形變質(zhì)通——小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科文化的思考

張 菁

(天津市河西區(qū)馬場道小學(xué),天津 300204)

形變質(zhì)通
——小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科文化的思考

張 菁*

(天津市河西區(qū)馬場道小學(xué),天津 300204)

教育的終極目標(biāo)是心育,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的目標(biāo)不是關(guān)注學(xué)生對外顯的數(shù)學(xué)知識的機(jī)械操練,而是從數(shù)學(xué)知識本質(zhì)出發(fā),通過提煉出蘊(yùn)涵在外顯的數(shù)學(xué)知識中的隱性思維方法、人文精神來浸潤學(xué)生的心靈。在大量數(shù)學(xué)教育實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了“形變質(zhì)通”這一數(shù)學(xué)學(xué)科文化,并從數(shù)學(xué)發(fā)展史、數(shù)學(xué)自身特點(diǎn)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論等方面加以論證。同時(shí)進(jìn)一步闡述了作為學(xué)科文化的“形變質(zhì)通”的教育功效。從數(shù)學(xué)學(xué)科文化視角提出了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的隱性教育因素。

形變質(zhì)通;小學(xué)數(shù)學(xué);學(xué)科文化

一、問題的提出

在數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)研究者的研究過程中,數(shù)學(xué)是一種生動(dòng)活潑的策略創(chuàng)造,但最終結(jié)果,又常常化作一種“程式化”的結(jié)果。這種“程式化”的結(jié)果尤其多見于篇幅有限的數(shù)學(xué)教科書之中。在學(xué)生所用的數(shù)學(xué)書中所呈現(xiàn)的眾多法則、定理,學(xué)生在對其不理解的狀態(tài)下,照樣可以程式化地執(zhí)行規(guī)則。因此,在數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)中,教師們普遍關(guān)注的是建立在學(xué)生解題行動(dòng)上的顯性的解題實(shí)踐活動(dòng)。一旦顯性的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)解除,數(shù)學(xué)能夠?yàn)閷W(xué)生的日后社會(huì)生活留下哪些可以終身受益的精神財(cái)富?

小學(xué)數(shù)學(xué)課程相對于日后的數(shù)學(xué)專業(yè)課程而言,是數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)的綜合課程,是基礎(chǔ)課程。越是基礎(chǔ)的越是永恒的,它蘊(yùn)涵了數(shù)學(xué)學(xué)科總的學(xué)科思想文化。

二、形變質(zhì)通——貫穿數(shù)學(xué)發(fā)展始終的學(xué)科文化

在長期的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中,在課題研究的基礎(chǔ)上,經(jīng)過反復(fù)思考、反復(fù)實(shí)踐,我們最終將數(shù)學(xué)學(xué)科的文化提煉為形變質(zhì)通的思維方式。

(一)數(shù)學(xué)是數(shù)與形的結(jié)合

從小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)、圖形的運(yùn)算到初中的初等代數(shù)、平面幾何,再到高中、大學(xué)的立體幾何、解析幾何、數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等,盡管各階段數(shù)學(xué)知識的深淺各異,但這些知識無不是研究著數(shù)與形。數(shù)與形不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科的兩個(gè)重大分支,同時(shí)彼此又相互呼應(yīng)、相得益彰,它們的互通、結(jié)合使我們可以通過數(shù)、形兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域體悟到相同的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。“數(shù)”是某些“形”的注解、“形”是某些“數(shù)”的可視性工具。我們知道圖像即是函數(shù)的外貌,是我們研究一系列函數(shù)的有效途徑。“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合構(gòu)成了數(shù)學(xué)的完整。

