如何進(jìn)行數(shù)學(xué)命題的教學(xué)

中學(xué)數(shù)學(xué)是由概念、公理、定理、公式等組成的嚴(yán)密邏輯體系，命題（公理、定理、公式）是概念與概念的聯(lián)合。顯然，如果不能切實(shí)掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的命題，就不能學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)。因此，加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)命題的教學(xué)，歷來是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的任務(wù)。中學(xué)數(shù)學(xué)命題教學(xué)的基本要求是：使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)命題的意義，明確其推導(dǎo)過程與適用范圍，并且具備靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)命題解決問題的能力。

一、數(shù)學(xué)公理的教學(xué)

由于數(shù)學(xué)借助形式邏輯來建立知識體系，每一個真實(shí)命題都是由已知的真命題推導(dǎo)出來的。這樣以此向上追溯，總有一些真命題不能依靠其他數(shù)學(xué)真命題來推導(dǎo)，這些命題就稱為公理或公設(shè)。所謂公理，是指那些普遍性的，任何數(shù)學(xué)學(xué)科都需要的原理；而公設(shè)專指幾何中使用的那些原理。公理與公設(shè)有時也統(tǒng)稱為公理。

數(shù)學(xué)這種公理化研究方法，最早起源于古希臘，公元前3世紀(jì)歐幾里得的《幾何原本》是其標(biāo)志。到了公元19世紀(jì)，由于非歐幾里得幾何的出現(xiàn)，促進(jìn)了公理化方法的日趨完善。對于所選的公理系統(tǒng)，要求具備了“三性”。一是無矛盾性：要求從公理系統(tǒng)出發(fā)，無論推證到多遠(yuǎn)，決不能出現(xiàn)互相矛盾的結(jié)論。二是獨(dú)立性：要求公理系統(tǒng)中的任何一條公理，都不能借助其他公理用邏輯方法推證出來。三是完備性：要求在公理系統(tǒng)的使用中，不需要再增加任何的新的公理。

在以上“三性”中，以無矛盾性最為基本。然而對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，考慮到學(xué)生的接受能力，教學(xué)內(nèi)容與時間的限制，并不要求如此嚴(yán)格，擴(kuò)大公理的范圍，同時對獨(dú)立性與完備性也不作過高要求。例如，平面幾何中線段的中點(diǎn)和角平分線的唯一性，三角形全等的判定定理等都作公提處理，這是根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況而安排的。

在教學(xué)公理時，應(yīng)注意從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)他們自己抽象出有關(guān)公理的內(nèi)容。同時公理受客觀的檢驗(yàn)，應(yīng)引導(dǎo)他們用具體實(shí)例加以驗(yàn)證，并且在證明數(shù)學(xué)命題或解決實(shí)際問題時逐步學(xué)會運(yùn)用公理。

二、數(shù)學(xué)定理的教學(xué)

首先，應(yīng)明確證明的思想。數(shù)學(xué)具有邏輯嚴(yán)密性的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)中的結(jié)論常以邏輯推理作保證，要求言必有據(jù)。然而中學(xué)生認(rèn)識不到證明的重要性，更不會進(jìn)行具體的證明。在教學(xué)中，應(yīng)重視證明思想的培養(yǎng)，進(jìn)一步掌握證明的書寫格式。只有通過嚴(yán)格的訓(xùn)練，養(yǎng)成證明的習(xí)慣，才能為學(xué)好數(shù)學(xué)定理打好基礎(chǔ)。在做好以上工作的同時，在具體的方法上，還應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

1.分清定理的條件與結(jié)論，掌握定理的內(nèi)容和表達(dá)形式

命題引出后，要引導(dǎo)學(xué)生切實(shí)分清命題的條件和結(jié)論，能將文字?jǐn)⑹龈膶懗捎脭?shù)學(xué)符號表示的式子，依照題意作出圖形。同時要全面準(zhǔn)確掌握定理的內(nèi)容和表達(dá)形式，能用文字語言和數(shù)學(xué)語言分別進(jìn)行敘述，但不要隨便簡化。例如，將“勾股定理”簡述為“勾三股四弦五”、a2+b2=c2、AB2+AC2=BC2、勾2+股2=弦2都是不妥的。

2.分析定理證明的思路，掌握定理證明的方法

定理的證明方法往往具有示范性、典型性，學(xué)會定理的證明方法對提高證明能力關(guān)系很大，而作為證明方法，關(guān)鍵在于思路。

在初學(xué)證明定理時，對推理的每一步都要寫出依據(jù)，隨著熟練程度的提高而逐步簡略。通常對初學(xué)的一些命題采用綜合法書寫過程，以后隨著命題內(nèi)容的加深逐步采用分析法，也可以同時采用分析、綜合相結(jié)合的方法尋求證明途徑。此外，還要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握證明定理的常用方法，如反證法、同一法、變更問題法、拼補(bǔ)法、幾何變換法等等。

3.了解定理與其他知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使知識系統(tǒng)化

在教學(xué)中，要教會學(xué)生將已學(xué)習(xí)的定理、公式系統(tǒng)化，可按其邏輯關(guān)系進(jìn)行縱向整理，也可以按其應(yīng)用作橫向整理，以及了解該定理有無逆定理。只有將有關(guān)命題組成一個網(wǎng)絡(luò)，使知識系統(tǒng)化、條理化，才能進(jìn)一步掌握定理。

4.加強(qiáng)定理的應(yīng)用，提高運(yùn)用定理解決問題的能力

學(xué)習(xí)定理，歸根結(jié)底是為了應(yīng)用。教學(xué)中，要及時介紹定理的應(yīng)用和應(yīng)用范圍，精心安排系統(tǒng)，讓學(xué)生進(jìn)一步有目的、有計劃地進(jìn)行定理應(yīng)用的練習(xí)。在應(yīng)用中學(xué)會分析、綜合，學(xué)會將定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化后應(yīng)用的能力，解幾何題還要掌握添加輔助線的方法。只有通過適當(dāng)?shù)姆磸?fù)練習(xí)，才能加深對定理的理解，并發(fā)展運(yùn)用了解決實(shí)際問題的能力。此外，在學(xué)習(xí)定理的過程中，還應(yīng)該了解該定理是性質(zhì)定理還是判定定理、該定理在理論與實(shí)際上的作用，以及當(dāng)該定理的條件增強(qiáng)或減弱時結(jié)論可能發(fā)生的變化等等。只有這樣，才能使學(xué)生逐步達(dá)到深入理解公理、定理、公式，并達(dá)到靈活應(yīng)用的目的。

（作者單位：江蘇省常州技師學(xué)院）