游戲探索精妙處 數(shù)學(xué)生活奇葩開(kāi)

把所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用到生活中去，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出:“教師應(yīng)該充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中去，以體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值.”因此，在數(shù)學(xué)生活化的學(xué)習(xí)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，寓于現(xiàn)實(shí)，用于現(xiàn)實(shí)”.

無(wú)論是生活?yuàn)蕵?lè)還是網(wǎng)絡(luò)游戲，用兩副撲克打“雙扣”這一活動(dòng)在中國(guó)南方許多城市深受歡迎.雙扣游戲不但帶給了人們無(wú)窮的樂(lè)趣，同時(shí)也蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，在概率一章的教學(xué)中，我嘗試引導(dǎo)學(xué)生做此撲克游戲的概率分析和模型建立，收益良多.

一、游戲規(guī)則

雙扣游戲類似普通的“爭(zhēng)上游”，各地規(guī)則略有差異，大體如下：游戲打兩副牌，對(duì)家配合，配合的兩方要盡快將手中牌出完為勝.

1．牌形和大小:本游戲的牌點(diǎn)由大到小排列為：大王、小王、2、A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3.

單張、對(duì)、三同張、連對(duì)（必須在三連對(duì)以上）、連三同張（必須在三連兩同張以上）、順子（２不能出現(xiàn)在順子中）牌型，直接根據(jù)牌點(diǎn)確定大小，但要求出牌的數(shù)量必須相同；如果牌張數(shù)相同，則按牌點(diǎn)數(shù)確定大小，否則牌張數(shù)越多越大；四張或四張以上牌點(diǎn)相同的牌稱為炸彈，如4444（下稱四線炸），777777（稱六線炸）.炸彈大于任何其他非炸彈的牌型.四張王牌，構(gòu)成天王炸彈，這是游戲中最大的牌型.

2.計(jì)分規(guī)則：勝方有五線炸可翻一倍計(jì)分，六線炸可翻兩番計(jì)分，七、八線炸以此類推，誰(shuí)家要是有六線以上炸將得到其他三家的貢獻(xiàn)，六線貢獻(xiàn)1個(gè)基礎(chǔ)分，七線貢獻(xiàn)3個(gè)基礎(chǔ)分，八線貢獻(xiàn)5個(gè)基礎(chǔ)分.三個(gè)炸當(dāng)五線，四個(gè)炸當(dāng)六線，五個(gè)炸當(dāng)七線，六個(gè)炸當(dāng)八線……(詳見(jiàn)：http://www.gameabc.com“邊鋒”等游戲網(wǎng)站)

二、概率分析

以東、西、南、北共四家一次隨機(jī)分牌為例，下面對(duì)部分主要牌型出現(xiàn)的概率做簡(jiǎn)要分析.

1.規(guī)則中“天王炸”是最大牌型，那么東家（其他三家算法相同）拿到“天王炸”的概率？

解：4張大王中每張牌的分布是相互獨(dú)立事件，且分布在4家手上是等可能的，共有44=256種情況，其中都分布在東家的概率為

P王=1256≈3.906×10-3.

2．規(guī)則中規(guī)定四張或四張以上點(diǎn)數(shù)相同的牌為炸彈，則

（1）①東家拿到“八線炸”（八張點(diǎn)數(shù)相同的牌）的概率？

解：兩副撲克中點(diǎn)數(shù)相同的牌從A—K共有13種情況:

∴P8=148×13≈1.983×10-4.

②東家拿到“七線炸”的概率？

解：可轉(zhuǎn)化為同點(diǎn)數(shù)的八張牌呈7、1、0、0分布的情況有C78C11×3=24種（即“東7南1西0北0”或“東7南0西1北0”或“東7南0西0北1”）.

∴P7=2448×13≈4.760×10-3.

③東家拿到“六線炸”的概率？

解：可轉(zhuǎn)化為同點(diǎn)數(shù)的八張牌呈6、2、0、0分布和6、1、1、0分布的情況.

