基于雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程的公司債券定價(jià)

摘 要 研究基于公司資產(chǎn)價(jià)值服從雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程，公司負(fù)債服從連續(xù)擴(kuò)散過程的公司債券定價(jià)問題.首先用計(jì)價(jià)單位方法給出簡(jiǎn)單情況下以零息票債券為基礎(chǔ)的公司債券定價(jià)問題的解析解；其次給出一般情況下公司債券定價(jià)問題的違約概率，并討論信用價(jià)差的期限結(jié)構(gòu).實(shí)證分析表明該模型能較好地?cái)M合實(shí)際情況.

關(guān)鍵詞 信用價(jià)差；債券定價(jià)；違約概率；跳擴(kuò)散過程

中圖分類號(hào) F830.91;O211.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Pricing Corporate Bonds Based on a Double Exponential Jump-diffusion Process

LIU Wei-jing， ZHOU Sheng-wu， SHI Guang-ping， NIU Cheng-hu

(College of Science，China University of Mining and Technology， Xuzhou，Jiangshu 221116，China)

Abstract The pricing problem of corporate bonds was studiedwhen the dynamics of the asset value are given by a double exponential jump-diffusion process and the firm’s liabilities follow a stochastic diffusion process. A closed-form solution to a simplified model was obtained by changing of numeraire. For the general model， the default probability of the bonds was obtained， and the term structure of the credit spreads was discussed. Finally， the truth is well fitted by our model using the numerical examples.

Key words credit spreads; bond pricing; default probability; jump-diffusion process

1 引 言

公司債券作為一種可違約風(fēng)險(xiǎn)債券，是承擔(dān)公司信用風(fēng)險(xiǎn)的經(jīng)典金融工具.目前關(guān)于公司債券定價(jià)主要有兩種基本方法：1) 結(jié)構(gòu)方法，2) 約化方法.結(jié)構(gòu)方法使用公司的結(jié)構(gòu)化變量來確定違約時(shí)間.Merton［1］首次提出結(jié)構(gòu)方法，認(rèn)為在債券到期日，只要公司資不抵債，就發(fā)生違約. Longstaff和Schwartz［2］等對(duì)Merton模型關(guān)于違約事件的定義進(jìn)行改進(jìn)，建立首次逸出時(shí)間模型.由于以上結(jié)構(gòu)模型均假設(shè)資產(chǎn)價(jià)值服從連續(xù)擴(kuò)散過程，因此得到的債券信用價(jià)差的理論結(jié)果比實(shí)際市場(chǎng)情況偏小.Zhou［3-4］等將復(fù)合泊松過程引入到資產(chǎn)價(jià)值過程中，彌補(bǔ)以前結(jié)構(gòu)方法的缺陷，構(gòu)造出符合現(xiàn)實(shí)的各種形狀的價(jià)差曲線.與結(jié)構(gòu)方法不同，約化方法將違約看成由公司的外生變量決定.本文研究公司資產(chǎn)價(jià)值服從雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程的公司債券定價(jià)問題，對(duì)Zhou所改進(jìn)的結(jié)構(gòu)方法進(jìn)行擴(kuò)展，假設(shè)負(fù)債服從連續(xù)擴(kuò)散方程，在定價(jià)過程中引入公司資產(chǎn)價(jià)值與負(fù)債的相關(guān)風(fēng)險(xiǎn).本文利用雙指數(shù)分布是由于其具有尖峰厚尾的特征，考慮當(dāng)一個(gè)公司的違約概率雖然很小，但其違約的金額卻非常大的情況，這種厚尾現(xiàn)象是正態(tài)分布不能刻畫的.因而，利用雙指數(shù)分布定價(jià)債券具有一定的研究?jī)r(jià)值.

