c1(xi)xiE∑Ni=1xi+∑N－1i=1yi

=p∑N－1i=1∫

0c2y2idG(bi－1yi)+c3－(1－p)∑N－1i=1∫

0c2y2idG(bi－1yi)－∑Ni=1∫

i=0c1x2idF(ai－1xi)∑Ni=1∫

0xidF(ai－1xi)+∑N－1i=1∫

0yidG(bi－1yi)

=c2p∑N－1i=12μ2b2i－2+c3－(1－p)c2∑N－1i=12μ2b2i－2－c1∑Ni=12λ2a2i－2∑Ni=1λai－1+∑N－1i=1μbi－1

=2c2pμ2b2N－b2b2N－b2N－2+c3－2(1－p)c2μ2b2N－b2b2N－b2N－2－2λ2c1a2N+2－a2a2N－2－a2NλaN+1－aaN+1－aN+μbN－1－1bN－1－bN－2

=(4p－2)c2μ2b2N－b2b2N－b2N－2+c3－2λ2c1a2N+2－a2a2N－2－a2NλaN+1－aaN+1－aN+μbN－1－1bN－1－bN－2.(4） 

定理2 P2(N)是在免費(fèi)保修的策略N下車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用，則

P2(N)=c3－2λ2c1a2N+2－a2a2N－2－a2NλaN+1－aaN+1－aN+μbN－1－1bN－1－bN－2. (5)

證明 由假設(shè)可知：

在一個(gè)更新周期內(nèi)車(chē)主因汽車(chē)在免費(fèi)保修下長(zhǎng)期運(yùn)行的花費(fèi)

R2=c3－∑Ni=1c1(xi)xi.(6)

一個(gè)更新周期的長(zhǎng)度

W=∑Ni=1xi+∑N－1i=1yi.(7)

P2(N)=E(R2)E(W)=Ec3－∑Ni=1c1(xi)xiE∑Ni=1xi+∑N－1i=1yi

=c3－∑Ni=1∫

0c1x2idF(ai－1xi)∑Ni=1∫

0xidF(ai－1xi)+∑N－1i=1∫

0yidG(bi－1yi)

=c3－c1∑Ni=12λ2a2i－2∑Ni=1λai－1+∑N－1i=1μbi－1

=c3－2λ2c1a2N+2－a2a2N－2－a2NλaN+1－aaN+1－aN+μbN－1－1bN－1－bN－2. (8)

因?yàn)閍＞1，b＜1，所以分析可得當(dāng)N的值很小時(shí)，在按比例保修的策略N下車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用P1(N)和在免費(fèi)保修的策略N下車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用P2(N)是遞減的；當(dāng)N的值很大時(shí)，P1(N)和P2(N)是遞增的.因此可以找到一個(gè)最優(yōu)策略N*，使得P1(N)和P2(N)最小，最小值是P1(N*)和P2(N*).

4 實(shí)例分析

實(shí)例 設(shè)c1=1，a=1.1，λ=10，p=0.7，c2=1，b=0.9，μ=0.1，c3=100，則由定理1和定理2得：

P1(N)=

0.0080.92N－0.920.92N－0.92N－2+100－2001.12N+2－1.121.12N+2－1.12N101.1N+1－1.11.1N+1－1.1N+0.10.9N－1－10.9N－1－0.9N－2.(9)

P2(N)=

100－2001.12N+2－1.121.12N+2－1.12N101.1N+1－1.11.1N+1－1.1N+0.10.9N－1－10.9N－1－0.9N－2(10）取N=1，2，…，15，可得P1（N）(見(jiàn)表1），P2（N）（見(jiàn)表2）.

由表1可知，當(dāng)N=1至N=4時(shí)，隨著N的增大，函數(shù)P1(N)是遞減的；從N=4開(kāi)始，隨著N的增大，函數(shù)P1(N)遞增的.因此在按比例保修下存在汽車(chē)的追尾最優(yōu)次數(shù)N*=4及相應(yīng)的車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用最小為P1(N*)=－14.622 1.由表2可知，當(dāng)N=1至N=4時(shí)，隨著N的增大，函數(shù)P2(N)是遞減的；從N=4開(kāi)始，隨著N的增大，函數(shù)P2(N)遞增的.因此在免費(fèi)保修下存在汽車(chē)的追尾最優(yōu)次數(shù)N*=4及相應(yīng)的車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用最小為P2(N*)=－14.622 9.同時(shí)得出在最優(yōu)追尾次數(shù)相同時(shí)，車(chē)主在汽車(chē)免費(fèi)保修下的費(fèi)用低.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在參考文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上建立了沖擊程度與修理時(shí)間的函數(shù)，即費(fèi)用與修理時(shí)間的函數(shù).在按比例保修和免費(fèi)保修的條件下研究了關(guān)于汽車(chē)追尾的沖擊模型.本模型以汽車(chē)追尾次數(shù)N為策略，推導(dǎo)出車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用的解析表達(dá)式P1(N)與P2(N).最后，通過(guò)實(shí)例分析，求出最優(yōu)策略N*，使得車(chē)主在汽車(chē)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望費(fèi)用最小.

參考文獻(xiàn)

［1］ 王冠軍，張?jiān)?δ－沖擊模型及其最優(yōu)更換策略［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001，31(5):121-124.

［2］ 王冠軍，張?jiān)?一般δ－沖擊模型及其最優(yōu)更換策略［J］.運(yùn)籌學(xué)報(bào)，2003，7(3):75-82.

［3］ Ya-yang Tang ，Lam Yeh.A δ-shock maintenance model for a deteriorating stystem［J］. European Journal of Operational Research，2006(168):541-556.

［4］ J G Shanthilumar，U Sumita. General shock models associated with correlated renewal sequences［J］. Jof Appl.Prob，1983(20):600-614.

［5］ Lam Yeh，Yuan-lin Zhang.A shock model for the maintenance problem of a repairable system［J］.Computers and Operations Research，2004(31):1807-1820.

［6］ Ji-shen Jia， Shao-min Wu.A replacement policy for a repairable system with its repairman having multiple vacations［J］.Computers and Industrial Engineering，2009(57):156-160.

［7］ C Qian，S Nakamura，T Nakawa.Replacement and minimal repair policies for a cumulativedamage model with maintenance［J］.Computers and Mathematics with Applications，2003(46):1111-1118.

［8］ T Satow，K Tekamoto，T Nakagawa.Optimal replacement policy for a cumulative damage model with time deterioration［J］.Mathematical and Computer Modelling，2000(31):313-319.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文