串聯高考試題 開啟復習之門

高考數學試題注重知識之間的交叉、滲透和綜合，以檢驗考生能否形成一個有序的網絡化知識體系．每年的高考試題總有很多讓教師與學生眼前一亮的試題，或命題形式新穎，或命題角度刁鉆，或命題思維深刻．教師若能深入研究這些高考試題的命題意圖及特點，抓住學生的求新心理，另辟蹊徑，由精選的高考試題為主線，組織復習課教學，對學生的探究能力培養，思維的嚴謹性、邏輯性、發散性等品質的形成與提升無疑是很有效的．本文以《基本不等式》的高三復習課為例，從精選高考題展開復習課堂教學的視角，提供高三數學復習教學的一條途徑．

一、引入“平民化”的高考試題，挖掘其教材功能，深化復習課的概念教學

教材是數學知識和數學思想方法的載體，又是教學的依據，理應成為高考試題的源頭．在每年的數學高考試題中，不乏讓學生“似曾相識”的題型，比較容易找到切入點，但卻因為思維的限制等原因無法求出正確的答案．在復習課中，教師可以高考試題為素材，通過變形、延伸、拓展，為概念教學的鞏固與拓展提供有力的支撐，真正做到“源于教材，高于教材”．

圖1

【例1】 (2010，湖北）設a＞0，b＞0，稱2aba+b

為a，b的調和平均數．如圖1，C為線段AB上的點，且AC=a，CB=b，O為AB的中點，以AB為直徑作半圓．連結OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則圖中線段OD的長度是a，b的算術平均數，線段的長度是a，b的幾何平均數，線段的長度是a，b的調和平均數.

解：在直角三角形ADB中DC為高，則由射影定理可得CD2=AC#8226;CB，故CD=ab，即CD的長度為a，b的幾何平均數，將OC=a-a+b2=a-b2，CD=ab，OD=a+b2代入OD#8226;CE=OC#8226;CD可得CE=a-ba+bab.故OE=

OC2-CE2=（a-b）22(a+b)，所以ED=OD-OE=2aba+b，故DE的長度為a，b的調和平均數.答案為CD，CE．

分析：本題的原型是：人教版教材《數學》必修2P98的探究題：

圖2

在圖2中，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a，CB=b.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用此圖形，得出不等式

ab≤a+b2(a＞0，b＞0)的幾何解釋嗎？

此問題的幾何解釋即為湖北省2010年理科高考題（如圖1）中的直角三角形OCD中，直角邊CD之長≤斜邊OD之長.在新授課中，因為教學課時與內容的限制，很少有教師會引導學生順著思路順藤摸瓜，再探究下去：不等式

ab≤a+b2(a＞0，b＞0)

的左右兩邊是否可以添加表達式？而在高三的復習課中，教師一般都是直接在課堂中給出如下公式：

a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b(a＞0，b＞0)，證明的思路一般通過代數法，很少會提及不等式中

ab≥21a+1b(a＞0，b＞0)

與a2+b22≥a+b2(a＞0，b＞0)

的幾何解釋.因此學生很難準確記憶公式，更談不上熟練使用，教學的銜接出現真空狀態.若在高三復習時教師能關注到這點，對基本不等式

ab≤a+b2(a＞0，b＞0)

深化：在圖1中引導學生通過類比的方法，找出調和平均數的幾何解釋：直角三角形DEC中的DE的長度．學生的思路自然會聯想到：幾何平均數≥調和平均數，因為直角三角形DEC中DE的長度≤斜邊DC的長度．

“問起于疑，疑源于思”，數學最積極的成分是問題，提出問題并解決問題是數學教學的靈魂．思路的閥門一旦打開，就無法停止，再探究下去：

ab≤a+b2(a＞0，b＞0)

不等式的右邊是否可以添加表達式？是否還可以用類比的方法得到幾何解釋？怎么找？

過O作OF⊥AB，交半圓于點F，連接CF，在直角三角形OFC中，

OF=a+b2，FC=OF2+OC2=(a+b2)2+(a-a+b2)2=a2+b22，

因為FC≥OF，所以a2+b22≥a+b2.

