延誤休假且修理延遲的可修系統的更換策略

摘 要 研究了修理工多重延誤休假且修理延遲的可修系統，假設系統故障后均不能“修復如新”，系統在準備休假期間故障的概率為q，系統延遲修理的概率為1－p，以系統故障次數為更換策略，運用更新過程和幾何過程理論，得出系統長期運行單位時間內平均停機時間的表達式，并通過數值例子驗證了存在最優策略，使得平均停機時間最短.

關鍵詞 延誤休假；修理延遲；幾何過程；平均停機時間；可修系統

中圖分類號 O224 文獻標識碼 A

Replacement Policy of Repairable System with Multiple Delay Vacations and Delay Repair

JIA Pengru，MENG Xianyun，ZHANG Xiaoshuang，ZHU Zhenhua

（College of Sciences， Yanshan University， Qinhuangdao， Hebei 066004， China）

Abstract This paper studied a repairable system with multiple delay vacations and delay repair.The repair after system failure is not as good as new，and a repair can be delayed with a probability of 1－p.The system fails at vacation times with a probability of 1－q.The replacement policy was considered based on the failure number for the system by using renewl process theory and geometric procee theory，and the explicit expressions of the downtime was derived.Finally， the result through numerical example was also analyzed.

Key words multiple delay vacations;delay repair;geometric process;renewl process;downtime

1 引 言

修理工可休假的可修系統是具有實際意義的模型.文獻［1-4］對修理工可休假的可修系統模型做了可靠性分析，得出一些重要的可靠性指標；文獻［7］研究的是修理工單重休假條件下單部件可修系統的更換策略；文獻［5-7］研究了修理工多重休假條件下的可修系統的更換策略.本文在以上文獻基礎上，考慮修理工可多重延誤休假的可修系統.所謂延誤休假時指：當修理工發現系統中沒有故障部件時，并不立即休假，而是有一段隨機的準備時間，把修理工從開始空閑到開始休假這段時間稱為修理工的延誤休假時間.多重延誤休假是指：每次休假結束時若系統中仍沒有故障部件，則準備下一次休假.文獻［5-8］中都假定系統故障后立即得到修理，但實際并非如此，可能由于修理工不在現場，修理地點一時難以到達，修理配件不齊全等原因，使系統不能立即修理，則稱此為修理延遲.文獻［9］就研究了修理延遲的冷貯備系統的更換策略.

本文研究了修理工多重延誤休假的可修系統，假定系統在準備休假期間故障的概率為q，系統故障后立即修理的概率為p，以系統故障次數為更換策略，運用更新過程和幾何過程理論，得出系統長期運行單位時間內平均停機時間的表達式，最后通過數值例子驗證確實存在最有策略.

下面給出幾何過程的定義

定義設{Xn，n=1，2，…}為一個非負獨立的隨機變量序列，如果Xn的分布函數為Fn(t)=F(an－1t)，其中a為正常數，n=1，2，…，則{Xn，n=1，2，…}稱為一個幾何過程［10］.

若a＞1，{Xn，n=1，2，…}是遞減的幾何過程；若0＜a＜1，{Xn，n=1，2，…}是遞增的幾何過程；若a=1，{Xn，n=1，2，…}即為相互獨立的隨機變量序列.

2 模型假設

假設1 開始時，系統正常.修理工休假策略為多重延誤休假，系統在準備休假期間故障的概率為q，系統故障后立即修理的概率為p.

假設2 設系統第n－1次維修完成到第n次維修完成之間的時間間隔為系統的第n個周期.Xn為系統第n－1次維修后的剩余壽命，其分布函數為

F(an－1t)，a＞1，t≥0，

這樣，{Xn，n=1，2，…}是隨機遞減的幾何過程，EX1=λ；Yn為系統第n次故障后的維修時間，分布函數為

G(bn－1t)，0＜b＜1，t≥0，

這樣{Yn，n=1，2，…}是隨機遞增的幾何過程，EY1=μ；Vin為修理工在第n個周期中第i次準備休假時間，分布函數為H(t)=1－e－θ t，θ＞0，t≥0，EV11=1θ;Zin為修理工在第n個周期中第i次休假時間，分布函數為S(dn－1t)，d＞1，t≥0，EZ11=γ，這樣{Zin，i=1，2，…;n=1，2，…}是隨機遞減的幾何過程；Wn表示系統在第n次故障后延遲修理時間，分布函數為V(t)，EW=τ;更換時用新的同型部件更換且更換時間忽略不計.

假設3Xn，Yn，Vin，Zin，Wn相互獨立，n=1，2，…;i=1，2，….

3 模型分析

令T1為系統故障次數首次達到N時，系統的更換時刻；Tn(n≥2)為系統第n－1次與第n更換之間的時間間隔，顯然{Tn，n=1，2，…}形成一個更新過程.

圖1為系統的一個可能進程圖，設D為系統在策略N下經長期運行單位時間內的平均停機時間，由于{Tn，n=1，2，…}為一個更新過程，所以相鄰兩次更新時間間隔為更新周期，依據更新報酬報酬定理［11］，得

D=一個更新周期內平均停機時間一個更新周期長度，(1)

為了求得平均更新周期長度和一個更新周期內的平均停機時間，首先考慮系統故障N次時，每個周期內休假次數的概率分布.

