經濟代理人的最優損失控制

摘 要 根據經濟代理人對風險的厭惡程度高低將影響收益效用的事實，通過對經濟代理人的風險厭惡系數引進閾值，使風險厭惡系數在不同取值區間對應不同的效用函數，對經濟代理人具有常值絕對風險厭惡的效用函數，損失服從泊松分布、且保險市場被壟斷的承保人控制的最優防損活動進行了研究.研究表明，風險厭惡系數、損失的大小以及防損效率將影響最優防損水平.

文中結論推廣了現有文獻中的某些結果.

關鍵詞 期望效用；效用函數；泊松分布；風險厭惡系數

中圖分類號 O211.9 文獻標識碼 A

Optimum Loss Prevention of an Economic Agent

MAO Xiangyu

（College of Finance and Statistics， Hunan University，Changsha， Hunan 410082， China）

Abstract Optimum loss prevention activities were examinedfor an economic agent with utility function of constant absolute risk aversion， facing Poission distribution losses in an insurance market dominated by a monopolist insurer. In particular， the utility function is different from some existing papers. It is shown that the risk aversion coefficient， size oftheloss and productivity of loss prevention affect the optimum loss prevention level.

Key words expect utility function; Poisson distribution; risk aversion coefficient

1 引 言

已經有許多學者將期望效用理論應用于風險厭惡的經濟事件討論中，

對損失的最優控制進行了研究［1-2］.考慮到在實際觀察中往往出現復雜的損失.例如，一個經濟代理人在一個很長的期間持有財產權，那么他(她)可以遭受到多種可能的損失，如: 工業事故，職業病，車禍等.因此本文主要對一個經濟代理人在一個計劃周期內，由于承受損失風險而可能帶來多種損失的最優損失控制進行討論.一般經濟代理人會選擇保險來進行最優損失控制，例如，文獻［3-6］就曾經對經濟代理人的最優損失控制問題通過引入保險來進行最優損失控制.同其他文獻一樣，在本文中將損失控制定義為：在一個計劃周期內一個經濟代理人在純風險中為降低累計損失的期望值.損失能夠通過減少損失頻率或減少損失程度而得以控制，通常這兩種工具同時使用來控制損失，這兩個因素也許是不可分離的，然而防范和減少損失在許多研究中被處理為相互獨立的，本文也不例外，且文中主要對防損活動進行討論.對于這類問題的研究，現有的一些文獻中基本上采用的效用函數是

U(x)=1r(1-e-rw).

如文獻［4］等.在本文中，根據經濟代理人對風險的厭惡程度高低將影響收益效用的事實，通過對經濟代理人的風險厭惡系數引進閾值，使風險厭惡系數在不同取值區間對應不同的效用函數.為了論述方便，文中始終假設：

(a)損失數服從泊松分布；

(b)經濟代理人有常值絕對的風險厭惡；

(c)一個壟斷的承保人控制保險市場.

考慮到在實際中，損失控制通常和保險一起被采用，本文將討論經濟代理人能夠承擔的最大保險費，以便進一步討論保險費的使用對最優防損活動的影響.

2 經濟代理人的保險費

在本文中，將多種復雜的損失數X復合為服從參數為λ的泊松分布，即：

P(X=i)=λie-λi!，i=0，1，2，….(1)

其中，λ表示在一個周期內損失數的均值（數學期望），i表示經濟代理人遭受的損失數，P表示在一個周期內遭受到的損失數的概率.

另外，所采用的效用函數為

U(w)=-e-rw，如果r＞σ;

1r(1-e-rw)，如果0＜r≤σ，（2）

其中，U表示經濟代理人的效用；w表示經濟代理人經濟價值的總和;r＞0表示風險厭惡系數；σ表示風險厭惡系數閾值.式(2)中的效用函數可理解為:經濟代理人的風險厭惡系數在不同的區間(0，σ］和(σ，+∞)取值時，對應的收益效用服從不同的規律，即對應的收益效用函數表達式不同，這與經濟代理人對風險的厭惡程度等級將影響收益效用的事實是相符的.當σ充分大(σ+∞)時，式（2）可視為文獻［4］等中的收益效用函數U(x)=1r(1-e-rw)；當σ＞0充分小(σ0+)時，式(2)可視為文獻［7］等中的收益效用函數U(x)=-e-rw.顯然，具有式（2）的效用函數的經濟代理人是風險厭惡的［5-7］.