(二)同一數(shù)學(xué)知識會(huì)有不同的階段表征

同一數(shù)學(xué)知識可以運(yùn)用不同的形式進(jìn)行表征。這些不同形式的數(shù)學(xué)知識的表征,可以出現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的不同階段。以等差數(shù)列求和知識為例,它經(jīng)歷了一年級小學(xué)生可以理解的湊十法(如:1+2+3+4+5+6+7+8+9=?),也經(jīng)歷了三年級小學(xué)生可以理解的整數(shù)乘法(如:13+15+17=15 ×3),當(dāng)然也可以運(yùn)用三、四年級學(xué)生可以理解的平行四邊形(長方形)、梯形的面積來注解。在其經(jīng)歷了不同數(shù)學(xué)階段的不同表征之后,發(fā)展到了一個(gè)永恒的“主題”——等差數(shù)列求和公式,即(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2,而這一公式恰恰是其經(jīng)歷不同數(shù)學(xué)階段、不同數(shù)學(xué)表征所反映的最本質(zhì)的、最一般的規(guī)律。

(三)同一數(shù)字符號表達(dá)著不同的思維模式

同樣的語言文字放在不同的語言環(huán)境中,結(jié)合人們不同的經(jīng)歷、不同思考問題的角度,人們會(huì)對其有不同的注解。其實(shí)一語多意的情景,也普遍存在于人們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。見下面一道數(shù)學(xué)題的解答:

我國古代算術(shù)著作《張邱建算經(jīng)》中,有一道十分有趣的題目,叫做“有女不善織”。題目大意是:有位婦女不善于織布,她每天織的布都比前一天要減少一些,減少的數(shù)量是相等的。她第一天織了5尺,最后一天織了1尺,一共織了30天。她一共織了多少尺布?

解法1:從高中數(shù)學(xué)知識角度看,這是一道等差數(shù)列求和的題目。即,“她每天織的布都比前一天要減少一些,減少的數(shù)量是相等的”。說明此位婦女每天織布的尺數(shù)是等差遞減的。30天織布的尺數(shù)形成一個(gè)等差數(shù)列。此婦女第一天織布5尺,是等差數(shù)列的首項(xiàng);此婦女最后一天織布1尺,是等差數(shù)列的末項(xiàng);一共織布30天,是等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。按照等差數(shù)列求和公式可得到:(5+1)×30÷2=90(尺)。

解法2:我們可以將解法1放在圖形上考慮,利用求梯形面積的方法來解答此題。由于此婦女每日的織布米數(shù)是等差遞減的,所以當(dāng)我們將此婦女每天織布的尺數(shù)用圖形來表示,30天的織布總尺數(shù)可以組成一個(gè)等腰梯形。見下圖:

算式仍為(5+1)×30÷2。此種方法可視為等差數(shù)列求和公式的幾何意義。

從上題的兩種解法中,我們可以看到,算式(5+1)×30 ÷2可以用等差數(shù)列求和公式理解,也可用梯形面積公式理解,因而,我們可以感受到同一個(gè)數(shù)字符號在數(shù)學(xué)不同知識領(lǐng)域、不同思維模式作用下的不同含義。

(四)看似不同階段的知識表達(dá)同樣的知識結(jié)構(gòu)

許多不同階段的數(shù)學(xué)知識具有相同的知識結(jié)構(gòu)。如小學(xué)一年級的整數(shù)加減法、四年級的小數(shù)加減法、五年級的分?jǐn)?shù)加減法、初中的整式加減法,盡管加減法所涉及的數(shù)域有所不同、計(jì)算法則各異,但是相同的計(jì)數(shù)單位才能相加減是加減法運(yùn)算的基本結(jié)構(gòu)。進(jìn)而相同的量級及類別構(gòu)成了施行加減運(yùn)算的惟一前提。基于這樣的思維方式,才有了整數(shù)加減法運(yùn)算中的數(shù)位對齊、小數(shù)加減法中的小數(shù)點(diǎn)對齊、異分母分?jǐn)?shù)加減法中的先通分、整式加減法中的合并同類項(xiàng)。

從一道數(shù)學(xué)題的具體解答過程,到運(yùn)用相同的數(shù)學(xué)思想解答不同的題目,從不同數(shù)學(xué)知識體現(xiàn)著相同的數(shù)學(xué)公理,到數(shù)與形的結(jié)合,形變質(zhì)通普遍存在于數(shù)學(xué)之中。我們感受到數(shù)學(xué)既具有豐富的變化性,又具有高度統(tǒng)一性,盡管它的形式是變化多樣的,但富于變化的形式中卻蘊(yùn)涵了相通的質(zhì)。形變質(zhì)通可以看成是數(shù)學(xué)的一個(gè)注解。形變質(zhì)通可以看成蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)中的學(xué)科文化。

