數學高考復習過程中的矛盾及探討

隨著新課程的逐步深入，新理念、新教材、新評價強烈地沖擊著數學教育工作者，并點燃了他們的激情，激活了他們的思維，開闊了他們的眼界，也迎來了中學數學教育研究的新局面．在課改的實踐中，新理念的實踐提出了更多的新課題，期盼著通過科學研究、理性的思考來作出回答．本文是筆者在高中新課程的實踐中，對高三數學復習備考過程中遇到的一些矛盾問題進行一些探討．

一、“新課程知識面寬”與“高考考查面窄”的矛盾

高中數學新課程分為必修和選修兩大部分．在必修系列中，數學內容覆蓋了高中階段傳統的數學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數、數列、不等式、解三角形、立體幾何、平面解析幾何初步等，還增加了向量、算法、概率、統計等內容．

選修系列1和系列2分別是指定的文科系列和理科系列，內容包括常用邏輯用語、統計案例、數系擴充與復數、導數及其應用、圓錐曲線與方程、推理與證明；系列2還安排了空間中的向量與立體幾何、計數原理、離散型隨機變量及其分布等內容．選修系列4包括幾何證明選講、矩陣與變換、數列與差分、坐標系與參數方程、不等式選講、初等數論初步、優選法與試驗設計初步、統籌法與圖論初步、風險與決策、開關電路與布爾代數等10個專題．

從《普通高中數學課程標準（實驗）》的內容安排可以看出，高中數學新課程中的必修系列和指定選修的系列1或系列2的知識內容范圍遠遠超過了舊課程的知識內容范圍，高中新課程的知識內容實際上是“自己未動、兼收兩頭”——在不減少舊課程內容的基礎上還吸收了初中刪減的部分知識和大學“下放”的現代數學知識．由此可見，新課程的內容設計的目的是“要求在知識上面面俱到”．在舊課程下的高考知識點共126個，每年高考命題的知識點覆蓋率大約80%左右．在新課程下，由于高中數學的知識點大量增加，但高考的題型和試題容量沒有發生改變，而且由于高等教育向“大眾化”方向迅猛發展，參加高考的考生人數逐年攀升，高考試題的綜合程度也有降低趨勢的要求．因此，新課程中大量的可考查知識點與高考有限的題量存在巨大的反差．

選修系列4如何在高中教學中實施都已經面臨著諸多的現實困難，要將其拉入高考范圍實行考查更是困難重重．如廣東考試中心規定理科考生必須在選修4-1、選修4-4、選修4-5三個專題中任選2個專題作答，每個專題在高考中各只考查1道填空題．也就說學生為了應付一道填空題的考查而要學習一個專題，以如此蜻蜓點水的方式去象征性地表示選修系列4在高中教學中得到了實施，這也足以說明新課程設計有脫離教育現實之嫌，同時也直接加劇了“新課程知識面寬”與“高考考查面窄”的現實矛盾．

二、“新課程淺知識點”與“高考考點深考查”的矛盾

《普通高中數學課程標準（實驗）》明文指出：在保證打好基礎的同時，進一步強調了這些知識的發生、發展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求．由此可以看出，新課程的內容要求是“在知識上面面俱到，在能力上有所降低”．下表是舊課程內容的課時數與新課程對應內容的課時數的比較情況：

比較上表中的10個章節：除數列、平面向量的課時數相同，函數的課時數略有增加外，其它章節的課時數一律是減少．函數的課時數略有增加的原因是舊課程中刪除的知識點，如冪函數、指數方程和指數不等式、對數方程和對數不等式等知識又重新納入了函數的范圍，因此課時數略有增加．剩下的7章節共減少了44課時（按新課程要求就是11周的課程時間，相當于一個學期的時間），這一學期的時間主要是用于新增加的知識點的教學．這也足以說明新課程所設計的知識點的范圍遠遠超過了舊課程的范圍．新課程在內容上要求“知識點面面俱到，能力上有所降低”，但實際上從2007年開始的新課程高考，高考試題在能力上的要求卻并沒有降低．如2007年廣東高考理科數學第20題：

已知a是實數，函數f（x）=2ax2+2x-3-a． 如果函數y= f（x）在區間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍．

乍一看，本題是考查一元二次函數的零點問題．按照常規思路考慮應該考慮二次函數f（x）：而二次函數f（x）的二次項系數2a沒有明確正負、其對稱軸x=-也是變動的，唯獨只有定義域是固定的．因此必須在確定二次函數開口方向的情況下，再根據對稱軸來討論函數的零點問題．但此法相當繁瑣復雜，其難度遠遠超出了課程標準的要求．

解答本題的常用方法二：因為方程2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有根，即可得到a=．于是，本題就轉化為求函數g（x）=在[-1，-）∪（-，）∪（，1]上的值域．在必修1中，求函數的值域的問題僅限于一元一次、一元二次函數等基本問題． 而求函數g（x）=的值域超越了新課程必修內容的要求；若采用選修2-2中“導數及其應用”知識求解，分式形式的復合函數求導足以讓許多考生望題興嘆！

