行到水窮處 坐看云起時(shí)

518040 廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)廣東省黃顯甫名師工作室 黃元華

行到水窮處 坐看云起時(shí)

518040 廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)廣東省黃顯甫名師工作室 黃元華

新課標(biāo)理念下的數(shù)學(xué)課有一個(gè)永恒的原則，那就是尊重學(xué)生，保護(hù)學(xué)生參與課堂的熱情和積極性，鼓勵(lì)他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題．教師須順應(yīng)學(xué)生的心理需求不斷調(diào)整自己的教學(xué)思路，與學(xué)生一起自然“生成”課堂．教師應(yīng)敏銳地發(fā)現(xiàn)和捕捉契機(jī)，善于啟發(fā)和激勵(lì)，引發(fā)學(xué)生火熱的思考，把他們的探究引向深入，把學(xué)生的視野拓展至更為廣闊的思維空間．教師不要急于推銷自己的想法，不要強(qiáng)行把學(xué)生的思路硬性拉到自己預(yù)設(shè)的軌道上來(lái)，否則“強(qiáng)按牛頭不喝水”，也是枉然．上課應(yīng)如行云流水，“行到水窮處，坐看云起時(shí)”，追求一種清新淡雅、深邃渺遠(yuǎn)、渾然天成的自然境界．

本文所說(shuō)的“鏈?zhǔn)剿伎肌保础耙贿B串的思考”，主要指由一個(gè)問題到另一個(gè)問題的縱向或橫向的溝通、聯(lián)想與延伸．在一次高三兩節(jié)連堂復(fù)習(xí)課上，筆者講到這樣一道典型的數(shù)列題，引發(fā)了師生一連串的思考與探究．

題目 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S10=100，S100=10，求 S110．

此題解法很多，限于篇幅，這里只給出四種典型解法的要點(diǎn).

解法1 設(shè){an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn，則由已知可得關(guān)于a，b的方程組，

解法4 依次將數(shù)列{an}的每10項(xiàng)作為數(shù)列{bn}的一項(xiàng)，則得等差數(shù)列{bn}，其中b1=100，前10項(xiàng)和為10，解得等差數(shù)列{bn}的公差為-22，所以 b11=-120，則S110=-110．

教師:四種解法，風(fēng)格各異，覆蓋面廣，視野開闊，解法1用的是“基本量法”;解法2別出心裁地利用了直線方程;解法3利用等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)，構(gòu)造了一個(gè)新的等差數(shù)列;解法4中的等差數(shù)列等同于解法3，但又顯得大氣和簡(jiǎn)潔明快，都給我們以深深的啟迪．

鏈?zhǔn)剿伎?——例1的推廣

絢麗多姿的各種解法烘熱了學(xué)生的大腦，激活了學(xué)生的思維，所以當(dāng)教者準(zhǔn)備進(jìn)入下一個(gè)問題的探討時(shí)，一個(gè)平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)并不突出的學(xué)生(生1)站起來(lái)說(shuō):我由也得到同樣的結(jié)果，不知道這是巧合，還是必然?

太妙了!生1能提出這樣的問題，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)比較隱蔽的關(guān)系式，一方面表明他的勇氣可嘉，另一方面說(shuō)明輕松和諧的課堂氣氛激發(fā)了他潛在的智慧.雖然打亂了教者預(yù)設(shè)的教學(xué)程序，但教者還是熱情地予以表?yè)P(yáng):生1的解法具有一定的創(chuàng)意!請(qǐng)同學(xué)們通過自主探究與合作交流，對(duì)此作出評(píng)價(jià)．

生2(很自信地):我認(rèn)為生1的解法不是巧合，而是必然(眾生笑)，事實(shí)上，可有一般性的結(jié)論:

結(jié)論1 若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則

教師:誰(shuí)能證明該結(jié)論?(生2給出的證明過程略)

教師:由生1的等式推廣到等式①，足見生2敏銳的洞察力和超人的想象力!(大家把熱烈的掌聲獻(xiàn)給生2，生2特興奮)．有了等式①，下面兩題則迎刃而解．

例2 等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則前3m項(xiàng)和為

鏈?zhǔn)剿伎?——等式①的特例與推廣

基于以上研究，生3又得出了例1的一般性結(jié)論:

結(jié)論2 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若SP=q，Sq=p(p≠q，p，q∈N*)，

則Sp+q=-(p+q)．

生4:結(jié)論2不過是等式①的特例，我把等式①稍加推廣，得到

結(jié)論3中的等式左右兩邊對(duì)稱，顯得和諧美觀，便于記憶．從等式②推廣到結(jié)論3又是一個(gè)質(zhì)的飛躍!等式②的奇妙結(jié)構(gòu)使師生突發(fā)奇想，此式與斜率公式類似啊!于是又展開了在更廣闊領(lǐng)域里的討論．

鏈?zhǔn)剿伎?——拋物線的相關(guān)性質(zhì)

教師:由等式②，同學(xué)們能聯(lián)想到什么?

生6:如圖1，等式②即 kAB=kCD，則 AB∥CD．而條件 m+n=p+q，即 A，B 兩點(diǎn)與 C，D 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和相等，因此我猜想應(yīng)有如下結(jié)論.

結(jié)論4 設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象上有四點(diǎn)A，B，C，D，若 xA+xB=xC+xD，則AB∥CD．

教師:你能證明你的猜想嗎?

