帶干擾的保費(fèi)隨機(jī)收取的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型

摘 要 推廣了已有文獻(xiàn)中提出的帶干擾的雙險(xiǎn)種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型， 讓保費(fèi)收取次數(shù)服從負(fù)二項(xiàng)分布，兩類險(xiǎn)種的索賠也服從負(fù)二項(xiàng)分布，得到了帶干擾的保費(fèi)隨機(jī)收取的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，給出了破產(chǎn)概率的一般表達(dá)式和上界.

關(guān)鍵詞 負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)序列；雙險(xiǎn)種；破產(chǎn)概率

中圖分類號(hào) F840.32 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Study on the Double-Type Insurance Risk Model with Random Income and Diffusion

CHEN Gui-lei ， ZHANG Xiang-hu ， BIAN Ping-yong

(Fundamental department of College of Science， SUST， Tai-an， Shandong 271019， China)

Abstract The risk model a mpound negative binomial risk model of double line perturbed by diffusionwas extended，Asuming thatthe premium collecting frequencies are a stochastic negative binomial series， and the double-type claims are anegative binomial series， thena double-type insurance risk model with random income and diffusion was obtained . The formulas of ultimate ruin probability for this model wasobtained.

Key words negative binomial stochastic series; double-type insurance; ruin probability

1 引 言

破產(chǎn)理論是風(fēng)險(xiǎn)理論的主要研究課題，風(fēng)險(xiǎn)模型則是風(fēng)險(xiǎn)理論中的主要研究對(duì)象.連續(xù)的時(shí)間模型，研究最多的是復(fù)合Poisson模型［1］，離散的時(shí)間模型，則主要集中在復(fù)合二項(xiàng)模型［2-3］.不過(guò)，這兩種經(jīng)典的模型研究的都是單險(xiǎn)種，具有一定的理論指導(dǎo).但是隨著一個(gè)世紀(jì)以來(lái)保險(xiǎn)業(yè)的迅猛發(fā)展，單險(xiǎn)種的研究不太貼近現(xiàn)實(shí)，人們開(kāi)始對(duì)經(jīng)典模型加以改進(jìn)，文獻(xiàn)［4］將保費(fèi)收入和索賠次數(shù)均推廣為負(fù)二項(xiàng)分布，得到了雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，有些專家提出了離散的風(fēng)險(xiǎn)模型［5］，及多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型［6］，而文獻(xiàn)［7］在此基礎(chǔ)上加入擾動(dòng)項(xiàng)，得到了比較實(shí)際的模型.本文考慮到了擾動(dòng)項(xiàng)，讓保費(fèi)收取次數(shù)服從負(fù)二項(xiàng)分布，理賠次數(shù)也服從負(fù)二項(xiàng)分布［8］，給出一種更貼近現(xiàn)實(shí)的模型，考慮了盈余過(guò)程的性質(zhì)、破產(chǎn)概率的表達(dá)式以及上界.

2 定義

定義1 假設(shè)數(shù)u＞0，c＞0，{N(n)，n=1，2，…}為一非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量序列，且對(duì)于任意n2＞n1，Nn2－Nn1服從參數(shù)為n2－n1，p的負(fù)二項(xiàng)分布，即

PNn2－Nn1=k

=n2－n1+k－1kpn2－n1qk k=0，1，2，…，

則稱Nn，n=1，2，…為負(fù)二項(xiàng)序列.

定義2 設(shè)u＞0，c＞0，定義隨機(jī)變量：

1）Xi，i=1，2，…，Yj，j=1，2，…與Zk，k=1，2，…都是取值于0，+

的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，假定

EXi=μ0，EYj=μ，E(Zk)=μ1；

2）{M(n)，n=1，2，…}，{N1(n)，n=1，2，…}與{N2(n)，n=1，2，…}是參數(shù)分別為p，p1，p2的負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)序列，且0＜p＜1，0＜p1＜1，0＜p2＜1，p+q=1，p1+q1=1，p2+q2=1；

3) W(t)，t≥0是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，表示保險(xiǎn)公司不確定的收益，σ為大于0的常數(shù)；

4）假定{M(n)，n=1，2，…}，{N1(n)，n=1，2，…}，{N2(n)，n=1，2，…}，{Xi，i=1，2，…}，{Yj，j=1，2，…}，{Zk，k=1，2，…}相互獨(dú)立.

