基于跳擴散過程的歐式交換期權定價

摘 要 考慮了股票價格服從帶時滯泊松跳的跳擴散模型的歐式交換期權定價問題，運用無套利理論推導出期權價值微分方程，利用變換計價單位的方法，得到交換期權的顯示定價公式.

關鍵詞 跳擴散過程;交換期權;隨機微分方程

中圖分類號 O211．6 文獻標識碼 A

Pricing of European Exchange Options on Jump Diffusion Process Model

HUANG Shuangshuang1，HE Zhanbing2

( College of Mathematics， Physics and Information Engineering，Jiaxing University，Jiaxing 314001，China;

2.Hunan Mass Media Vocational Technical College，Changsha，Hunan 410100，China)

Abstract The problem of pricing european exchange options on a jumpdiffusion model was considered. This paper assumes that the stock price is driven by jumpdiffusion process， and the jump process is a homogenous poisson process. The differential equation of option value was derived with noarbitrage theory. By using the method of numeraire conversion， the exact formula for pricing exchange option was obtained.

Key words jumpdiffusion process ， exchange option ， stochastic differential equation

1 引 言

交換期權是一種期權持有人在到期日有權但不必須以一種資產交換另一種資產的合約［1］. Margrabe在1978年首次給出了在擴散模型中交換期權的閉式解［2］，他的工作是在BlackScholes模型的假設下完成的，而大量的金融統計數據表明，這樣的假設與實際情形有很大偏差. 為了減小偏差，較之Margrabe的擴散模型，Merton的跳擴散模型［3］更符合實際，該模型把股票價格的運動過程分為兩部分：其一是正常的連續價格波動，即因一些細小的信息的到達使得股票價格進行一些小波動，用布朗運動來刻畫；其二是“非正常”的不連續的價格波動，即因一些比較重大的信息的到達使得股票價格進行較大的波動，用泊松過程來刻畫.在服從泊松過程的跳擴散模型基礎上，金融衍生資產定價問題是一個熱點問題，文獻［4］基于此模型用期權定價的鞅方法得出了障礙期權的定價公式. 本文假定股票價格過程遵循帶有強度參數都為λ的時齊泊松過程的跳擴散過程，在文獻［3］的基礎上進行了擴展，借鑒了文獻［3］和［5］中利用無套利理論的方法推導出期權滿足的微分方程，然后運用文獻［6］中變換計價單位的方法求解無套利條件下期權滿足的隨機微分方程，并與擴散模型進行了比較.

2 基本模型及假設

考慮一個具有3項資產（B(t)，S1(t)，S2(t)）的無摩擦金融市場，假定市場無套利，其中B(t)為無風險債券的價格過程，滿足方程dB(t)=rB(t)dt，常數r為銀行利率；Si(t)(i=1，2)為第i項風險資產（股票）的價格過程，其不確定性包含擴散和跳躍，假定不支付紅利，其在t時刻的價格S1(t)和S2(t)分別滿足隨機微分方程［3］：

dS1(t)S1(t)=(μ1－λk1)dt+σ1dW1(t)+X1dN(t)，(1)

dS2(t)S2(t)=(μ2－λk2)dt+σ2dW2(t)+X2dN(t)，(2)

其中，常數μi(i=1，2)是第i個股票的期望收益率，常數σi(i=1，2)是沒有跳躍發生時第i個股票收益的波動率；Wi(t)(i=1，2)是標準布朗運動，其相關系數為ρ；N(t)是強度參數為常數λ的時齊泊松過程；常數ki≡E(Xi)(i=1，2)，其中Xi（Xi＞－1，否則會出現非正價格）是第i個泊松過程發生跳躍時第i個股票價格的相對跳躍高度且服從獨立同分布；W1(t)，W2(t)，N(t)，X1j，X2j相互獨立，Xij(i=1，2)是第i個股票第j次的相對跳躍高度，是獨立同分布的，且Xi0＝0；E(#8226;)是無條件期望算子.

引理1隨機微分方程（1）和（2）的解［7］分別為：

S1(t)=S1(0)exp ((μ1－λk1－12σ21)t

+σ1W1(t))∏Ntj=0(1+X1j)，(3)

S2(t)=S2(0)exp ((μ2－λk2－12σ22)t

+σ2W2(t))∏Ntj=0(1+X2j)，(4)

即在服從泊松跳過程的跳擴散模型下，股票價格的顯示公式.

