一節別開生面的解題探究課

313000 浙江省湖州新世紀外國語學校蓮花莊校區 黃加衛

一節別開生面的解題探究課

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眾所周知，解題教學是高三數學總復習教學的重要環節，解題教學質量的高低直接決定總復習教學的效果．如何提高解題教學的質量呢?而不久前筆者的一節解題探究課一方面通過心理學相關知識的輔助，另一方面在呈現方式上進行了新的嘗試，取得了一定的收獲．下文是這節課堂教學的實錄及若干反思，不當之處敬請指正．

1 一節利用心理學圖形進行解題情境創設的探究課

師:眾所周知，數學思維的特點是它的抽象性，抽象的概念通常是以圖象的形式儲存和呈現的.因此數學思維活動在大多數場合都以圖象的組合和變換的方式來實現，對圖象的恰當應用必然有助于數學創造性思維的發生．那么大家看過圖1這幅圖形嗎?自然界存在這樣的圖形嗎?

生:看到過，麥比烏斯圈!我在自然界沒有看到過這樣的圖形，但是確實可以做出這樣的圖形的!

師:很好，麥比烏斯圈是一種單側、不可定向的曲面．當然也存在著這樣的圖形．同時它也是拓撲學中最有趣的單側面問題之一．麥比烏斯圈的概念被廣泛地應用到了建筑、藝術、工業生產中．那么在自然界大家有沒有見過如圖2-5這樣的圖形呢?

圖1

圖2 圖3

圖4 圖5

學生看見圖形之后非常興奮，于是就熱烈地討論起來．不一會兒就發現這幾個圖形均是在自然界和實際生活中不可能存在的．

師:我們知道，心理學上的一些經典圖象常具有強烈的說明及暗喻作用．通過大家討論的結果可以表明:這些圖形只能在圖畫中存在著，在實際生活中是不可能有的，這種圖形在心理學上稱為“不可能圖形”．事實上，大家有沒有發現這些圖形的確也給人一種十分“漂亮、完美”之感?

大家紛紛點頭表示贊同．

師:這種形似完美但實則荒謬的現象在數學解題中也會同樣出現．下面請大家花十五到二十分鐘研究一下幻燈片上面的有關數列內容的問題組以及一些同學給出的參考答案，然后發表一下自己的觀點．

圖6

師:棒極了，切中要害!顯然，在利用導數解決數列的單調性問題時，所設置的輔助函數必須是可導的，而幻燈片上給出的解法明顯違背了這一條．所以在利用各知識之間的相互聯系解決問題時應注意它們自身的特殊性．那么問題(3)的解法如何呢?能否從剛才的討論中得到某些有價值的啟示呢?

生6:這道問題的解法肯定是錯誤的，因為我算了一下，好象a12=180，比a3大多了!但是上面的解法好象也是我們求最值問題中的一種常見解法，真是奇怪．難道也像是第(2)道問題一樣，方法推導出了問題?

老師觀察到學生都覺得有些疑惑，就讓大家分小組進行討論．過了一會兒，有一個小組的同學要求發言．

生7:我們小組覺得這個錯誤不能歸結于“函數”身上，否則也就太“竇娥冤”了!實際上，我們認為還可以利用函數的知識加以分析，即若存在正整數k滿足:…≤ak-1≤ak≥ak+1≥…，這只能說明:與函數的性質類似，ak不小于它鄰近的項，只能是一個極大項，而不一定是整個定義域上的最大項．

這時學生們如醍醐灌頂，頓時醒悟過來，并對這個小組給予了熱烈的掌聲．

師:漂亮!那么我們趁熱打鐵，用什么方法可以解決這一問題呢?

于是就出現了不同意見，如“既然與函數進行類比，那么可以借鑒函數的的單調性定義進行求解”;“也可以利用導數工具去進行求解!”;“與函數的極值問題相比較，可以先求出數列所有的極大項，然后求出a1和另一個端點項a12，最后比較a1，a12與所有的極大項，最大的一項即所求的最大項!”然后師生便用以上三種方法對此題進行了求解，并進行了相應地比較，優化了學生們的認知結構．

然后對最后一個問題的發言、討論和研究越發熱烈．最后大家統一了看法，即:

并且學生們還給出了解決問題的正確方法．

師:我們在學習上出現錯誤，有時是因認識偏差、有時是因思維出現障礙、有時是因不良習慣(如粗心)等引起的，而大家在此時會表現出困惑或無所適從．這時要利用各種角度去審視問題，不能被問題的表面現象所迷惑，即要揭開種種“不可能圖形”的虛假外貌，加強對問題的批判性，從而得到總結提高．

隨后老師布置了作業，完成了這節別開生面的解題探究課．

2 對這節解題探究教學案例的若干分析

首先，新課標指出:“教材中素材的選取，首先要有助于反映相應數學內容的本質，有助于學生對數學的認識和理解，激發他們學習數學的興趣，充分考慮學生的心理特征和認知水平．”本節課利用學生對于圖象特征的吸引力以及敏感性，抓住“不可能圖形”外表新奇、實質謬誤的特點進行“意義影射”，為本節課的教學奠定了知識與情感基礎，同時增加了學生對后面內容的探求欲望．

其次，桑代克試誤學習理論指出:試誤是人類認識世界的主要方法之一，沒有大量錯誤作臺階就不能攀上正確結果的寶座．所以在教學中對于學生的糾錯顯得尤為重要．事實上也是這樣，讓學生弄明錯因，使其自覺地糾正錯誤，這幾乎是每個數學老師的共同愿望．但教與學的時間畢竟是有限的，我們不可能有過多的精力去指導學生辨錯、糾錯;另一方面，“提倡矯正性反饋也有可能會產生負作用，即會使學生一直依賴于教師的指正．”(布魯納語)．因此摸索藝術的糾錯方法，花較少的時間，取得最佳的糾錯效果，就成為我們思考的問題．從本節課看來，通過學生自主分析、合作探究、教師指導等方式對數列內容中的看起來“無懈可擊”、“根深蒂固”的錯誤進行集中“行動”，取得了顯而易見的效果，值得進行總結與探索．

另外，進入高三復習，除了簡單的知識回顧外，還要注意知識的不斷深化，特別要注意數學知識之間的關系和聯系，逐步形成擴展的知識結構系統，使學生能在大腦記憶系統中構建“數學認知結構”，形成一個條理化、有序化、網絡化的有機體系．而我們也不難看出，這節課著重強調在處理函數與數列這兩大高中數學主干知識的聯系和區別時，應注意各自的特點，特別是運用函數知識解決數列問題時，應注意數列的離散型特征．此外，其教學過程也充分體現了新課程標準中的強調學生“經歷了什么”、“體會了什么”、“感受了什么”的宗旨．

當然，在數學教學中，由于糾錯是提高教學質量的一個重要環節，教師既可以象本節課那樣針對學生的普遍錯誤組織學生分析討論，從而消除某些困惑、糾正存在的相關問題;也可針對部分學生或個別學生的錯誤采取各種恰當的糾錯藝術和教學形式，從而達到優化思維過程的目的，從而使學生系統掌握有關知識、技能和方法，培養學生的辨證思維能力和自我糾錯能力．

1 普通高中數學課程標準(實驗)［M］.北京:人民教育出版社，2003

2 施良方.學習論(第二版)［M］.北京:人民教育出版社，2001

3 喻平.數學教育心理學［M］.廣西:廣西教育出版社，2004

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