三、形變質(zhì)通的理論依據(jù)

(一)從數(shù)學(xué)發(fā)展史中感悟形變質(zhì)通

1.數(shù)概念的產(chǎn)生。數(shù)概念的產(chǎn)生是經(jīng)過一系列階段,舍棄了不同物種的不同表面性,抽象出蘊(yùn)涵在不同物種中某種共通的東西,即他們的單位性。數(shù)學(xué)概念是對一類數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的抽象與概括。

2.解析幾何的誕生。1637年,笛卡兒發(fā)表了《幾何學(xué)》,《幾何學(xué)》一書提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法,標(biāo)志著解析幾何學(xué)的誕生。解析幾何的出現(xiàn),改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向,把相互對立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來,使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。

3.20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢——統(tǒng)一化與應(yīng)用性。盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識千差萬別,在作為整體的數(shù)學(xué)中,使用著相同的工具與算法,存在著概念的親緣關(guān)系。正因?yàn)閿?shù)學(xué)內(nèi)部的這種統(tǒng)一性,數(shù)學(xué)家們對聯(lián)系數(shù)學(xué)中不同領(lǐng)域與部門、追求統(tǒng)一目標(biāo)的工作,總是給予高度評價(jià)。數(shù)學(xué)科學(xué)的統(tǒng)一趨勢將保持下去,并繼續(xù)成為21世紀(jì)數(shù)學(xué)的重要特征之一。20世紀(jì)數(shù)學(xué)空前廣泛的應(yīng)用,是與它的更高的抽象化趨勢共軛發(fā)展的。我們看到,一方面數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域正變得越來越抽象,一方面數(shù)學(xué)的應(yīng)用也越來越廣泛。

(二)從數(shù)學(xué)自身特點(diǎn)中體會(huì)形變質(zhì)通

1.數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)[1]

這就是說,“數(shù)學(xué)家是通過模式的建構(gòu)并以此為直接對象來從事客觀世界量性規(guī)律性研究的”。

2.數(shù)學(xué)思維特性[2]

(1)數(shù)學(xué)思維的概括性。“數(shù)學(xué)思維能夠揭示事物之間抽象的形式結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系這些本質(zhì)特征和規(guī)律,能夠把握一類事物共有的數(shù)學(xué)屬性。思維的概括性還在于它的遷移性,就是使主體不僅能從部分事物相互聯(lián)系的事實(shí)中推知普遍的與必然的聯(lián)系,而且能將這種聯(lián)系推廣到同類現(xiàn)象中去”。

(2)數(shù)學(xué)思維的問題性。“數(shù)學(xué)解題的思維過程是數(shù)學(xué)問題的變換過程;數(shù)學(xué)問題的推廣、引申和應(yīng)用過程是新的數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)、解決的過程,也是數(shù)學(xué)思維的深化過程和數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程,也是數(shù)學(xué)文化的發(fā)展過程”。

(3)數(shù)學(xué)思維的相似性。“解決數(shù)學(xué)問題的根本思想在于尋求客觀事物的數(shù)學(xué)關(guān)系和結(jié)構(gòu)的模式,從已解決的問題中概括出思維模式,再用模式去處理類似問題,并進(jìn)而形成新模式,構(gòu)成相似系列,即各種概念、命題與方法的相似鏈”。

3.數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證性。鄭毓信先生在其所著的《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書中充分論述了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證性。其中數(shù)學(xué)發(fā)展中的獨(dú)立性與開放性、抽象化與具體性、一般化與特殊化、多樣性與一體化,充分體現(xiàn)了形變質(zhì)通的辯證性。

(三)從現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論中感受形變質(zhì)通

1.大眾數(shù)學(xué)