令

Un=u+X(n)－Yn－Zn+σW(n).

其中X(n)=∑M(n)i=1Xi，Yn=∑N1nj=1Yj，

Zn=∑N2nk=1Zk，且令盈利過(guò)程為

S(n)=X(n)－Y(n)－Z(n)+σW(n)，

則Un，n=1，2，…就是本文研究的風(fēng)險(xiǎn)模型，其中，初始資本為uu＞0，兩類險(xiǎn)種第i次和第j次理賠分別為Xi，Yj，時(shí)間段0，n內(nèi)保費(fèi)的收取次數(shù)為Mn，兩類險(xiǎn)種的賠付次數(shù)分別為N1n，N2n；Un就是保險(xiǎn)公司在時(shí)刻n的盈余.實(shí)際上，當(dāng)單位時(shí)間內(nèi)保費(fèi)收入大于理賠時(shí)，即條件qμ0p＞q1μp1+q2μ1p2成立時(shí)，公司才能經(jīng)營(yíng)穩(wěn)定.為此定義ρ=μ0qp1p2pp2q1μ+pp1q2μ1－1＞0為安全負(fù)荷系數(shù)，T=inf n≥1:Un＜0為破產(chǎn)時(shí)刻，最終破產(chǎn)概率ψu(yù)=PT＜

U0=u.

3 主要結(jié)果

定理1 盈利過(guò)程Sn，n=1，2，…具有性質(zhì)

1）ESn=qμ0p－q1μp1－q2μ1p2n＞0；

2）具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性；

3）存在正數(shù)r，使得Ee－rSn＜

.

定理2對(duì)于盈利過(guò)程Sn，n=1，2，…，存在函數(shù)gr，使得Ee－rSn=engr.

證明

E(e－rS(n))=E(e－r(X(n)－Y(n)－Z(n)+σW(n)))

=E(e－rX(n))E(erY(n))E(erZ(n))E(e－rσW(n))

=exp (n(－ln (p1－qMXi(r))+

ln (p11－q1MYj(r))+ln (p21－q2MZk(r))+

12r2σ2)).

令

g(r)=－ln (p1－qMXi(r))+ln (p11－q1MYj(r))+

ln (p21－q2MZk(r))+12r2σ2

即可，則引理得證.

定理3 方程g(r)=0存在唯一正解r=R，稱之為調(diào)節(jié)系數(shù).

定理4 在風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程Un，n=1，2，…下，設(shè)R為調(diào)節(jié)系數(shù)，則最終破產(chǎn)概率為

ψu(yù)=e－RuEexp －R#8226;UTT＜

.

證明 對(duì)n＞0和r＞0，考察：

Ee－rUn=Ee－rUnT＜nPT＜n+

Ee－rUnT≥nPT≥n.（1）

因?yàn)閁n=u+X(n)－γn－Zn，所以式（1）左端可以寫(xiě)為

Ee－rUn

=e－ruexp －rX(n)－Yn－Zn+σW(n)

=exp(－ru+n(－ln(p1－qMXi(r))+

ln (p11－q1MYj(r))+ln(p21－q2MZk(r))+12r2σ2)).

由定理3，選取r=R，g(R)=0，則式（1）左端變?yōu)楠玡－RU(n)=e－Ru，式（1）變?yōu)?/p>

e－Ru=Ee－RUTT＜nPT＜n+

Ee－RUTT≥nPT≥n. （2）

而在式(2)右端第一項(xiàng)中Un可寫(xiě)成

Un=UT+X(n)－X(T)－

Yn－YT－Zn－ZT+

σ(W(n)－W(T))=U(T)+∑M(n)i=M(T)+1Xi－

∑N1(n)j=N1(T)+1Yj－

∑N2(n)k=N2(T)+1Zk+σW(n－T).