由式(2)，經過計算有：

dU(w)dw=re-rw＞0，如果r＞σ;

e-rw＞0，如果0＜r≤σ.

d2U(w)dw2=-r2e-rw＜0，如果r＞σ;

-re-rw＜0，如果0＜r≤σ.

上面的式子說明隨著經濟代理人經濟價值總和的增加，經濟代理人的效用是增加的；但是隨著經濟代理人經濟價值總和的增加，經濟價值總和的邊際效用遞減，因此滿足效用函數的基本條件.

在經濟學中往往假設一個理性的人通常選擇損失的控制水平是使得他（她）的效用最大化.注意到在實際中損失控制通常和保險一起被采用，因此在決策過程中，保險費是一個重要的因素.對給定的保險總額，壟斷的承保人所支付的與代理人所能夠負擔的是相等的，因此最大的保險費并不是保險的均衡價格.在市場調整中，假設無論是承保人還是經濟代理人所有相關的信息都是對稱的.為簡單起見，假設提供了完全的保險總額、保險沒有絕對免賠額、沒有聯合保險、也沒有道德風險.

注意到，假設經濟代理人是風險厭惡的，因此有U(w)=E(U(w))，即

-e-A+rs=∑+∞i=0(-e-rA+iL)λie-λi!，

如果r＞σ;

1r(1-e-A+rs)=∑+∞i=0［1r(1--e-rA+iL)］λie-λi!

如果0＜r≤σ，(3)

其中，A＞0表示風險決策前的初始財產，s＞0表示最大保險費，L＞0表示損失數.式（3）的右邊是經濟代理人遭受到損失后的財富效用的期望值，由經濟學理論知，由于經濟代理人是風險厭惡的，因此應等于經濟代理人的效用.由式（3）可獲得經濟代理人能夠接受的最大保險費為

s=1r(erL-1)＞0，如果r＞σ;

1r(eL-1)＞0，如果0＜r≤σ.(4)

進一步，在式(4)的基礎上有

dsdλ=1r(erL-1)＞0，如果r＞σ;

1r(eL-1)＞0，如果0＜r≤σ.

dsdL=λerL＞0，如果r＞σ;

1rλeL＞0，如果0＜r≤σ.

dsdr=λerL(rL-1)+1r2＞0，如果r＞σ;

-1r2λ(eL-1)＜0，如果0＜r≤σ.

由上面的結果有:

結論1

(ⅰ)隨著經濟代理人損失數的期望的增加，最大保險費用增加；

(ⅱ)隨著經濟代理人損失數的增加，最大保險費用增加；

(ⅲ)若r＞σ，則隨著經濟代理人風險厭惡系數的增加，最大保險費用也增加；若0＜r≤σ，則隨著經濟代理人風險厭惡系數的增加，最大保險費用減少.

3 最優防損活動

設一個壟斷的承保人提供完全的保險總額的保險給經濟代理人，代理人有固定絕對的風險厭惡，損失數服從泊松分布.這些條件下，在一個保險單周期內，若經濟代理人將投資資金在防損活動中，設防損支出為y，自然可以假設:在一個周期中，當經濟代理人的防損經費增加時，損失數的期望將以漸近的速度減少，即

ddyλ(y)＜0， d2dy2λ(y)＞0.

此時對一個從事于防損的經濟代理人的最大保險費s1，可由下式得到

-e-rA+ry+rs1

=∑+∞i=0(-e-rA+ry+riL)λi(y)e-λ(y)i!，

如果r＞σ;

1r(1-e-rA+ry+rs1)

=∑+∞i=0［1r(1--e-rA+ry+riL)］λi(y)e-λ(y)i!

