非線性、分形與期鋅市場價格

文先明,周賢軍,張 蜜

(長沙理工大學經濟與管理學院,湖南長沙 410114)＊

非線性、分形與期鋅市場價格

文先明,周賢軍,張 蜜

(長沙理工大學經濟與管理學院,湖南長沙 410114)＊

從非線性角度研究期鋅市場,運用R/S分析法對期鋅市場進行分析,發現期鋅市場的 Hurst指數為0.6183,其價格收益率序列是分維時間序列,具有分形結構,維數為1.6174。期鋅市場的平均周期長度為176天,具有強持續性和相關性。關聯系數為19.47%,遠遠大于國外相關市場。在風險方面,期鋅市場的風險比期銅市場的要小,而比股票市場的風險要大。

非線性;分形;Hurst指數;關聯系數;期鋅市場

一、引 言

資本市場價格的大幅波動,以及某些經濟時間序列的高度自相關性,均表現為非線性效應。近年來,非線性科學所取得的成果,就突破了傳統的線性思維定式,它將資本市場看成是一個適應性的、復雜的和交互作用的非線性系統,并對價格行為提供了新的解釋。盡管分形市場理論是一個先進的金融市場解釋理論,由于在數學工具方面的限制,它在資本市場的應用還不是很廣泛,但是它解釋清楚了當今資本市場存在的各種現象,而這些現象卻無法由原來成熟的市場理論來解釋清楚。在這樣的背景下,借鑒這種先進的理論來解釋中國資本市場的現象顯得很有意義。本文將分形理念運用到期鋅時序分析,目的在于通過實證研究來確定期鋅收益序列具有分形特征,并在此基礎上探索分形形成的本質原因,從而為金融資產波動的識別和市場風險的防范,提供更加有力的支持。

二、文獻綜述

Fama[1]提出有效市場假說之后,這一經典的金融理論得到普遍認可。但后來資本市場出現的比如非線性、正態問題、理性投資者的假定問題、市場異常現象問題、有效市場悖論問題等等,需要新的理論進行解釋,分形理論就應運而生。分形理論很快運用到金融領域,為金融市場波動特性與結構的研究提供了新方法與理論框架。Mandelbrot提出了用分形理論描述股票收益率序列,得出股票價格收益率不符合正態分布的結論[2-4],Peters運用 R/S分析方法,從資本市場上的資產價格變化的正態性檢驗開始,指出分數布朗運動可以更加準確地刻畫金融市場的波動,并且證明了資產價格序列或者收益率序列符合分形布朗運動,即有偏隨機游走規律[5,6]。Jorge通過R/S分析法研究了巴西股票市場波動性的長期記憶性,發現巴西股票市場不是一個有效市場,其價格波動呈現出很強的長期相關性,具有明顯的分形結構[7]。Michael從股票收益率的日數據和月交易數據入手,運用R/S分析法研究了澳大利亞股票市場的非周期循環,發現當用一階自回歸消除價格波動的短期效應以后,澳大利亞股票市場出現了長期記憶性,并且該市場的非線形動態周期分別是3年、6年和12年[8]。

在波動性研究方面,Mulligan運用 R/S分析法、小波分析法、Roughness-Length:Variogram分析法和Power-Spectral分析法這五種分形分析法研究了美國股票市場上高科技股的波動情況,發現 H指數在(0