如2008年廣東高考理科數學第21題：設p，q為實數，α，β是方程x2-px+q=0的兩個實根，數列{xn}滿足x1=p，x2=p2-q，xn=pxn-1-qxn-2（n=3，4…）．（1）證明：α+β=p，αβ=q；（2）求數列{xn}的通項公式；（3）若p=1，q=，求{xn}的前n項和Sn．

第二問是本題考查的重點：求數列{xn}的通項公式．而題目條件xn=pxn-1-qxn-2顯然是數列{xn}的遞推公式．在必修5“數列”整個章節中沒有出現“遞推公式”等相關內容，用遞推公式求通項是對數列知識“深挖洞、廣積糧”的結果．

又如2009年廣東高考理科數學第21題：已知曲線Cn：x2-2nx+y2=0． 從點P（-1，0）向曲線Cn引斜率為kn（kn>0）的切線ln，切點為Pn（xn，yn）．（１）求數列{xn}與{yn}的通項公式；（２）證明：x1#8226;x3#8226;x5…x2n-1<

第二問是本題設置的難點，重點考查不等式的證明方法．從舊課程內容的課時數與新課程對應內容的課時數的比較表可以看出，“不等式”從舊課程原來的22課時減少到16課時，不等式證明僅僅在新課程的選修4-5中有所提及．要證明x1#8226;x3#8226;x5…x2n-1<，即證明：#8226;#8226;…<，這需要利用放縮法或數學歸納法進行證明；要證明

本題第二問的不等式證明，其證明內容與方法與1998年全國高考理科第25題完全雷同．

題目：已知數列{bn}是等差數列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（Ⅰ）求數列{bn}的通項bn，（Ⅱ）設數列{an}的通項（其中a>0，且a≠1），記Sn是數列{an}的前n項的和．試比較Sn與的大小，并證明你的結論．

本題第（Ⅱ）問要比較Sn與的大小，實際上就是比較#8226;#8226;…<的大小，這與2009年要證明的不等式#8226;#8226;…<并無二致．但2009年廣東高考理科數學第21題的綜合程度卻遠遠高于1998年全國高考理科第25題．

從三年的新課程高考試題以及2009年的壓軸題與1998年的壓軸題的比較可以看出，新課程下的數學高考試題對能力的考查并沒有隨新課程的要求而“控制難度和復雜程度”．可見，“新課程淺知識點”與“高考考點深考查”的矛盾自2007年第一次實行新課程高考以來就一直困擾著高中數學教學．

三、“新課程的三維目標”與“高考考查單一形式”的矛盾

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出，新課程的三維目標概括來說就是知識與技能，過程與方法，情感、態度與價值觀．為了實現“過程與方法，情感、態度與價值觀”的目標，新課程特別要求通過不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程．在不同形式的活動中培養學生提出問題、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力，數學表達和交流的能力，發展獨立獲取數學知識的能力．為此，高中數學課程還特別提出了實現“過程與方法，情感、態度和價值觀”的目標的兩種方法：數學探究、數學建模．高中數學課程要求把數學探究、數學建模的思想以不同的形式滲透在各模塊和專題內容之中，并在高中階段至少安排較為完整的一次數學探究、一次數學建模活動．

數學探究、數學建模是高中數學課程中引入的新的學習方式．數學探究即數學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程．這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明．數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程．

但迄今為止，我國的高考形式仍然主要是書面形式．“知識與技能”的掌握程度通過書面形式的考查基本可以實現，但“過程與方法，情感、態度與價值觀”如何通過書面形式來展現呢？至今仍是一個沒有完美解決的課題．

查閱三年的新課程下的高考試題，具有探究性質的試題少之又少．僅有2007年高考中有兩道帶有探究性質的試題．如果說這兩道試題是數學探究的考查嘗試，那么數學建模又如何在高考試卷中考查呢？面對新課程的三維目標：知識與技能，過程與方法，情感、態度與價值觀，高考單一的書面形式已經無法承擔檢測高考考生的重任，無法實現對新課程的三維目標進行全面考查．數學建模的過程和方法要在規定的時間內無法通過筆和紙張來表達；火熱的情感、端正的態度和正確的價值觀也無法通過冰冷的紙面來描述！

新課程的內容體現了時代性、基礎性、選擇性、多樣性的基本理念，使不同的學生有機會學習不同的數學，在數學上獲得不同的發展．新課程內容在“知識點上面面俱到”使高考的難點內容的不確定性正在加大，這些新課程多知識點，高考試題難度大，高考考查的不確定因素增加等原因都需要師生付出大量的時間和心血．直到今天，書面高考仍是新課程效果檢測的主要形式，書面高考限時限量、命題形式單一等特點均與新課程內容“地大物博”之間天然存在著不可調和的矛盾．

誠然，任何改革都不是一蹴而就的．新課程改革已經揚帆啟航，我們應該在吸收多年的教育教學改革經驗、借鑒外國課改的成功經驗的基礎上重新審視課程改革的各項指標，權衡利弊，綜合考慮，從課程的設置、內容的安排，直至教育教學效果的評估等問題都進行科學研究和論證，有計劃地、有目的地完善數學教育課程．

責任編輯羅峰