對(duì)三個(gè)指數(shù)方程求解的質(zhì)疑

442001 湖北省十堰市東風(fēng)高中甘志國(guó)工作室 甘志國(guó)

對(duì)三個(gè)指數(shù)方程求解的質(zhì)疑

442001 湖北省十堰市東風(fēng)高中甘志國(guó)工作室 甘志國(guó)

求解底數(shù)與指數(shù)均有未知數(shù)的方程是有較大難度的，筆者發(fā)現(xiàn)一些文獻(xiàn)求解這類方程時(shí)僅限于猜出答案，也沒(méi)有注意定義域問(wèn)題，所以解答不嚴(yán)謹(jǐn).本文將分析這樣的三道題目.

題1 (見(jiàn)專著［1］第66頁(yè)的第2題)(指數(shù)方程)試解方程：xx2-1=3.(提出人：廣東大埔高陂方丁)

下面再給出題1的推廣問(wèn)題的若干結(jié)論.

定理2 若a是已知的正實(shí)數(shù)，則方程xx2-1=a(x＞0)的全部解是：

(1)當(dāng)0＜a＜1 時(shí)，無(wú)解;

(2)當(dāng)a=1時(shí)，解集是{1};

問(wèn)題 請(qǐng)讀者找出方程xx2-1=a(x∈R)有四個(gè)解的例子.

題2 (一團(tuán)漆黑)試解方程xx=x.

這里面連一個(gè)已知數(shù)都沒(méi)有，不是一團(tuán)漆黑嗎?

該書(shū)第204頁(yè)給出的解答是：

用兩端取對(duì)數(shù)的方法來(lái)解這個(gè)方程

xlgx=lgx，(x-1)lgx=0，

所以x=1，

經(jīng)檢驗(yàn)知x=1是原方程的根.

奇怪的是x=-1也是原方程的根，可是它不能通過(guò)解方程的正常途徑而得到.

(見(jiàn)專著［2］第160頁(yè))

該解答體現(xiàn)了趣味性，但不是完整的解答.

文獻(xiàn)［3］用較長(zhǎng)篇幅求出了方程xx=x的所有實(shí)數(shù)解只有兩個(gè)：x=±1.專著［4］也給出了該方程所有實(shí)數(shù)解的簡(jiǎn)潔求法，下面再給出兩種簡(jiǎn)解(只須再求x＜0的解)：

再由已得的結(jié)論方程 tt=t的正數(shù)解是 t=1，得-x=1，x=-1.

題3 (解指數(shù)方程組)試解聯(lián)立方程式：x+y=5，xy+yx=17.(提出人：楊擎天)

解 由第一式得出y=5-x，代入第二式就有x5-x+(5-x)x=17.

令s=x5-x+(5-x)x，當(dāng)x，y都只允許取實(shí)數(shù)的時(shí)候，要s的值等于17，就可以看出x與y都是有界的.如果把x=8代入s的表示式就有s＞17，這就表明x只能小于8才可能滿足所給的兩個(gè)方程.

又因?yàn)閤與y互換，原方程式是不變的，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)可以得出x=2，y=3與x=3，y=2是原方程組的2解.

(見(jiàn)專著［1］第2頁(yè)的第2題)

對(duì)于題2，其解答有以下不嚴(yán)謹(jǐn)之處：

(1)看不出x與y都是有界的.

設(shè)s(x)=x5-x+(5-x)x，由s(8)＞17不易得出“s(x)＜s(8)?x＜8”，因?yàn)椴灰鬃C得函數(shù) s(x)在x＜8時(shí)是增函數(shù)(事實(shí)上，s(6)＞s(7)).

(2)由“x與y互換原方程式是不變的”，只能得到“若(x，y)=(x0，y0)是原方程組的一組解，則(x，y)=(y0，x0)也是原方程組的一組解”，但難以得出原方程組的所有實(shí)數(shù)解是(x，y)=(2，3)，(3，2).

筆者認(rèn)為，完整解答此題是有難度的.

1 劉培杰主編.400個(gè)中國(guó)最佳初等數(shù)學(xué)征解老問(wèn)題［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009

2 談祥柏，楊京玉.趣味代數(shù)300題［M］.北京：中國(guó)青年出版社，1998

3 芝原，趙慈庚主編.指數(shù)方程xx=x的解法.初等數(shù)學(xué)研究［C］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1990

4 甘志國(guó)著.初等數(shù)學(xué)研究(I)［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008

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