定理1 設ηn為系統在第n個周期內的休假次數，則其概率分布為

p(ηn=m)=∫+

0［pm－1(t)－pm(t)］dF(an－1t)且

m=1，2，…;n=1，2，…N，

Eηn=∫+

0∑

m=1pm(t)dF(an－1t)，其中pm(t)=p∑mi=1(Vin+Zin)≤t，

證明 根據ηn的定義及全概率有

p(ηn=m)

=∑m－1i=1Vin+Zin＜Xn＜∑mi=1Vin+Zin

=∫+

0p∑m－1i=1Vin+Zin＜t＜∑mi=1Vin+Zin，

Xn≤t］dF(an－1t)

=∫+

0pm－1(t)－pm(t)dF(an－1t)，

Eηn=∑

m=1mp(ηn=m)

∑

m=1m∫+

0pm－1(t)－pm(t)dF(an－1t)

=∫+

0∑

m=1mpm－1(t)－pm(t)dF（an－1t)

=∫+

0∑

m=1pm(t)dF(an－1t).

證畢.

由系統進程及假設，不難得到更新周期長W和停機時間R

W=∑Nn=1Xn+∑N－1n=1(Yn+Wn)IAn+YnIBn+

∑N－1n=1∑ηni=1(Vin+Zin)－XnICn，

R=∑N－1n=1(Yn+Wn)I{An}+YnI{Bn}+

∑N－1n=1∑ηni=1(Vin+Zin)－XnI{Cn}，

其中，An為系統故障后延遲修理；Bn為系統故障后立即修理；Cn為系統在準備休假期間未故障，因此式(1)為

D=EREW.（2）

定理2 以系統的故障次數為更換策略，當故障次數為N時，系統長期運行單位時間內的停機時間為

D=S+H∑Nn=1λan－1+S+H，

S=∑N－1n=1μbn－1+(1－p)(N－1)τ－

(1－q)∑N－1n=1λan－1，

H=(1－q)∑N－1n=11θ+γdn－1#8226;

∫+

0∑

m=1pm(t)dF(an－1).

證

W=∑Nn=1Xn+∑N－1n=1Yn+∑N－1n=1WnI{An}+

∑N－1n=1∑ηni=1Vin+Zin－XnI{Cn}，

R=∑N－1n=1Yn+∑N－1n=1WnI{An}+

∑N－1n=1∑ηni=1(Vin+Zin)－XnI{Cn}.

又因為

E∑ηni=1(Vin+Zin)

=EE∑ηni=1(Vin+Zin)|ηn

=∑

m=1∑mi=1EVin+Zinp(ηn=m)

=∑

m=1∑mi=1EVinp(ηn=m)+

∑

m=1∑mi=1EZinp(ηn=m)

=1θ+γdn－1∫+

0∑

m=1pm(t)dF(an－1t).

且事件An發生的概率為1－p，事件Cn發生的概率為1－q，所以

EW=E∑Nn=1Xn+E∑N－1n=1Yn+E∑N－1n=1WnI{An}+

E∑N－1n=1∑ηni=1(Vin+Zin)－XnI{Cn}

=∑Nn=1λan－1+∑N－1n=1μbn－1+∑N－1n=1(1－p)τ+

∑N－1n=1(1－q)E∑ηni=1(ViN+Zin)－λan－1

=∑Nn=1λan－1+∑N－1n=1μbn－1+(1－p)(N－1)τ+

(1－q)∑N－1n=11θ+γdn－1∫+

0∑

m=1pmt#8226;

dF(an－1t)－(1－q)∑N－1n=1λan－1，

ER=E∑N－1n=1Yn+E∑N－1n=1WnI{An}+

E∑N－1n=1∑ηni=1(Vin+Zin)－XnI{Cn}

=∑N－1n=1μbn－1+(1－p)(N－1)τ+

(1－q)∑N－1n=11θ+γdn－1∫+

0∑

m=1pm(t)#8226;

dF(an－1t)－(1－q)∑N－1n=1λan－1.

將ER，EW表達式代入式(2)得定理，證畢.

4 特殊情形與數值例子

Xn的分布函數為

F(an－1t)=1－exp(－an－1t/λ)，

Yn的分布函數為

G(bn－1t)=1－exp(－bn－1t/μ)，

Zin的分布函數為

S(dn－1t)=1－exp (－dn－1t/γ)，

a＞1，d＞1，0＜b＜1，t≥0，假定準備休假時間分布和休假時間分布相同，即

H(t)=S(dn－1t)=1－exp(－dn－1t/γ)，

此時目標函數為

∑N－1n=1μbn-1+(1-p)(N-1)τ+3(1-q)∑N－1n=1λan-1∑Nn=1λan-1+∑N－1n=1μbn-1+(1-p)(N-1)τ+3(1-q)∑N－1n=1λan-1. (5)

若a=1.8，b=0.98，λ=100，μ=10，τ=0.1，p=0.8，q=0.4，由上式可得表1.

5 小 結

本文在文獻［7］的基礎上增加考慮修理工多重延誤休假，將文獻［5，8］中系統故障后立即修理考慮為延遲修理，這樣的系統更接近實際.

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