延誤休假且修理延遲的可修系統(tǒng)的更換策略

摘 要 研究了修理工多重延誤休假且修理延遲的可修系統(tǒng)，假設系統(tǒng)故障后均不能“修復如新”，系統(tǒng)在準備休假期間故障的概率為q，系統(tǒng)延遲修理的概率為1－p，以系統(tǒng)故障次數(shù)為更換策略，運用更新過程和幾何過程理論，得出系統(tǒng)長期運行單位時間內平均停機時間的表達式，并通過數(shù)值例子驗證了存在最優(yōu)策略，使得平均停機時間最短.

關鍵詞 延誤休假；修理延遲；幾何過程；平均停機時間；可修系統(tǒng)

中圖分類號 O224 文獻標識碼 A

Replacement Policy of Repairable System with Multiple Delay Vacations and Delay Repair

JIA Pengru，MENG Xianyun，ZHANG Xiaoshuang，ZHU Zhenhua

（College of Sciences， Yanshan University， Qinhuangdao， Hebei 066004， China）

Abstract This paper studied a repairable system with multiple delay vacations and delay repair.The repair after system failure is not as good as new，and a repair can be delayed with a probability of 1－p.The system fails at vacation times with a probability of 1－q.The replacement policy was considered based on the failure number for the system by using renewl process theory and geometric procee theory，and the explicit expressions of the downtime was derived.Finally， the result through numerical example was also analyzed.

Key words multiple delay vacations;delay repair;geometric process;renewl process;downtime

1 引 言

修理工可休假的可修系統(tǒng)是具有實際意義的模型.文獻［1-4］對修理工可休假的可修系統(tǒng)模型做了可靠性分析，得出一些重要的可靠性指標；文獻［7］研究的是修理工單重休假條件下單部件可修系統(tǒng)的更換策略；文獻［5-7］研究了修理工多重休假條件下的可修系統(tǒng)的更換策略.本文在以上文獻基礎上，考慮修理工可多重延誤休假的可修系統(tǒng).所謂延誤休假時指：當修理工發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中沒有故障部件時，并不立即休假，而是有一段隨機的準備時間，把修理工從開始空閑到開始休假這段時間稱為修理工的延誤休假時間.多重延誤休假是指：每次休假結束時若系統(tǒng)中仍沒有故障部件，則準備下一次休假.文獻［5-8］中都假定系統(tǒng)故障后立即得到修理，但實際并非如此，可能由于修理工不在現(xiàn)場，修理地點一時難以到達，修理配件不齊全等原因，使系統(tǒng)不能立即修理，則稱此為修理延遲.文獻［9］就研究了修理延遲的冷貯備系統(tǒng)的更換策略.

本文研究了修理工多重延誤休假的可修系統(tǒng)，假定系統(tǒng)在準備休假期間故障的概率為q，系統(tǒng)故障后立即修理的概率為p，以系統(tǒng)故障次數(shù)為更換策略，運用更新過程和幾何過程理論，得出系統(tǒng)長期運行單位時間內平均停機時間的表達式，最后通過數(shù)值例子驗證確實存在最有策略.

下面給出幾何過程的定義

定義設{Xn，n=1，2，…}為一個非負獨立的隨機變量序列，如果Xn的分布函數(shù)為Fn(t)=F(an－1t)，其中a為正常數(shù)，n=1，2，…，則{Xn，n=1，2，…}稱為一個幾何過程［10］.

若a＞1，{Xn，n=1，2，…}是遞減的幾何過程；若0＜a＜1，{Xn，n=1，2，…}是遞增的幾何過程；若a=1，{Xn，n=1，2，…}即為相互獨立的隨機變量序列.

2 模型假設

假設1 開始時，系統(tǒng)正常.修理工休假策略為多重延誤休假，系統(tǒng)在準備休假期間故障的概率為q，系統(tǒng)故障后立即修理的概率為p.

假設2 設系統(tǒng)第n－1次維修完成到第n次維修完成之間的時間間隔為系統(tǒng)的第n個周期.Xn為系統(tǒng)第n－1次維修后的剩余壽命，其分布函數(shù)為

F(an－1t)，a＞1，t≥0，

這樣，{Xn，n=1，2，…}是隨機遞減的幾何過程，EX1=λ；Yn為系統(tǒng)第n次故障后的維修時間，分布函數(shù)為

G(bn－1t)，0＜b＜1，t≥0，

這樣{Yn，n=1，2，…}是隨機遞增的幾何過程，EY1=μ；Vin為修理工在第n個周期中第i次準備休假時間，分布函數(shù)為H(t)=1－e－θ t，θ＞0，t≥0，EV11=1θ;Zin為修理工在第n個周期中第i次休假時間，分布函數(shù)為S(dn－1t)，d＞1，t≥0，EZ11=γ，這樣{Zin，i=1，2，…;n=1，2，…}是隨機遞減的幾何過程；Wn表示系統(tǒng)在第n次故障后延遲修理時間，分布函數(shù)為V(t)，EW=τ;更換時用新的同型部件更換且更換時間忽略不計.