3 期權價值微分方程

記聯系兩種股票的交換期權在t時刻的價值為V(t)，設V(t)＝F(S1，S2，t)，其中F關于t一次連續可微，關于S1，S2二次連續可微，則由交換期權的定義，有

F(S1，S2，T)=(S2－S1)+，(5)

其邊值條件為

F(S1，0，t)=0 .(6)

由式(1)和式(2)及It引理，期權的收益率可寫成：

dV(t)V(t)=(μv－λk1v－λk2v)dt+σ1vdW1(t)

+σ2vdW2(t)+X1vdN(t)+X2vdN(t)， (7)

其中，μv是期權的期望收益率；(σ1v，σ2v)是沒有跳躍發生時期權收益的波動率； kiv=∑(Xiv) (i=1，2)，其中Xiv是服從獨立同分布的第i個過程發生跳躍時期權的相對跳躍高度.

引理2(廣義It公式)［8］設有跳擴散過程dx=adt+ bdW+ydq， 另有函數f(t，x)關于t一階連續， 關于x二階連續可導， 則

df=(ft+afx+12fxxb2)dt+bfxdW+Ydq，

其中Y=f(t，x+y)－f(t，x).

定理1 設由跳產生的風險為非系統風險，F(S1，S2，t)是聯系于股票S1和股票S2在t時刻的交換期權價值，S1和S2分別滿足式(1)和式(2)，則F(S1，S2，t)滿足微分方程組：

Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+ρσ1σ2S1S2F12 +(r－λk1)S1F1+(r－λk2)S2F2－rF+

λE(F(S1(1+X1)，S2(1+X2)，t)－

F(S1，S2，t))=0，F(S1，S2，T)=(S2－S1)+. (8)

證明：由It引理，有：

μv=［Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+

ρσ1σ2S1S2F12+(μ1－λk1)S1F1+(μ2－

λk2)S2F2+λE(F(S1(1+X1)，S2(1+X2)，t)－

F(S1，S2，t))］/F(S1，S2，t).(9)

σ1v=σ1S1F1(S1，S2，t)F(S1，S2，t)，(10)

σ2v=σ2S2F2(S1，S2，t)F(S1，S2，t)， (11)

X1v=F(S1(1+X1)，S2，t)－F(S1，S2，t)F(S1，S2，t)， (12)

X2v=F(S1，S2(1+X2)，t)－F(S1，S2，t)F(S1，S2，t)，(13)

其中F的下標表示偏微分，E(#8226;)是無條件期望算子.

考慮一個包含兩種股票S1，S2和期權V的資產組合，令其比例分別為Δ1、Δ2和Δ3，Δ1+Δ2+Δ3=1，記P(t)為組合在t時刻的價值，那么組合的期望收益率可以寫成：

dP(t)P(t)=(μp－λk1p－λk2p)dt+σ1pdW1(t)+

σ2pdW2(t) +X1pdN(t)+X2pdN(t) ， (14)

其中，μp是組合的期望收益率；(σ1p，σ2p)是沒有跳躍發生時組合收益的波動率；kip=∑(Xip)(i=1，2)，Xip是服從獨立同分布的第i個過程發生跳躍時組合的相對跳躍高度.

由式(1)、(2)及式(9)式，有：

μp=Δ1μ1+Δ2μ2+Δ3μv ， (15)

σ1p=Δ1σ1+Δ3σ1v，(16)

σ2p=Δ2σ2+Δ3σ2v ，(17)

X1p=Δ1X1+Δ3F(S1(1+X1)，S2，t)－F(S1，S2，t)F(S1，S2，t)，(18)

X2p=Δ2X2+Δ3F(S1，S2(1+X2)，t)－F(S1，S2，t)F(S1，S2，t). (19)

選取Δ1=Δ*1，Δ2=Δ*2和Δ3=Δ*3，使得Δ*1σ1+Δ*3σ1v=0和Δ*2σ2+Δ*3σ2v=0. 記此時組合的價值為P*，把式(16)、(17)代入式(14)，得此組合的期望收益率：

dP*(t)P*(t)=(μ*p－λk*1p－λk*2p)dt+X*1pdN(t)+

X*2pdN(t). (20)

如果由跳產生的風險為非系統風險，由資本資產定價理論，組合的期望收益率等于無風險利率r，即μ*p=r，因此得到方程組:

Δ*1μ1+Δ*2μ2+Δ*3μv=r，Δ*1σ1+Δ*3σ1v=0，Δ*2σ2+Δ*3σ2v=0.(21)

將式(9)~(11)代入方程組(21)，得到F滿足微分方程：

Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+ρσ1σ2S1S2F12+

(r－λk1)S1F1+(r－λk2)S2F2－rF+

λE(F(S1(1+X1)，S2(1+X2)，t)－

F(S1，S2，t))=0. (22)

證畢.