圖3

至此，不等式a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b(a＞0，b＞0)的銜接關系分別轉化為圖3中的三個直角三角形中邊的大小關系，數形結合思想在這里演繹得酣暢淋漓！學生的思維品質在探究中得到了升華！

二、梳理“有序化”的高考試題，挖掘其探究功能，鞏固學生的邏輯知識鏈

從“知識立意”向“能力立意”轉變是高考命題改革的方向，同一個試題中涉及了不同的數學思想方法，同一種數學思想方法在不同的試題中又有不同層次的要求．這就要求在高三課堂教學中，教師精心選擇在“學生最近發展區”的高考題組，通過類比、分析、歸納等途徑，鞏固學生的邏輯思維鏈，提高學生的反思能力．在基本不等式的概念運用階段，可選擇下列的高考題組:

【例2】 （1）（2010，山東（理））若對任意x＞0，xx2+3x+1≤a恒成立，則a的取值范圍是．

（2）（2010，全國I（理））已知函數F(x)=|lgx|，若0

A.(22，+∞)B.［22，+∞)

C.(3，+∞)D.［3，+∞)

（3）（2010，遼寧（理））已知數列｛an｝滿足a1=33，an+1-an=2n，則ann的最小值為.

分析：（1）因為x＞0，所以x+1x≥2（當且僅當x=1時取等號），所以有xx2+3x+1=

1x+1x+3≤12+3=15，即xx2+3x+1的最大值為15，故a≥15.（2）an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=33+n2-n，∴

ann=33+n2-nn=33n+n-1，令f(n)=33n+n-1，因為f(n)在(0，33)上單調遞減，在(33，+∞)上單調遞增，又因為a55=535，a66=212，所以ann的最小值為212．（3）本小題主要考查對數函數的性質、函數的單調性、函數的值域，考生在做本小題時極易忽視a的取值范圍，而利用均值不等式求得a+2b=a+2a＞22，

從而錯選A，這也是命題者的用苦良心之處.正確解法為：因為f(a)=f(b)，所以|lga|=|lgb|，所以a=b(舍去)，或b=1a，所以a+2b=a+2a.又0f(1)=1+21=3，即a+2b的取值范圍是(3，+∞).

精選這組高考試題為學生的高三復習鋪設了有效的邏輯通道，有助于學生經歷一個從自發到自覺、經淺層到深層的過程．在經歷失敗的教訓或獲得成功的體驗后，學生能對基本不等式中的關鍵環節“一正、二定、三取等”有深刻的認識．

三、創設“生活化”的高考試題情境，挖掘其應用功能，真正落實“數學是有用的”

高考應用題考查重點主要體現在現實問題的數學理解，要求考生依據現實的生活背景和相關素材，提煉相關的數學模型，將現實問題轉化為數學問題，并用數學知識與方法加以解決，真正讓學生學習有用的數學，體會到數學來源于生活，又實踐于生活．

【例3】 （2009，湖北（文））

圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x(單位：元).

（Ⅰ）將y表示為x的函數;

（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．

分析：對數學的應用問題，關鍵是建立合適的數學模型：用數學的方法解決實際問題，最后再回歸到實際問題．

一堂課的時間是很有限的，如何在有限的時間內實現效率的最大化，是每個教師努力的方向.新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發生過程，在高三復習中更不能忽視這點．在復習教學中要充分挖掘教材的背景材料，精心選擇高考題，通過類比、歸納、分析等方法尋找新知生長點，建立新舊知識的聯系，充分挖掘高三學生的學習潛能、創新意識和探究精神，真正引導中學數學教學向全面培養學生數學素養和能力的方向發展．

（責任編輯 金 鈴）