對(duì)于給定的T

Ee－RUnT＜nPT＜n

=E(exp (－RU(T)－R∑M(n)i=M(T)+1Xi+R∑N1(n)j=N1(T)+1Yi+

R∑N2(n)k=N2(T)+1Zk－RσW(n－T)T＜n)#8226;

PT＜n=E(e－RU(T)T＜n)#8226;Eexp (－

R∑M(n)i=M(T)+1Xi+R∑N1(n)j=N1(T)+1Yi+R∑N2(n)k=N2(T)+1Zk－

RσW(n－T)T＜n#8226;PT＜n

=Ee－RUnT＜ne(n－T)g(R)PT＜n

=Ee－RUnT＜nPT＜n.（3）

令n→

，則lim n→

Ee－RUnT＜nPT＜n

=Ee－RUnT＜

ψ(u)

若能證明n→

時(shí)式（3）中第二項(xiàng)趨于零，則定理得證.記

α=qμ0p－q1μp1－q2μ1p2＞0，

β2=μ20q+pqσ20p2+μ2q1+p1q1σ2p21+

μ21q2+p2q2σ21p22+σ2，

其中σ20=VarXi，σ2=VarYj，σ21=VarZk. 易知：

E(U(n))=E(u+X(n)－Y(n)－Z(n)+

σW(n))=u+nαVar(U(n))=Var(u+

X(n)－Y(n)－Z(n)+

σW(n))=nβ2.

由于α＞0，考察Qn=u+nα－βn23，只要n充分大，Qn＞0. 而當(dāng)n→

時(shí)，Qn→+

，利用Un，Qn的大小關(guān)系將式(2)右端第二項(xiàng)拆分成兩項(xiàng)，有

Ee－RUnT≥nPT≥n

=Ee－RUnT≥n，0≤Un≤Qn#8226;

PT≥n，0≤Un≤Qn+E(e－RUn

T≥n，U(n)＞Q(n))P(T＞n，U(n)＞Q(n))

≤P0≤Un≤Qn+e－RQn. （4）

由切比雪夫不等式，得

P0≤Un≤Qn

=P0≤Un≤EUn－βn23

≤PUn－EUn≥βn23

≤Var(U(n))β－2n－43=n－13.

于是當(dāng)n→

時(shí)，式（4）右端趨于零.

所以

e－Ru=Eexp －R#8226;UTT＜

ψu(yù)，

即

ψu(yù)=e－RuEexp －R#8226;UTT＜

.

推論 ψu(yù)≤e－Ru.

證明 當(dāng)T＜

時(shí)，UT＜0，因此Ee－RUTT＜

＞1，由定理4知ψu(yù)≤e－Ru，所以e－Ru就是最終破產(chǎn)概率的一個(gè)上界.

參考文獻(xiàn)

［1］ J Grandell. Aspects of risk theory ［M］. New York: Springer Verlag， 1991.

［2］ 龔日朝，楊向群. 復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率［J］. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2001，18（2）：38-41.

［3］ 徐金福，劉再明. 廣義復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率［J］. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2004，24（1）：93-96.

［4］ 陳貴磊. 一類離散雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型［J］. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2006，23（1）：7-10.

［5］ 羅琰，鄒捷中. 一類離散雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型［J］. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2004，24（3）：112-114.

［6］ 蔣志明，王漢興. 一類多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率［J］. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2000，14（1）：9-16.［7］ 方世祖，劉瑤環(huán)，孫歆，趙培臣. 帶干擾的雙險(xiǎn)種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型［J］. 廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，25（1）：4-7.

［8］ S M Roose. 何聲武，謝盛榮， 等. 隨機(jī)過(guò)程［M］. 北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1997：34-56.

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