假設3Xn，Yn，Vin，Zin，Wn相互獨立，n=1，2，…;i=1，2，….

3 模型分析

令T1為系統(tǒng)故障次數(shù)首次達到N時，系統(tǒng)的更換時刻；Tn(n≥2)為系統(tǒng)第n－1次與第n更換之間的時間間隔，顯然{Tn，n=1，2，…}形成一個更新過程.

圖1為系統(tǒng)的一個可能進程圖，設D為系統(tǒng)在策略N下經長期運行單位時間內的平均停機時間，由于{Tn，n=1，2，…}為一個更新過程，所以相鄰兩次更新時間間隔為更新周期，依據(jù)更新報酬報酬定理［11］，得

D=一個更新周期內平均停機時間一個更新周期長度，(1)

為了求得平均更新周期長度和一個更新周期內的平均停機時間，首先考慮系統(tǒng)故障N次時，每個周期內休假次數(shù)的概率分布.

定理1 設ηn為系統(tǒng)在第n個周期內的休假次數(shù)，則其概率分布為

p(ηn=m)=∫+

0［pm－1(t)－pm(t)］dF(an－1t)且

m=1，2，…;n=1，2，…N，

Eηn=∫+

0∑

m=1pm(t)dF(an－1t)，其中pm(t)=p∑mi=1(Vin+Zin)≤t，

證明 根據(jù)ηn的定義及全概率有

p(ηn=m)

=∑m－1i=1Vin+Zin＜Xn＜∑mi=1Vin+Zin

=∫+

0p∑m－1i=1Vin+Zin＜t＜∑mi=1Vin+Zin，

Xn≤t］dF(an－1t)

=∫+

0pm－1(t)－pm(t)dF(an－1t)，

Eηn=∑

m=1mp(ηn=m)

∑

m=1m∫+

0pm－1(t)－pm(t)dF(an－1t)

=∫+

0∑

m=1mpm－1(t)－pm(t)dF（an－1t)

=∫+

0∑

m=1pm(t)dF(an－1t).

證畢.

由系統(tǒng)進程及假設，不難得到更新周期長W和停機時間R

W=∑Nn=1Xn+∑N－1n=1(Yn+Wn)IAn+YnIBn+

∑N－1n=1∑ηni=1(Vin+Zin)－XnICn，

R=∑N－1n=1(Yn+Wn)I{An}+YnI{Bn}+

∑N－1n=1∑ηni=1(Vin+Zin)－XnI{Cn}，

其中，An為系統(tǒng)故障后延遲修理；Bn為系統(tǒng)故障后立即修理；Cn為系統(tǒng)在準備休假期間未故障，因此式(1)為

D=EREW.（2）

定理2 以系統(tǒng)的故障次數(shù)為更換策略，當故障次數(shù)為N時，系統(tǒng)長期運行單位時間內的停機時間為

D=S+H∑Nn=1λan－1+S+H，

S=∑N－1n=1μbn－1+(1－p)(N－1)τ－

(1－q)∑N－1n=1λan－1，

H=(1－q)∑N－1n=11θ+γdn－1#8226;

∫+

0∑

m=1pm(t)dF(an－1).

證

W=∑Nn=1Xn+∑N－1n=1Yn+∑N－1n=1WnI{An}+

∑N－1n=1∑ηni=1Vin+Zin－XnI{Cn}，

R=∑N－1n=1Yn+∑N－1n=1WnI{An}+

∑N－1n=1∑ηni=1(Vin+Zin)－XnI{Cn}.

又因為

E∑ηni=1(Vin+Zin)

=EE∑ηni=1(Vin+Zin)|ηn

=∑

m=1∑mi=1EVin+Zinp(ηn=m)

=∑

m=1∑mi=1EVinp(ηn=m)+

∑

m=1∑mi=1EZinp(ηn=m)

=1θ+γdn－1∫+

0∑

m=1pm(t)dF(an－1t).

