CARA效用函數下美式期權的定價

摘 要 考慮當期權持有者的效用為CARA效用函數U(x)=－e－λx時的美式期權定價問題.運用最優停止理論得到其在有限離散時間金融市場模型下的最佳實施期，并給出相應美式期權的定價公式.

關鍵詞 CARA效用函數;美式期權;最佳實施期

中圖分類號 O211.9 文獻標識碼 A

American Option Pricing With CARA Utility

XING Yingchun

(Department of Applied Mathematics， Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing，Jiangshu 210046，China)

Abstract We consider the American option pricing problem when the utility of the option holder is CARA utility function such as U(x)=－e－λx.Appling the optimal stopping theory， we obtain the optimal exercise time of the American option in the financial market of finite discrete time model， and give the pricing formula of the American option.

Key words CARA utility function;American option;optimal exercise time

1 引 言

期權定價是金融數學的重要研究課題之一.1973年，美國芝加哥大學的F. Black和M. Scholes［1］在股票價格遵循幾何Brown運動的假設下，通過解偏微分方程獲得了著名的BlackScholes期權定價公式.自此之后，關于期權定價及其應用的理論研究有了迅速的發展［2-7］.

美式期權有提前執行的可能性，而且有路徑依賴性，所以確定其最佳實施期及對其定價就更加困難.文獻［8-12］等對美式期權進行了研究.本文考慮當期權持有者的效用為CARA效用函數U(x)=－e－λx時的美式期權定價問題.運用最優停止理論得到其在有限離散時間金融市場模型下的最佳實施期，并給出相應美式期權的定價公式.

2 模型假設

設(Ω，Fn，F，P)是一個完備的過濾子空間，{Sn}0≤n≤T是該概率空間上的馬爾可夫鏈，Fn表示到時刻n為止的全部信息.股票價格滿足

Sn=(1+ρn)Sn－1，S0=s，0≤n≤T.

則

Sn=(1+ρ1)(1+ρ2)…(1+ρn)s，

其中ρ={ρn}是獨立同分布隨機序列，假定{ρn}只取a，b兩個值，且0＜a＜r＜b，r為無風險利率.設Q∈P（P是概率測度空間），滿足

Q(ρ1=a)=b－rb－a=

=1－Q(ρ1=b)==r－ab－a，

則Q是等價鞅測度.有限報酬序列{Xn，Fn}Tn=1，其中Xn=U(Sn)(1+r)n是Sn的折現價格過程.T是一固定數，設E|Xn|＜

SymboleB@ ，n≤T.

3 重要結果及其證明

定義1 （有界）停時是一個隨機變量

τ:Ω→0，…，T，

它的取值為0到T的整數，而且具有性質

τ≤n∈Fn，0≤n≤T.

記Τn為取值在n，…，T中的所有停時的集合，n=0，1，…，T.

定義20≤n≤T，Xn≤

SymboleB@ ，定義

Υn=max τ∈Τn XτFn，(1)

為報酬序列{Xn，Fn}Tn=0的Snell包絡.

定義3 停時τ*∈n，T是最優停時，如果

Xτ*Fn=Υn=max τ∈Τn XτFn.

引理1由(1)式所定義的Snell包絡滿足

Υn=max Xn，max τ∈Τn+1XτFn，

對所有的n=0，1，…，T.

引理2對任意給定的隨機變量X和Y有

max EXFn，EYFn≤

Emax X，YFn，

對所有的n=0，1，…，T.

經 濟 數 學第 28卷第1期邢迎春:CARA效用函數下美式期權的定價

定理1 Snell包絡滿足向后循環關系

(ⅰ) ΥT=XT，

(ⅱ) Υn=max Xn，Υn+1Fn，

對所有的n=0，1，…，T－1.

證明 (ⅰ) 由引理1得

ΥT=max τ∈ΤT XτFT=XTFT=XT.

(ⅱ) max τ∈Τn+1XτFn=max τ∈Τn+1XτFn+1Fn

≤max τ∈Τn+1XτFn+1Fn=Υn+1Fn.

第二個不等式可由引理1推得.下證相反的不等式.

令τ*∈Τn+1是最優停時，即

Υn+1=XτFn+1，

那么

Υn+1Fn=Xτ*Fn+1Fn

=Xτ*Fn≤max τ∈Τn+1XτFn，

故

Υn=max Xn，max τ∈Τn+1XτFn

=max Xn，Υn+1Fn，

對所有的n=0，1，…，T－1.

證畢.

定理2記D={x:U［(1+b)x］+U［(1+a)x］≤(1+r)U(x)}.設D=［d，

SymboleB@ )，其中d≥0.在報酬效用函數U(x)=－e－λx，λ＞0下，報酬序列{Xn，Fn}Tn=0的最優停時τ*=inf {0≤n≤T，Sn∈D}，相應美式期權定價為

C*0=∑Tn=I∑Ti=ICiNin－i

－exp －λS1+bi1+a［n－i1+rn.

證明 假設τ*=n，則Sn∈D.由于a≥0，

Sn+1=Sn1+ρn≥Sn1+a≥Sn≥d，

故Sn+1∈D.從而n≤m≤T－1，Sm∈D.

由定理1的（i)得

ΥT=XT.

由定理1的(ii)得

ΥT－1=max XT－1，ΥTFT

=max －exp －λST－11+r［T－1，－exp －λST1+rTFT

=max －exp －λST－11+r［T－1，

－exp －λ1+ρTST－11+rTFT.

而

－exp －λ1+ρTST－11+rTFT

=(1+r)－T－exp －λ1+ρTST－1FT

=1+r［－T－exp －λ1+aST－1+

－exp －λ1+bST－1≤－exp －λST－1(1+r)T－1.

故

ΥT－1=－exp －λST－11+r［T－1=XT－1.

同理可證

Υm=－exp －λSm1+rm，m=T－2，T－3，…，n.

而由Sn－1D，可知

Υn－1=max Xn－1，ΥnFn－1

=max Xn－1，XnFn－1

=max {Xn－1，(1+r)－n ［－exp (－λSn)|Fn－1］}.

而

－exp －λSnFn－1

=(－exp (－λ(1+a)Sn－1))+(－exp (－

λ(1+b)Sn－1))＞(1+r)(－exp(－λSn－1)).

故

Υn－1＞－exp(－λSn－1)(1+r)n－1.

由定義3知τ*為最優停時，相應美式期權定價為

C*0=E*－exp －λSτ*(1+r)τ*. (2)

為了計算式(2)，記

I=min 0≤i≤T，(1+b)i(1+a)n－i≥ds.

在集合{τ*=n}上，

(1+b)i(1+a)n－i≥ds，

所以，必須i≥I，因此

{τ*=n}={在(1+ρ1)…(1+ρn)中取i個(1+b)且i≥I}.

于是美式期權的定價為

C*0 =∑Tn=0∫τ*=n－exp －λS1+ρ1…1+ρn1+rndP*

=∑Tn=0∑Ti－ICiT－exp －λS1+bi1+a［n－i1+rn

P*τ*=n=∑Tn=I∑Ti=ICiTin－i#8226;

－exp －λS1+bi1+a［n－i1+rn.

證畢.

4 結 論

在金融衍生產品市場中，美式期權作為對沖保值減少風險和獲得收益應用最為廣泛的工具.作為投資者而言，他們最為關心的是何時對期權進行行權從而使獲得最大收益而風險最小.本文從理論上討論了在離散金融市場中一類效用為CARA效用的美式期權持有者的最優停時問題即何時達到美式效用最大化.而且給出在相應美式期權的定價公式，具有重要的理論應用價值.

參考文獻

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