“大眾數(shù)學(xué)”已成為今后數(shù)學(xué)教育研究的主要問題之一,但當(dāng)前未作嚴(yán)格的定義。就我國來說,由于義務(wù)教育是所有適齡兒童少年都必須接受的教育,因此,它的數(shù)學(xué)課程就應(yīng)該是所有學(xué)生都必須學(xué)習(xí)而且是能夠?qū)W習(xí)的。另外,“大眾數(shù)學(xué)”還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。這種應(yīng)用性,一方面是指人們自覺不自覺在日常生活中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識;另一方面是指運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法去思維、去觀察世界和處理問題。

2.數(shù)學(xué)問題解決

美國關(guān)于“問題解決”研究的主要代表人物之一舍費(fèi)爾德,由于他在國際數(shù)學(xué)教育會(huì)議于1980年召開的第四次會(huì)議(ICME-4)上的建議,才把“問題解決”列入會(huì)議議程。在事隔四年之后的第五次國際數(shù)學(xué)教育會(huì)議(ICME-5)上,情況就已經(jīng)發(fā)生了很大的變化:“問題解決”已經(jīng)成為大會(huì)最主要的議題之一。“問題解決”已成為學(xué)校教育的中心工作。

3.建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)教育

建構(gòu)主義原本是一種學(xué)習(xí)心理學(xué)理論,它認(rèn)為每個(gè)學(xué)習(xí)者本身存在著一個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu),外部的知識也是有結(jié)構(gòu)的。學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)必須和外部的知識結(jié)構(gòu)相一致,才能夠接受外面來的新知識,獲得學(xué)習(xí)上的成功。

“形變”可以滿足學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)需求,幫助學(xué)生達(dá)到認(rèn)知結(jié)構(gòu)主客觀的統(tǒng)一,易于學(xué)生自主建構(gòu)知識;“形變”促進(jìn)學(xué)生思維開放性的發(fā)展,在開放性的思維空間中,有助于學(xué)生問題的解決。

“質(zhì)通”可以促進(jìn)學(xué)生掌握蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識中的思維方法,可使學(xué)生在個(gè)性化的知識建構(gòu)的過程中,體會(huì)知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu),思維的深刻性得到發(fā)展,使學(xué)生在認(rèn)知“整合”的過程中,使全部知識匯成一個(gè)整體,學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)”地思維、“數(shù)學(xué)”地觀察世界、解決問題。

四、形變質(zhì)通的教育功效

(一)形變質(zhì)通有助于培養(yǎng)學(xué)生的平等意識

學(xué)生平等觀念、平民意識的培養(yǎng),不能依靠簡單的說教,而是要依靠深刻的認(rèn)知;它不是能在短時(shí)間內(nèi)形成的,而是要依靠長期潛移默化的文化熏陶。

運(yùn)用形變質(zhì)通的數(shù)學(xué)理念,我們可以在小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)等不同階段的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中,把握相同(通)的數(shù)學(xué)思想、知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知策略等,我們可以將數(shù)學(xué)各階段知識一體化,從而消除“大數(shù)學(xué)”與“小數(shù)學(xué)”的距離,建立起各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識間的聯(lián)系,促進(jìn)數(shù)學(xué)知識間的相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,不同階段的數(shù)學(xué)教師所形成的“教師共同體”都能運(yùn)用形變質(zhì)通的數(shù)學(xué)理念進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué),學(xué)生在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中獲取的不僅僅是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力,獲取的更是一種附著在數(shù)學(xué)知識中的一種文化,一種從數(shù)學(xué)中產(chǎn)生,進(jìn)而跳出數(shù)學(xué)的文化。使學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)”地看世界,在形變質(zhì)通的理念中樹立平等的觀念、平民的意識。

(二)形變質(zhì)通有利于培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新的精神

形式上的“多彩”,本質(zhì)上的“相通”,是形變質(zhì)通數(shù)學(xué)理念的特點(diǎn)。也正因如此,在“相通質(zhì)”的前提下,我們可以尋找“燦爛多變的形”。在解決同一問題的前提下,我們可以尋找不同的解決方法;在眾多的解決方法中,我們可以尋找更好、更適合的方法。形變質(zhì)通的數(shù)學(xué)理念為人們解決問題提供了開放的思維空間。開放的思維空間可以打破人們僵化、墨守成規(guī)的思維方式,使人們沖出安于現(xiàn)狀、裹足不前的保守觀念。形變質(zhì)通的數(shù)學(xué)理念可以引導(dǎo)人們從多個(gè)角度尋求解決問題的方法,促進(jìn)問題解決的方法的推陳出新,激發(fā)人們勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神。