呈6、2、0、0分布時(shí)，有C68C22×3=84（種）；

呈6、1、1、0分布時(shí)，有C68C12C11A22×3=84（種）.

∴P6=84+8448×13≈3.33×10-2.

（2）模型建立：

東家(或其他任一家)拿到“n線炸”（4≤n≤8，n∈N*）的概率：

Pn=［Cn8Σi+j+k=8-ni≥j≥k≥0

(Cii+j+kCjj+kCkk×M)×13］÷48.(其中i、j、k∈N)

其中常數(shù)M=

C13(當(dāng)j+k=0)；

A33(當(dāng)i＞j＞k)；

C13A22(當(dāng)i=j≠0或j=k≠0)；

1A33(當(dāng)i=j=k≠0)；

1(當(dāng)i=j=k=0).

由此可計(jì)算東家拿到“5線炸”“4線炸”等的概率分別是P5=0.2444、P4=0.7498，等等.

3．規(guī)則中“三連炸”（如四個(gè)K、四個(gè)A、四個(gè)Q）有十分大的威力，在游戲中比“6線炸”還大，則

（1）東家拿到“八線三連炸”（如八張K、八張A、八張Q）的概率？

解：∵三連炸從連3、4、5；4、5、6到Q、K、A共10種情況，

記P（8，3）為東家拿到“八線三連炸”（下同），∴由2（1）可得P（8，3）=（148）3×10=3.55×10-14.

同理可得

P（7，3）=（2448）3×10=4.91127138957381×10-10；

P（6，3）=（84+8448）3×10=1.68456608662382×10-7；

P（6，4）=（84+8448）4×9=3.88651111293825×10-10；

……

P(4，3)=0.00191882605804494.

（2）模型建立：

東家(或其他任一家)拿到“n線m連炸”的概率記做P（n，m）（1≤n≤8，1≤m≤12，mn≤27），則由2（2）得：P（n，m）=Pn13m×(13-m).

4．規(guī)則中三個(gè)炸彈（但不完全相連）在計(jì)算貢獻(xiàn)分時(shí)相當(dāng)于“五線”，四個(gè)炸彈相當(dāng)于“六線”……則

（1）東家拿到“八線三炸彈”（但不完全相連）的概率記做P′(8，3)，則

P′(8，3)=P(8，3)10×(C313-10)=

2.0417953042592×10-11.

再如拿到四線三炸彈（但不完全相連）的概率P′(4，3)=

P(4，3)10×(C313-10)=0.0408435832355281.

（2）模型建立：

東家拿到“n線m炸彈”（但不完全相連）記做P′(n，m)的概率：

P′(n，m)=

P(n，m)13-m×Cm13-(13-m)

（1≤n≤8，1≤m≤12，mn≤27）.

在引導(dǎo)學(xué)生探究此概率模型時(shí)，學(xué)生還編程計(jì)算了所有Pn，P(n，m)和P′(n，m)概率，并從科學(xué)角度提出對(duì)雙扣游戲規(guī)則的改良意見(jiàn)，如“天王炸”為最大牌型不科學(xué)，概率上“八線炸”就應(yīng)該壓“天王炸”等等.高中數(shù)學(xué)有許多知識(shí)與概率相關(guān)，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生從課本走向生活，做生活中的有心人，從而體會(huì)到概率論的確如英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家、邊際效用學(xué)派的創(chuàng)始人之一杰文斯（Jevons，1835-1882）所說(shuō)“它是生活真正的引路人，如果沒(méi)有對(duì)概率的某種估計(jì)，我們就寸步難行，無(wú)所作為”.

新的課程標(biāo)準(zhǔn)更多地強(qiáng)調(diào)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光從生活中捕捉數(shù)學(xué)問(wèn)題，主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析生活現(xiàn)象，自主地解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.一款小小的雙扣撲克游戲，若能善用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)，善用數(shù)學(xué)的方法探究，就會(huì)精妙絕倫，這正是“游戲探索精妙處，數(shù)學(xué)生活奇葩開(kāi).”

（責(zé)任編輯 金 鈴）