具Holling II功能反應的捕食系統的穩定性與最優收獲策略問題

丁建華，雒志學，朱清泉

(蘭州交通大學數理與軟件工程學院，甘肅蘭州 730070)

具Holling II功能反應的捕食系統的穩定性與最優收獲策略問題

丁建華，雒志學，朱清泉

(蘭州交通大學數理與軟件工程學院，甘肅蘭州 730070)

運用微分方程理論對具有Holling II功能反應的捕食系統進行研究.在適當的假設條件下，采用Routh-Hurwitz判別法證明了系統正平衡點是局部漸進穩定的，通過構造Liapunov函數證明了系統正平衡點是全局漸進穩定的，同時應用Pantryagin’s最大值原理給出了資源種群可持續生存的最優收獲策略.

捕食系統；Holling II功能反應；正平衡點；穩定性；最優收獲策略

早在1965年，Holling[1]在試驗的基礎上，對不同類型的物種，提出了3種不同的功能反應函數（Holling I、Holling II和Holling III）.此后，許多學者對具有Holling功能反應的捕食系統模型和多種群模型進行了廣泛研究，得到許多深刻而系統的結論[2-8].2007年，Shiguan Ruan[9]等人構造了如下模型：

通過穩定性分析，得到了系統內部平衡點全局穩定的結論.本文對該模型進行了改進，對食餌種群x和捕食者種群z進行捕獲，從而得到更加符合實際的模型.本文研究的數學模型如下：

1 系統的有界性

定理1 系統（2）的所有解在R上是有界的.

2 正平衡點的存在性和穩定性

2.1 正平衡點的存在性

對于系統（2），經過計算可知，若滿足條件

2.2 正平衡點的穩定性

定義函數

定理2 設正平衡點M存在.若x*h(x*) +Gz*> 0且h(x*)>h+*，其中

則它是局部漸進穩定的.

證明：系統（2）在正平衡點M(x*,y*,z*)處的雅可比矩陣為：

3 最優捕獲策略

在這一部分，本文應用動態系統最優控制理論討論如何控制捕獲努力度E，才能使在長期開發中所獲得的持續收益最大.假定種群x和z的單位市場銷售價格和單位努力量的捕獲成本恒定，分別為p1,p2,c，那么捕獲主體開發種群資源的經營目標就是應用Pantryagin最大值原理[10]尋找一個最優的捕獲努力量，使在長期資源開發中得到的貼現值

達到最大值，其中δ為貼現率，e?δt為貼現因子.

首先構建哈密頓函數：

其中，λ(t),λ(t),λ(t)為伴隨變量，u(t)=e?δt(pqx+pqz?c)?λqx?λqz為開關函

12311221132數.u(t) ≠0時的情況稱為正常，此時的控制對應于Bang-Bang控制；u(t) = 0的情況稱為奇異，此時的控制稱為奇異控制.所以上述線性問題的最優控制必是奇異控制和線性控制的結合，即最優捕獲有如下形式：

將（7）式、（11）式和（12）式分別代入方程（8）、（9）、（10）中，經過計算可得：

這是一個關于m的二次方程.由根與系數的關系可知：

因此，方程（17）的兩根m1,m2為正實根或具有正實部的虛根.方程（16）的解的形式為：

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[10]王朝珠, 秦化淑. 最優控制理論[M]. 北京: 科學出版社, 2003: 83-87.

Stability and Optimal Harvesting Policy of Predator-prey System with Holling II Function Response

DING Jianhua, LUO Zhixue, ZHU Qingquan
(School of Mathematics, Physics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

The Predator-prey System with Holling II function response was studied by using the theory of differential equation. Under appropriate assumption, the locally asymptotical stabilty of system’s positive equilibrium was proved by applying Routh-Hurwitz criterion, the globally asymptoticical stability of the positive equilibrium was proved by constructing a Liapunov function and the optimal harvesting policy for permanence of resource stock was obtained by applying Pantryagin’s Maximum Principle.

Predator-prey System; Holling II Function Response; Positive Equilibrium; Stability; Optimal Harvesting Policy

(編輯：王一芳)

O175.14

A

1674-3563(2011)01-0001-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.01.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2010-05-09

國家自然科學基金(10771048)

丁建華(1986- )，女，甘肅天水人，碩士研究生，研究方向：生物數學，最優控制理論