，

如果0＜r≤σ.(5)

利用式（4）和式（5）有

s1(y)=1rλ(y)(erL-1).(6)

在這種情形下，效用最大化的代理人將試圖使s1(y)與y之和最小化.設c(y)=y+s1(y)，并稱c(y)為風險費用.風險費用最小化與效用最大化問題是等價的，因此只需考慮

min{c(y)}=min{y+s1(y)}.(7)

對c(y)求導，并令dc(y)dy=0，有

dc(y)dy=1rr+(erL-1)dλ(y)dy=0.(8)

由式（7）和式（8）式可得

d2c(y)dy2=1r(erL-1)d2λ(y)dy2＞0.(9)

式（8）和式（9）保證了使得c(y)最小的y的存在，即有結論:

結論2 經濟代理人的最優防損支出是存在的。4 最優防損活動的比較靜態分析

由式（8）可得最優的防損支出y*滿足

dλ(y)dyy=y*=r1-erL＜0.(10)

下面，對最優解進行比較靜態分析.

對上面得到的最優防損活動，通過計算有

rdλ(y)dy|y=y*=1+erL(rL-1)(1-erL)2＞0，(11)

Ldλ(y)dy|y=y*=r2erL(1-erL)2＞0，

(12)

式（11）說明風險厭惡越大的代理人花費在防損活動中的費用也越多；式（12）意味著隨著損失數量的增加，經濟代理人的防損經費增加.

假設λ1(y)和λ2(y)分別表示經濟代理人的防損工具I和防損工具II損失數的期望， 注意到dλ(y)dy＜0，即隨著防損經費的增加，經濟代理人的復合損失數的期望減少，

因此，當一個理性的經濟代理人可以在不同防損工具間進行選擇時，必然會選擇復合損失數的期望減少得最快的，

即若dλ1(y)dy＜dλ2(y)dy，經濟代理人將選擇防損工具I. 從而有更一般的結論：

結論3 若經濟代理人采用兩種不同的防損工具，設λ1(y)和λ2(y)分別表示防損工具I和防損工具II損失數的期望，如果對任何防損經費y＞0有|dλ1(y)dy|＞|dλ2(y)dy|，則防損工具I比防損工具II是更有效率的.

5 結 語

本文根據經濟代理人對風險的厭惡程度高低將影響收益效用的事實，通過采用分段的風險厭惡效用函數，對經濟代理人具有風險厭惡，復合損失數服從泊松分布、經濟代理人通過購買保險規避風險、且保險市場被壟斷的承保人控制的經濟代理人的最優防損活動進行了討論.文中得到結論：風險厭惡系數、損失的大小以及防損效率均影響最優防損水平.

風險厭惡的大小對代理人花費在防損活動中的費用影響是不同的，如：當風險厭惡系數在0＜γ≤σ時，風險厭惡越大的代理人花費在防損活動中的費用也越多；而當風險厭惡系數在γ＞σ時，則風險厭惡大的代理人花費在防損活動中的費用反而少.隨著損失數量的增加，防損經費也將增加.如果一個經濟代理人采用不同的防損工具，那么防損支出邊際期望值的絕對值最大的防損工具是最有效率的.

由于當σ充分大(σ+∞)時，（2）中的函數可視為文獻［4］中的收益效用函數，因此本文的結論包含了文獻［4］中的結果.從前面的論證過程可以看到：本文的討論對于效用函數

U(w)=1r(1-e-rw)，如果r＞σ;

-e-rw，如果0＜r≤σ，(13)

也是完全適用的.注意到分段函數(2)和式(13)關于風險厭惡系數r在閾值σ處是不連續的，事實上，對于一些在閾值σ處關于風險厭惡系數r連續的效用函數，我們可以類似地進行討論，如取

U(w)=-e-rw+1+(σ-1)e-σwσ，如果r＞σ;

1r(1-e-rw)，如果0＜r≤σ，

另外，類似于本文的方法，也可考慮將風險厭惡系數r的取值區間進行更多的分段，使每個區間段對應不同的收益效用函數.

參考文獻

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