注1 如果λ=0，微分方程組(8)即股票價格服從連續過程的資產交換期權價值方程組：

Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+

ρσ1σ2S1S2F12+rS1F1+rS2F2－rF=0，

F(S1，S2，T)=(S2－S1)+.(23)

4 交換期權定價公式

定理2 在股票價格過程服從式(1)~(2)的跳擴散模型中，由式(5)定義的交換期權的定價公式為

F(S1，S2，t)

=∑+

n=0e－λ(T－t)(λ(T－t))nn!E［S2e－λk2(T－t)Φ(d1)

#8226;∏nj=0(1+X2j)－S1e－λk1(T－t)Φ(d2)∏nj=0(1+X1j)］， (24)

其中E(#8226;)是期望算子，

d1=1σ2(T-t)［ln（S2S1e-λ(k2-k1)(T-t)#8226;

∏nj=01+X2j1+X1j)+12σ2(T-t)］，

d2=d1－σ2(T－t)，(25)

其中σ2=σ21－2ρσ1σ2+σ22.

證明 為了求解微分方程組(8)，做一個變換，令Z=S2S1，

U(Z，t)=F(S1，S2，t)S1.(26)

即引進新的概率測度Q，滿足dQdP=S1(t)S1(0)B(t)，則有

FS1=U－ZUZ，

FS2=UZ，

2FS21=Z2S1#8226;2UZ2，

2FS22=1S1#8226;2UZ2，

2FS1S2=－ZS12UZ2.

為了簡化，記

F1=U－ZUz，

F2=Uz，

F11=Z2S1Uzz，

F22=1S1Uzz，

F12=－ZS1Uzz，(27)

其中F的下標與U的下標表示偏微分. 將式(26)~(27)代入方程組(22)，容易驗證U(Z，t)滿足一維隨機微分方程組：

Ut+σ22Z2UZZ－λ(k2－k1)ZUz+

λ(1+k1)E(U(1+X21+X1Z，t)－U(Z，t))=0，U(Z，T)=(Z－1)+， (28)

其中，σ2=σ21－2ρσ1σ2+σ22. 將方程組(28)與文獻［3］中關于跳擴散模型中的歐式期權定價方程比較，易知可以把U(Z，T)看作是以虛擬資產Z(t)為標的資產的、敲定價格為1的歐式期權的價格，且在該虛擬市場中利率r=0，虛擬資產Z(t)的波動率為σ，泊松過程的強度參數為λS1=λ(1+k1)，且發生跳躍時組合的相對跳躍高度為X2－X11+X1.則由文獻［3］中相應的定價公式，即知微分方程(28)的解為：

U(Z，T)=∑+

n=0e－λ(1+k1)(T－t)(λ(1+k1)(T－t))nn!#8226;

EQ［Ze－λ(k2－k1)(T－t)∏nj=01+X2j1+X1jΦ(d1)－Φ(d2)］

=∑+

n=0e－λ(T－t)(λ(T－t))nn!E［Ze－λk2(T－t)Φ(d1)#8226;

∏nj=0(1+X2j)－e－λk1(T－t)Φ(d2)∏nj=0(1+X1j)］，(29)

其中，Φ(x)=12π∫x－

et22dt，約定∏0j=1Xij=1，EQ(#8226;)是在以S1(t)為新的計價單位的概率測度Q下的期望算子，E(#8226;)是原給定概率測度P中的期望算子，且d1，d2分別為

d1=1σ2(T－t)［ln (S2S1e－λ(k2－k1)(T－t)#8226;

∏nj=01+X2j1+X1j)+12σ2(T－t)］，

d2=d1－σ2(T－t)，

其中σ2=σ21－2ρσ1σ2+σ22.

綜合式(26)、式(29)，得到結論：在股票價格過程服從式(1)、式(2)的跳擴散模型中，由式(5)定義的交換期權的定價公式為

F(S1，S2，t)=∑+

n=0e－λ(T－t)(λ(T－t))nn!#8226;

E［S2e－λk2(T－t)Φ(d1)∏nj=0(1+X2j)－

S1e－λk1(T－t)Φ(d2)∏nj=0(1+X1j)］，

其中E(#8226;)是期望算子，d1，d2由式（25）定義.

證畢.

注2 如果λ=0，即模型簡化為擴散模型，則期權定價公式簡化為

F(S1，S2，t)=S2Φ(d1)－S1Φ(d2)，(30)

其中

d1=1σ2(T－t)［ln S2S1+12σ2(T－t)］，

d2=d1－σ2(T－t).

此即Margrabe在文獻［2］中得到的結果.

4 結 論

本文在不支付紅利的前提下，求解了股票價格服從帶時齊泊松跳的跳擴散模型的交換期權定價問題，運用了無套利理論推導出期權價值的微分方程，利用變換計價單位的方法把交換期權的定價問題轉化成單個的期權定價問題，從而得到交換期權的顯示定價公式.但在現實金融市場中，股票價格可能是支付紅利的，股票價格的跳可能并不一定是泊松跳過程，波動率也可能不是常數，很多更為復雜的情形還有待于進一步去研究.

參考文獻

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