(三)形變質(zhì)通有利于培養(yǎng)學(xué)生抗挫折能力

人生需要執(zhí)著,它是人們前進(jìn)的源動(dòng)力;人生需要變通,它能使人化解困難。不變的是信念,善變的是努力的形式,只有將變與不變有機(jī)地結(jié)合起來,才能使人生絢麗多彩。從這個(gè)角度上看,面對數(shù)學(xué),形變質(zhì)通的數(shù)學(xué)理念不僅可以幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)中的難題;走出數(shù)學(xué),它還可以幫助學(xué)生解決生活中的難題,它可以保持著人們思想、機(jī)體中的平衡,使人們身處千變?nèi)f化的社會(huì)生活中仍能保持情緒的穩(wěn)定,擁有健康的心理。保持良好的心理狀態(tài),增進(jìn)人們的抗挫折能力,可謂是形變質(zhì)通數(shù)學(xué)理念的又一教育功效。

(四)形變質(zhì)通有助于培養(yǎng)學(xué)生的利他性品質(zhì)

運(yùn)用形變質(zhì)通的理念指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué),有利于培養(yǎng)學(xué)生的利他性品質(zhì)。從加德納的“多元化智力”理論中我們可以得知每個(gè)人在智力的優(yōu)勢方面存在著差異,如有的人邏輯思維強(qiáng)、有的人語言能力強(qiáng)等,因此同一道數(shù)學(xué)題目,不同的人會(huì)選取不同的方法來解答,而這每種不同的方法又都是同一數(shù)學(xué)知識的不同表征。所以,當(dāng)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,注重從不同的思維角度設(shè)計(jì)教學(xué),為學(xué)生提供適宜的開放性思維空間、搭制交流的平臺時(shí),學(xué)生獲取的不僅僅是數(shù)學(xué)知識、能力,更能夠換角度思考解答問題的方法,也能夠?qū)⒆约旱慕獯鸱椒ń榻B給與自己解法不同的學(xué)生。從而達(dá)到在學(xué)習(xí)資源共享的同時(shí),使學(xué)生學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)變換角度看問題,學(xué)會(huì)在自信的同時(shí)能夠欣賞他人,從而培養(yǎng)學(xué)生利他性品質(zhì)。

(五)形變質(zhì)通有利于豐富學(xué)生的情感

實(shí)踐證明,人的認(rèn)識越豐富,情感也越豐富;認(rèn)識越深刻,情感也越深刻。情感是在認(rèn)識的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的,沒有對某事物的一定認(rèn)識,就不可能對它有什么情感;同時(shí),只有在認(rèn)識基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展的情感才會(huì)反過來推動(dòng)和加深認(rèn)識,并把握這一認(rèn)識規(guī)律。情感與認(rèn)識是相互促進(jìn)的,所以,通情才能達(dá)理。除此之外,情感總是在一定的情境中產(chǎn)生的。情境中各種因素對情感的產(chǎn)生往往具有綜合性的作用。當(dāng)教師善于運(yùn)用形變質(zhì)通的數(shù)學(xué)理念來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué),能夠從同一數(shù)學(xué)知識的不同表征、不同知識的相同思想等著手設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué),在體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識高度變通性的同時(shí),為學(xué)生營造化難為易、化繁為簡的思考情境,使學(xué)生在思維的一“堵”、一“豁”的瞬間,情感得到豐富。

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].成都:四川教育出版社,2001: 48-49.

[2]課程教材研究所,數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.數(shù)學(xué)文化[M].北京:人民教育出版社,2003:119-121.

G623.5

A

1671-2277-(2011)04-0058-03

*張菁:天津市河西區(qū)馬場道小學(xué),天津市未來教育家奠基工程第二期學(xué)員。

責(zé)任編輯:喬 健