2 模 型

設(shè)WV(t)和WD(t)均為風(fēng)險(xiǎn)中性概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，其相關(guān)系數(shù)為ρ，即＜dWV(t)，dWD(t)＞=ρdt.設(shè)Vt表示公司資產(chǎn)價(jià)值，Dt為公司負(fù)債，它們分別滿足隨機(jī)微分方程

dVt/Vt－=(r－λκ)dt+σVdWV(t)+(π－1)dN(t)，(1)

dDt/Dt=rdt+σDdWD(t)，(2)

其中r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，σV，σD分別為公司資產(chǎn)價(jià)值和負(fù)債的波動(dòng)率，(π－1)為隨機(jī)跳幅，κ=E(π－1)，N(t)是一個(gè)強(qiáng)度為λ的泊松過程，且P(dN(t)=1)=λdt.假設(shè)WV(t)，π，N(t)相互獨(dú)立，且WD(t)，π，N(t)也相互獨(dú)立.令γ=ln π，設(shè)γ服從雙指數(shù)分布［5］，即其概率密度為

fγ(y)=p#8226;η1e－η1yI{y≥0}+q#8226;η2eη2yI{y＜0}，

其中η1＞1，η2＞0，p≥0，q≥0，p+q=1，I為示性函數(shù).容易計(jì)算資產(chǎn)價(jià)值跳躍幅度的均值為

κ=E(π－1)=pη1η1－1+qη2η2+1－1.

3 定 價(jià)

3.1 基本假設(shè)

現(xiàn)在對(duì)金融市場(chǎng)作假設(shè)：

(H1)：只有當(dāng)Xt=Vt/Dt＞1時(shí)，公司才能履行債務(wù)合約；而當(dāng)Xt=Vt/Dt≤1時(shí)，公司將發(fā)生違約.

應(yīng)用I(xiàn)t公式，由式(1)~(2)可得，Xt滿足以下隨機(jī)微分方程

dXt/Xt－=(σ2D－ρσVσD－λκ)dt+

σdW(t)+(π－1)dN(t)，(3)

其中σdW(t)=σVdWV(t)－σDdWD(t)，σ=σ2V－2ρσVσD+σ2D.由此可得Yt=ln (Xt/X0)滿足跳擴(kuò)散過程:

Yt=(σ2D－ρσVσD－λκ－12σ2)t+

σW(t)+∑N(t)i=1γi.(4)

(H2)：若公司在債券到期日T之前發(fā)生違約，則債券的持有者在債券到期日T時(shí)將得到(1－ω(Xτ))倍的面值.其中τ為資產(chǎn)價(jià)值Vt首次達(dá)到或小于負(fù)債Dt的時(shí)間.ω(X)為公司發(fā)生違約時(shí)，債券持有人的損失率；(1－ω(X))即為債券的回收率.ω(X)為關(guān)于X的非增函數(shù)，本文假設(shè)ω(X)=ω0－ω1X，其中ω0和ω1為非負(fù)常數(shù).

(H3)：假定無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù).

經(jīng) 濟(jì) 數(shù) 學(xué)第 28卷第1期柳衛(wèi)靜等：基于雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程的公司債券定價(jià)

3.2 債券只在到期日T時(shí)可能發(fā)生違約的情形

在這一節(jié)考慮一種簡(jiǎn)單情況：公司只在債券到期日T時(shí)可能發(fā)生違約的情況.若在T時(shí)XT=VT/DT≥1，則公司不會(huì)違約，債券持有人將得到面值1；若在T時(shí)XT=VT/DT＜1，則公司發(fā)生違約，債券持有人收到面值的(1－ω(XT))倍.由此可知，在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度P下，到期日為T的零息票債券在0時(shí)的價(jià)值可表示為

B(X，T)=E［e－rTI{XT≥1}+e－rT(1－

ω(XT))I{XT＜1}］=e－rT－e－rTE［ω(XT)I{XT＜1}］

=e－rT－ω0e－rTP(XT＜1)+ω1e－rTE［XTI{XT＜1}］.

從上式可知，要想得到債券價(jià)格的解析解，只需分別算出P(XT＜1)和E［XTI{XT＜1}］.Kou［5］利用雙指數(shù)的無記憶性和Hhn函數(shù)推出概率

P(ZT≥a)=Υ(μ，σ，λ，p，η1，η2;a，T)，

其中ZT=μT+σW(T)+∑N(T)i=1γi，

Υ(μ，σ，λ，p，η1，η2;a，T)=e(ση1)2T/22πTσ∑

n=1(λT)ne－λTn!

∑nk=1(σTη1)KPn，kIk－1

(a－μT;－η1，－1σT，σTη1)+

e(ση2)2T/22πTσ∑

n=1(λT)ne－λTn!∑nk=1(σTη2)KQn，kIk－1(a－

μT;－η2，－1σT，σTη2)+e－λTN(－a－μTσT).

