三次函數圖象切線問題的探究

三次函數是在學習導數時候開始重點接觸的一類函數，他的性質很多，也是我們用導數研究函數性質經常遇到的一類函數，對于用這種函數為例分析問題和解決問題學生是很好接受的，對于曲線的切線問題，考查了導數的幾何意義，用三次函數的切線性質來引導學生解決復雜曲線問題可以作為這部分教學的切入，高考中三次函數的切線問題也頻頻出現，下面三次函數切線問題做如下探究。

一、當直線斜率為時的相切情況

三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）

1.a＞0，斜率k= 時，有且只有一條切線；

k＞時，有兩條不同的切線；

k＜ 時，沒有切線；

2.a＜0，斜率k= 時，有且只有一條切線；

k＜時，有兩條不同的切線；

k＞ 時，沒有切線；

證明f'（x）3ax2+2bx+c

1.a＞0當

當k= 時，方程3ax2+2bx+c= 有兩個相同解，

所以斜率為k的切線有且只有一條；其方程為：

當k＞ 時，方程3ax2+2bx+c=k，有兩個不同的解x1，x2，且x1+x2=-，即存在兩個不同的切點（x1，f(x1)），（x2，f（x2）），且兩個切點關于三次函數圖象對稱中心對稱。所以斜率為k的切線有兩條。

當k＜ 時，方程3ax2+2bx+c=k無實根，所以斜率為k的切線不存在。

2.a＜0時，讀者自己證明。

二、過三次函數圖象上一點的切線

設點P為三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）圖象上任一點，則過點P一定有直線與y=f（x）的圖象相切。若點P為三次函數圖象的對稱中心，則過點P有且只有一條切線；若點P不是三次函數圖象的對稱中心，則過點P有兩條不同的切線。

證明 設p（x1，y1）過點P的切線可以分為兩類。

1 P為切點k1=f'（x1）=3ax12+2bx1+c

切線方程為：y-y1=（3ax12+2bx1+c）（x-x1）

2 P不是切點，過P點作y=f（x）圖象的切線，切于另一點Q（x2，y2）

∴，也就是說，

∴當 時，兩切線重合，所以過點P有且只有一條切線。

當時，k1≠k2，所以過點P有兩條不同的切線。

其切線方程為：

由上可得下面結論：

過三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）上異于對稱中心的任一點p1（x1，y1）作y=f（x）圖象的切線，切于另一點p2（x2，y2），過p2（x2，y2）作y=f（x）圖象的切線切于p3（x3，y3），如此繼續，得到點列p4（x4，y4）——pn（xn，yn）——，則，

且當 時，點趨近三次函數圖象的對稱中心。

證明設過pn（xn，yn）與y=f（x）圖象切于點pn+1（xn+1，yn+1）的切線為pnpn+1，

三、過三次函數圖象外一點的切線

略

（作者單位：河北省石家莊市平安北大街1號石家莊市第一中學）