且事件An發(fā)生的概率為1－p，事件Cn發(fā)生的概率為1－q，所以

EW=E∑Nn=1Xn+E∑N－1n=1Yn+E∑N－1n=1WnI{An}+

E∑N－1n=1∑ηni=1(Vin+Zin)－XnI{Cn}

=∑Nn=1λan－1+∑N－1n=1μbn－1+∑N－1n=1(1－p)τ+

∑N－1n=1(1－q)E∑ηni=1(ViN+Zin)－λan－1

=∑Nn=1λan－1+∑N－1n=1μbn－1+(1－p)(N－1)τ+

(1－q)∑N－1n=11θ+γdn－1∫+

0∑

m=1pmt#8226;

dF(an－1t)－(1－q)∑N－1n=1λan－1，

ER=E∑N－1n=1Yn+E∑N－1n=1WnI{An}+

E∑N－1n=1∑ηni=1(Vin+Zin)－XnI{Cn}

=∑N－1n=1μbn－1+(1－p)(N－1)τ+

(1－q)∑N－1n=11θ+γdn－1∫+

0∑

m=1pm(t)#8226;

dF(an－1t)－(1－q)∑N－1n=1λan－1.

將ER，EW表達式代入式(2)得定理，證畢.

4 特殊情形與數(shù)值例子

Xn的分布函數(shù)為

F(an－1t)=1－exp(－an－1t/λ)，

Yn的分布函數(shù)為

G(bn－1t)=1－exp(－bn－1t/μ)，

Zin的分布函數(shù)為

S(dn－1t)=1－exp (－dn－1t/γ)，

a＞1，d＞1，0＜b＜1，t≥0，假定準備休假時間分布和休假時間分布相同，即

H(t)=S(dn－1t)=1－exp(－dn－1t/γ)，

此時目標函數(shù)為

∑N－1n=1μbn-1+(1-p)(N-1)τ+3(1-q)∑N－1n=1λan-1∑Nn=1λan-1+∑N－1n=1μbn-1+(1-p)(N-1)τ+3(1-q)∑N－1n=1λan-1. (5)

若a=1.8，b=0.98，λ=100，μ=10，τ=0.1，p=0.8，q=0.4，由上式可得表1.

5 小 結

本文在文獻［7］的基礎上增加考慮修理工多重延誤休假，將文獻［5，8］中系統(tǒng)故障后立即修理考慮為延遲修理，這樣的系統(tǒng)更接近實際.

參考文獻

［1］ 劉仁彬，唐應輝，駱川義.具有多重休假的n部件串聯(lián)可修系統(tǒng)［J］.電子科技大學學報，2007，36(2):399-400.

［2］ 劉仁彬，唐應輝，曹保山. N部件串聯(lián)可修系統(tǒng)的一個新模型及其可靠性分析［J］.工程數(shù)學學報，2008，25(3):421-428.

［3］ 唐應輝，劉曉云.修理工帶休假的單部件可修系統(tǒng)的可靠性分析［J］.自動化學報，2004，30(3):466-470.

［4］ 郭偉立，吳清太.具有多重延誤休假的Gnedenko系統(tǒng)［J］.山東建筑大學學報，2009，24(4):342-345.

［5］ Jia Jishen，Wu Shaomin.A replacement policy for a repairable system with its repairman having multiple vacations［J］.Computers Industrial Engineering，2009，57:156-160.

［6］ 賈積身，劉思峰，黨耀國.修理工多重休假的可修系統(tǒng)更換策略［J］.系統(tǒng)管理學報，2007，16(5):513-517.

［7］ 賈積身，劉思峰，黨耀國.延遲修理的修理工多重休假可修系統(tǒng)更換模型［J］.系統(tǒng)工程與電子技術，2009，31(2):3017-3021.

［8］ 賈積身，劉思峰，李坤.基于停機時間的單重休假可修系統(tǒng)優(yōu)化策略眼覺［J］.集團經濟研究，2006，192:192-193.

［9］ Jia Jishen，Wu Shaomin.Optimizing replacement policy for cold-standby system with waiting repair times［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，214:133-141.［10］Yeh Lam.Geometric processes and replacement problem［J］，Acta.Mathematics Applicate Sinica，1988，4(4):366-377.

［11］曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學引論［M］.北京:科學出版社，1986.

［12］賈積身，張元林.關于可修冷備系統(tǒng)更換策略的研究［J］.經濟數(shù)學，2002，19(3): 53-57.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文