縱觀上述文獻,發現目前分形結構研究大多聚集在股票市場,而期貨市場研究的文獻還為數很少,特別是上市不久的期鋅市場更加少有,因此進行這方面研究意義重大。

三、鋅期貨市場的分形結構研究

(一)分形的概念與特征

組成部分以某種方式與整體相似的形體叫做分形[18],是對“極不規則”與“極為破裂”的幾何對象的統稱。也就是說指形狀不規則、內部存在無窮層次和自相似特征,無法用經典的歐式幾何來描述的客體。它打破了整體與部分、簡單與復雜、無序與有序、間斷與連續之間的隔膜,找到了事物之間相互過渡的橋梁和媒介。為人們從部分中認知整體、從無序中認知有序、從有限認知無限提供了可能和依據。基于分形理論還不成熟,體系比較復雜,對分形進行精確定義還難以實現,所以,我們往往從它具有的主要特征著手進行細致地刻畫。它具有以下主要特征:其一為自相似性。部分以某種方式與整體相聯系,如果某種過程或結構的特征從不同的時間和空間視角來看都有相似特征,我們就認為具有自相似性。一般而言,自相似性的表現形式比較復雜,并不是所謂的放大一定倍數的部分之后與整體簡單的無縫重合。其二是伸縮對稱性或者標度不變性。標度不變性所指的是在分形圖上,任意選擇一個局部區域,放大后的圖形與原來圖形形態有著同樣的面貌。所以,對于這種圖形,不論放大還是縮小,它的形態,不規則性、復雜程度之類的特性都不會發生改變。通俗來講,如果我們借助放大鏡來觀察分形結構圖形,不管放大鏡離圖形距離有多近,我們所觀察到的圖形情形沒有什么區別。從看到的圖形,我們無法判斷放大鏡的倍數。這種標度不變性也許只適用在某個范圍當中,我們通常把這個范圍稱之為無標度空間。其三是分形維,在分形理論中這是一個很重要的概念。刻畫的是分形的非光滑、不規則和復雜的程度。它既可以是整數也可以為分數,描述的是客體規模的變化。比如立方體的維數是三維,平面的維數就是二維。當客體的維數為分數時,我們稱之為分形維。Koch曲線就有這樣的特征,既不是一維也不是二維的,而是處于二者之間的。其四是局部隨機性與整體確定性共存。

(二)重標極差(R/S)研究方法

分形結構的研究方法有多種,與其他的方法比較,R/S分析法的結果十分穩定,其所需的假設條件最少,又非常貼近時間序列的實際特性。更重要的是它能夠從分形時間序列中區分出隨機游走時間序列,并且還能夠計算出具有分形時間序列內在的非周期循環長度。通過揭出時間序列序列非線性特征更加能夠深刻地刻畫出其內在統計規律。優勢非常明顯。英國水文專家赫斯特(Hurst)在研究尼羅河流量時發現,流量數據不符合布朗運動和高斯分布的特征,而是遵循一種“有偏隨機游走”——趨勢加噪聲,也就是Mandelbrot所稱的分數布朗運動。這里的趨勢加噪聲意味著變量之間關系是長程相關的,通俗的講就是具有記憶性,某個時期之前發生的事件會影響著后來事件的走向。在1951年,為分析這種有偏的隨機游走過程,Hurst提出了R/S分析法(Rescaled Range Analysis)。并給出了下面的關系式:

其中:R/S是重標極差值;c為常數;n為觀測次數。在對數坐標下求斜率 H,即Hurst指數。然后利用下面的相關性表示現在對未來的影響:

其中:C為相關性的度量,0

(三)Hurst指數

根據統計學,如果一個序列是隨機游走的,H值應當等于0.5,當不等于0.5,觀測就不是獨立的,而是具有“記憶”的。因此可以從 Hurst不同的取值來判斷時間序列的不同類型。

(1)0≤H<5,系統是反持續序列,即如果上一時期是增加,那么下一時期多半是減少的。這種反持續性行為的強度取決于 H與零的距離。這種時間序列具有比隨機序列更加的突變性。

(2)H=0.5,序列是隨機的和不相關的,服從正態分布的特征。

(3)0.5≤H<1,時間序列具有持久性,又謂之分形時間序列。如果上一時期序列是增加的,那么下一時期序列很可能繼續增加。H越靠近1,狀態的持續性就越強,呈現出“長記憶”的形式。即今天的價格可能影響明天、后天。這種記憶的長度,用可以用下面公式來確定:

式(3)稱之為平均循環長度,當時間序列為持續性時(H>0.5)時,Vn單調上升,當序列呈現隨機游走(H=0.5)時,Vn近似常數,當Vn為反持續序列(H<0.5)時,Vn單調下降,Vn由下降變以常數或者上升,這就是“長記憶”的消失點。

四、期鋅市場分形特征的實證研究

(一)數據來源與統計描述

期貨價格序列構造方式多種多樣,本文取每日所有鋅期貨合約收盤價格按成交量加權平均數,作為當日期貨價格的代表。這種方法可以實現統計口徑的一致性和連續性,減輕主觀因素對數據代表性的影響。方法如下:

其中,Pt為當日的期貨價格;Pi為某月份合約的結算價格;ni為同月份合約的成交量;Pi和ni可以在相應的期貨交易所公布的行情信息中獲得,記為 FP。期貨價格數據取自上海期貨交易所網站,樣本區間為2007年3月26日～2011年2月28日,共957個數據。為了刻畫期鋅價格波動的數量特征,對期鋅價格的對數進行一階差分。

從圖1統計結果可以看出其峰度 K值大于3,偏度S小于0,呈現左偏,J-B統計量拒絕服從高斯分布。同時,期鋅價格波動呈現尖峰厚尾的特征。尖峰說明價格波動幅度大,厚尾說明投資者對信息的反應是密集的,尾越厚說明狀態的持續性就越強。再來看期鋅對數收益率序列圖2。

圖中時間序列出現多個異常的峰值,并且波動呈現明顯的聚類現象,說明期鋅收益率序列日波動具有突發性和顯著性,波動性具有條件異方差現象。

(二)R/S分析方法的實證數據結果

通過對期鋅價格收益率序列進行分析并根據面介紹的方法進行R/S分析,結果表1。

圖1 期鋅對數收益序列統計圖

圖2 期鋅對數收益序列圖

表1 R/S分析結果

表中數據是方程log(R/S)n=log(c)+Hlog (n)中的各系數的數值、標準差和統計量。可以得出期鋅價格的R/S線性回歸方程:

Hurst指數:0.618282

從上表和用最小二乘法估計模型結果可以看出,t統計量和擬合尺度R2都比較理想,擬合效果相當好。Hurst指數為0.618282,大于0.5的隨機游走值。說明期鋅市場具有分形結構,具有較強的持續性和記憶性。從關聯系數 C=2(2H-1)-1= 0.1947來看,說明期鋅市場不是有效的市場,C值大于零,表明期鋅市場是一個變量間存在正相關的非有效市場。

接著來看期鋅的價格平均循環周期,期鋅市場存在非周期循環,從圖3可以發現,期鋅的log(R/ S)值在3.03處(n=176)出現峰值后發生了突變。之后斜率明顯變大。由此可知期鋅具有一個176天的非周期循環。在此期間市場歷史信息將對未來的價格走勢產生影響。在此之后,市場歷史信息的記憶將會消失。為了更加準確地考慮非周期循環點,考察V統計量的分布圖,轉折點對應的周期是e5.17=176天,也就是說系統經過176天后將會失去對市場的歷史信息的記憶。

最后來看分形維數,在有效市場理論框架下,隨機時間序列的分形維是1.5。當值位于1與1.5之間時,表明它比直線要粗糙,然而相對于隨機游走而言要光滑。當值在1.5與2之間時,表明其比隨機游走不整齊,反向走勢的概率比較大。分形維1維是直線,2維是平面。Mandelbrot(1992)指出, Hurst指數的倒數就是序列的分形維數,因此,期鋅價格序列的分形維數是1/0.618282=1.6174,位于1.5與2之間,是有偏的隨機游走序列。

圖3 期鋅價格收益率R/S分析與V統計量合并圖

五、結 論

本文運用R/S分析法,實證研究了期鋅價格收益率序列的分形結構問題,通過以上分析,可以得出以下結論:

1.期鋅市場價格收益率序列是分維時間序列,具有分形結構,Hurst指數高于0.5,價格走勢服從分數布朗運動,呈現明顯的長程相關性。這說明期鋅市場是非有效的,是有偏的隨機游走模式。體現的是非成熟市場的特征。這與鋅期貨上市時間不長的現實相符。有效市場假說認為人們在決策時會對信息反映迅速,波動呈現隨機游走。而實際情況是,大多數人并不會對信息立刻作出反應,而且反應的速度、時間長短并不一樣,呈現的是有偏的隨機游走形式。有效市場假說認為人們在決策時會對信息反映迅速,波動呈現隨機游走。而實際情況是,大多數人并不會對信息立刻作出反應,而且反應的速度、時間長短并不一樣,呈現的是有偏的隨機游走形式。

2.期鋅的關聯系數為19.47%,大于0。國外成熟市場的關聯系數較低,一般在5%左右,然而,我國期鋅市場的關聯系數遠遠大于5%,在很大程度上初始信息影響著期鋅價格的波動。現在的和過去的信息對價格的影響是明顯的,因此對于投資者來說,研究歷史信息對投資有利,為技術分析提供了依據。對于監管者而言,加強對信息的監管將有利于市場效率的提高。現在的和過去的信息對價格的影響是明顯的,因此對于投資者來說,研究歷史信息對投資有利,為技術分析提供了依據。對于監管者而言,加強對信息的監管將有利于市場效率的提高。

3.通過研究log(R/S)-log(n)圖,在 n=176時發現顯著的斜率變動情況,結合R/S分析法的V統計值,確認了期鋅市場的平均周期長度為176天。“長期記憶特征”明顯,而從發達國家地區市場的平均周期循環長度在50天左右的時間長度來看,期鋅市場的時間長度明顯偏長。這說明歷史信息具有強相關性和持續特征,可以在較長的時間內對價格產生影響。

4.H值衡量的是序列數據的參差不齊的程度,序列中噪音越少,H值就越高,表明具有更強的持續性和趨勢性。運用在金融時間序列中,高H值表明風險就小,低H值表明風險就大。目前滬深股市Hurst指數分別是0.61和0.63,滬銅Hurst指數為0.59,可以看出期鋅市場的風險比期銅市場的要小,而比股票市場的風險要大。

5.期鋅價格序列在時間上是分形維的,分形維值為1.6174,該值與 Hurst指數能夠為決策者提供重要的參考價值。分維值不僅反映變量集合的復雜性和不規則性,而且還表示了變量隨時間變化的激烈程度及運動軌跡的不平滑程度。一般而言,分維值越大,表明時間序列隨時間變化的不規則程度越大,因而在實踐中決策者可以利用變量變動曲線的分維值,預測變量的變化趨勢。

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Nonlinear Concept,Fractal Theory and Futures Zinc Markets Prices

WEN Xian-ming,ZHOU Xian-jun,ZHANG Mi

(School ofEconomics and Management,Changsha University of Science&Technology;Changsha,Hunan 410114,China)

In the practice of nonlinear angle,by R/S methods,the Hurst index of zinc in futures market is 0.618282,and its return series is a fractal time series with the dimension of 1. 6174.The average cycle time of future zinc market is 176 days with the correlation coefficient for 19.47%which is far beyond that of abroad market.To the risk,the risks in future Zinc market is less than those in future copper market,while higher than those in the stock market.

Nonlinear;Fractal;Hurst index;Correlation coefficient;Zinc Markets

F830.9 文獻標識碼: A 文章編號:1003-7217(2011)03-0031-05

2010-11-12

湖南省社科基金項目(09ZDB17、09ZDB18)、湖南省企業管理與投資基地項目(10jdyb02)、湖南省2010年省級科技計劃立項項目(2010FJ3089)

文先明(1964—),男,湖南桃源人,博士,長沙理工大學經濟與管理學院教授,博士生導師,研究方向:金融經濟學、企業戰略管理。

(責任編輯:姚德權)