這里

Pn，k=∑n－1i=kCi－kn－k－1C in(η1η1+η2)i－k(η2η1+η2)n－ipiqn－i，

1≤k≤n－1;Qn，k=∑n－1i=kCi－kn－k－1Cin(η1η1+η2)n－i(η2η1+η2)i－kpn－iqi，

1≤k≤n－1;

Pn，n=pn; Qn，n=qn; In(a1;a2，a3，a4)

=∫

a1ea2xHhn(a3x－a4)dx，n≥0.

P(XT＜1)=P(YT＜－ln X0)=1－P(YT≥－ln X0) =1－Υ(σ2D－ρσVσD－λκ－12σ2，σ，

λ，p，η1，η2;－ln X0，T).

現(xiàn)在計(jì)算E［XTI{XT＜1}］，由文獻(xiàn)［6］可知，可以將Xt看成虛擬資產(chǎn)，記r=σ2D－ρσVσD，以Xt為計(jì)價(jià)單位構(gòu)造一個(gè)新的概率測(cè)度

ddP=e－rtXtX0=e－rteYt

=exp {(－12σ2－λκ)t+σW(t)+∑N(t)i=1γi}.

由跳過程的Gisanov定理可知，(t)為對(duì)應(yīng)于新測(cè)度下的Brown運(yùn)動(dòng)，且(t)=W(t)－σt.因而，

Yt=(σ2D－ρσVσD－λκ－12σ2)t+

σW(t)+∑N(t)i=1γi=(σ2D－ρσVσD－λκ+

12σ2)t+σ(t)+∑N(t)i=1γi.

在概率測(cè)度下，跳躍強(qiáng)度=λE(π)=λ(1+κ)，對(duì)數(shù)跳幅的密度函數(shù)為

eyE(π)fγ(y)=eyE(π){p#8226;η1e－η1yI{y≥0}+

q#8226;η2eη2yI{y＜0}}=1E(π)p#8226;η1e－(η1－1)yI{y≥0}+

1E(π)q#8226;η2e(η2+1)yI{y＜0}

=1E(π)η1η1－1p#8226;(η1－1)e－(η1－1)yI{y≥0}+

1E(π)η2η2+1q#8226;(η2+1)e(η2+1)yI{y＜0}.

對(duì)應(yīng)于雙指數(shù)的密度函數(shù)的每一項(xiàng)可知，以上的密度函數(shù)為一個(gè)新的雙指數(shù)函數(shù)，其中1=η1－1，2=η2+1，

=1E(π)#8226;η1η1－1p=p1+κ#8226;η1η1－1，

=1E(π)#8226;η2η2+1q=q1+κ#8226;η2η2+1.

因而有

E［XTI{XT＜1}］=X0erTE［XTX0e－rTI{XT＜1}］

=X0erT(XT＜1)=X0erT(YT＜－ln X0)

=X0erT［1－(YT≥－ln X0)］=X0erT［1－Υ(σ2D－

ρσVσD－λκ+12σ2，σ，，，1，2;－ln X0，T)］.

3.3 債券在到期日T時(shí)或之前可能發(fā)生違約的模型

這節(jié)考慮一般情況下的債券定價(jià).由3.1節(jié)中的假設(shè)可知，公司違約時(shí)間為

τ=inf {t|Xt=Vt/Dt≤1，t≥0}.

考慮面值為1的零息票債券，則債券在0時(shí)的價(jià)格可表示為

B(X，T)=E［e－rTI{τ＞T}+e－rT(1－

ω(Xτ))I{τ≤T}］=e－rT－e－rTE［ω(Xτ)I{τ≤T}］.(5)

3.3.1 違約概率的計(jì)算

由違約時(shí)間τ可知，債券的違約概率為

P(τ≤t)=P(inf 0≤s≤tXS≤1)

=P(inf 0≤s≤tYS≤－ln X0).

此違約概率即為涉及跳的首次逸出時(shí)間分布，而其顯式解一般是不可能得到的，但kou［7］利用雙指數(shù)的無記憶性，推出關(guān)于雙指數(shù)跳的首次逸出時(shí)間分布的拉普拉斯變換的顯式解.因此，在本文的模型下，公司債券的違約概率可以得到.下面先求P(τ≤t)的拉普拉斯變換

∫

0e－atP(τ≤t)dt=1a∫

0e－atdP(τ≤t)

=1aE(e－aτ).