生6:還沒來(lái)得及思考(眾生笑)．

教師:誰(shuí)能證明生6的猜想?(類似于“招標(biāo)、投標(biāo)”，極大地激發(fā)了學(xué)生思維的積極性)

圖1

大家很快發(fā)現(xiàn)，結(jié)論4的逆命題也成立，故有

結(jié)論5 拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象上有四點(diǎn) A，B，C，D，則 AB∥CD 的充要條件是 xA+xB=xC+xD．

教師:根據(jù)結(jié)論5，大家又能得到什么?(教師的問題不宜太具體，要給學(xué)生留有廣闊的探究空間和充足的回旋余地．三分鐘探究后)

生8:拋物線的平行弦的中點(diǎn)的軌跡是一條與其對(duì)稱軸平行的直線．

圖2

則EF與拋物線的對(duì)稱軸平行．

生9:生8的結(jié)論有漏洞，應(yīng)這樣表述才完善:

結(jié)論6 拋物線平行弦的中點(diǎn)的軌跡是一條與其對(duì)稱軸平行或重合的射線(不含端點(diǎn)，如圖3)．

教師:生8具有過人的歸納提升能力!生9的思維特別嚴(yán)謹(jǐn)!結(jié)論6很重要且很優(yōu)美!下面請(qǐng)同學(xué)們從上面的研究出發(fā)，繼續(xù)展開思維的翅膀，開展小組合作探究．下節(jié)課我們將請(qǐng)各組推選代表上臺(tái)展示探究成果．

鏈?zhǔn)剿伎?——有心圓錐曲線平行弦中點(diǎn)的軌跡探討

生10:我們小組由拋物線的平行弦中點(diǎn)軌跡問題展開橫向思考，得出了橢圓、雙曲線的平行弦中點(diǎn)軌跡方程．

圖3

圖4

圖5 圖6

鏈?zhǔn)剿伎?——圓錐曲線過定點(diǎn)弦的中點(diǎn)的軌跡探討

生12:我們小組由圓錐曲線平行弦聯(lián)想到過定點(diǎn)的弦，也得出了一組結(jié)論．

提前說(shuō)明兩點(diǎn):(1)若有心圓錐曲線的動(dòng)弦過定點(diǎn)，且定點(diǎn)是有心圓錐曲線的中心，則易知?jiǎng)酉业闹悬c(diǎn)的軌跡就是該定點(diǎn)．故為了敘述方便，下文中的定點(diǎn)(s，t)都不是有心圓錐曲線的中心．(2)因定點(diǎn)(s，t)所處位置的變化，下文中所求軌跡可能是整個(gè)圓錐曲線，也可能是圓錐曲線的一部分，為了行文方便，下文不一一說(shuō)明．

圖7

圖8

生13(主動(dòng)要求說(shuō)):我發(fā)現(xiàn)，上面6個(gè)(結(jié)論6～結(jié)論11)可以統(tǒng)一簡(jiǎn)述為:

結(jié)論12 圓錐曲線平行弦的中點(diǎn)的軌跡是直線或者直線的一部分;圓錐曲線過定點(diǎn)(不是有心圓錐曲線的中心)的弦的中點(diǎn)的軌跡是與其同類的圓錐曲線(或者其一部分)．

教師:從6個(gè)結(jié)論總結(jié)提升出結(jié)論12，除了需要相當(dāng)?shù)某橄蟾爬芰χ猓€必須具備非凡的創(chuàng)造力!這已經(jīng)不是一般的數(shù)學(xué)課堂，而是真正的數(shù)學(xué)科研!(同學(xué)們自發(fā)地為生13鼓起掌來(lái))

生13(很謙虛地):這不是我一個(gè)人的功勞，而是我們小組五個(gè)成員集體智慧的結(jié)晶!

新課標(biāo)理念下的數(shù)學(xué)課堂鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、合作交流、動(dòng)手實(shí)踐．在備課時(shí)教師理應(yīng)作出多種教學(xué)預(yù)設(shè)．但要知道，真正的課堂遠(yuǎn)比教案生動(dòng)、豐富、精彩，正如葉瀾教授所說(shuō):“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的旅程．”因此，教案只是教學(xué)過程的一個(gè)藍(lán)本，即使我們課前作出了多種預(yù)設(shè)，也難以窮盡課堂上可能會(huì)出現(xiàn)的各種情況．這顯然對(duì)教師駕馭課堂的能力提出了更高的要求．

總之，新課標(biāo)理念下的數(shù)學(xué)課堂絕不是照搬教案的機(jī)械演出，而是師生共融其中、二者智慧相激相蕩的一段精神歷程．在這樣的課堂里，靈感的火花會(huì)不斷綻放，新意迭出的解題方案會(huì)大量呈現(xiàn)，學(xué)生的激情和創(chuàng)造力會(huì)得到最大程度的釋放．師生都能從中享受到生命的溫暖、智力勞動(dòng)的愉悅和創(chuàng)造的幸福!

1 教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))．人民教育出版社．2003，7

2 葉瀾．讓課堂煥發(fā)出生命活力．教育研究．1997，9

3 黃元華．如何生成讓師生心靈舒展的數(shù)學(xué)課堂．廣東教育，2011，1

20110507)

圖9