根據(jù)kou［7］的結(jié)論，可以推導(dǎo)出

E(e－aτ)=η2－β3，aη2β4，aβ4，a－β3，ae－ln X0β3，a +

β4，a－η2η2#8226;β3，aβ4，a－β3，ae－ln X0β4，a，

其中a＞0，－β3，a和－β4，a分別是方程

G(x)=x(σ2D－ρσVσD－λκ－12σ2) +

12x2σ2+λ(pη1η1－x+qη2η2+x－1)=a

的兩個(gè)負(fù)根，而函數(shù)G(#8226;)被定義為Yt的矩母函數(shù)E［eθYt］=exp{G(θ)t}.在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可用Gaver-Stehfest這個(gè)反拉普拉斯算法得到上述違約概率的數(shù)值解.具體實(shí)施方法可參見kou［7，8］和Hu and Ye［9］.

3.3.2 數(shù)值分析

由于式(5)中涉及跳的停時(shí)分布，所以不能得到其解析解.但可以用MonteCarlo方法模擬出債券和信用價(jià)差的數(shù)值解.在用MonteCarlo方法進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)將時(shí)間區(qū)間劃分100段，總共模擬10 000次.各基本參數(shù)取值為

η1=50，η2=33，p=0.4，λ=0.05，ω0=1.4，

ω1=1，σ2V=0.04，σ2D=0.16，ρ=0.5，X0=2.

下面的數(shù)值模擬分析資產(chǎn)價(jià)值波動(dòng)率、負(fù)債波動(dòng)率、資產(chǎn)價(jià)值與負(fù)債的相關(guān)度以及不同的X0對(duì)信用價(jià)差的影響.方法是：保持其他參數(shù)不數(shù)不變，改變某一變量，得到信用價(jià)差關(guān)于到期日T的圖像.從圖1~圖4可觀察到，信用價(jià)差呈現(xiàn)出一定的期限結(jié)構(gòu)，其曲線主要呈駝峰型的突狀.結(jié)論與市場(chǎng)數(shù)據(jù)的結(jié)果相符合.

圖1 不同資產(chǎn)價(jià)值波動(dòng)率σ2V下的價(jià)差

圖2 不同負(fù)債波動(dòng)率σ2D下的價(jià)差

圖3 不同相關(guān)度ρ下的價(jià)差

圖1表明資產(chǎn)價(jià)值波動(dòng)率越大，則價(jià)差越大，債券價(jià)格越小.波動(dòng)率越大意味公司運(yùn)營(yíng)情況不穩(wěn)定，債券的風(fēng)險(xiǎn)越大，所以價(jià)差越大.這也是圖2顯示負(fù)債波動(dòng)率與價(jià)差呈正相關(guān)的原因.圖3顯示資產(chǎn)價(jià)值與負(fù)債的相關(guān)系數(shù)ρ越大，則價(jià)差越小.隨著相關(guān)度的增加，資產(chǎn)值與負(fù)債走向趨于一致，因而價(jià)差變小.圖4表明資產(chǎn)價(jià)值與負(fù)債的比率X0越大，則價(jià)差越小.X0變大，表明公司資產(chǎn)值大于公司負(fù)債，公司違約的可能性變小，因而X0越大，則價(jià)差越小.

圖4 不同資產(chǎn)價(jià)值與負(fù)債比率X0下的價(jià)差

4 結(jié) 論

對(duì)簡(jiǎn)單情況下的公司債券定價(jià)問題，用計(jì)價(jià)單位方法給出解析解，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論一般情況下的債券定價(jià)問題.違約概率和信用價(jià)差是債券的兩個(gè)最重要的定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，在本文改進(jìn)的模型下，這兩者都得到解決.實(shí)證分析表明此模型所得到的價(jià)差曲線走向與實(shí)際情況相吻合， 且負(fù)債波動(dòng)率、資產(chǎn)價(jià)值與負(fù)債的相關(guān)系數(shù)等對(duì)債券的價(jià)值有顯著影響.本文的模型可進(jìn)一步推廣到以債券為標(biāo)底資產(chǎn)的各種衍生產(chǎn)品的定價(jià)研究中.

參考文獻(xiàn)

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文