巧裂項求數列的和 妙放縮證明不等式——淺談一類高考數列不等式問題的求解策略

510900 廣東省廣州市從化中學 楊仁寬

巧裂項求數列的和 妙放縮證明不等式
——淺談一類高考數列不等式問題的求解策略

510900 廣東省廣州市從化中學 楊仁寬

1 緣起

在新課程人教A版數學選修2-2中，有這樣的例題與習題：

這類問題的求解，可以采用“裂項求和”法，由于裂項變形時能較好地考查數學技能技巧，而成為高考命題的重要切入點.尤其是與不等式相關聯，更是成為高考命題的亮點!本文結合近年高考題或模擬題，例析這類問題求解的主要思路與策略.

2 求解的主要思路與策略

2.1 借分式性質裂項，適當放縮證明不等式

點評 本題求解的關鍵，在于利用分式的性質，把bn分裂成兩項之差，以利于求和!再看下例.

(1)求 a1，d 和 Tn;

(2)若對于任意的 n∈N+，不等式 λTn＜n+(-1)n8恒成立，求實數λ的取值范圍;

(3)是否存在正整數 m，n(1＜m＜n)，使得 T1，Tm，Tn成等比數列?若存在，求出所有m，n的值;若不存在，請說明理由.

當且僅當 m=2，n=12 時，數列{Tn}中的 T1，Tm，Tn成等比數列.

點評 本題考查了等差、等比數列的概念及性質，求解的關鍵，是借助于分數的性質對bn作恒等變形而裂項，進而求得Tn的表達式.

類似地，有2011年天津文科和理科壓軸題、2008年江西理科第18題，以及下例.例3 (2010年湖南文科壓軸題)給出下面的數表序列：

其中表 n(n=1，2，3，…)有 n行，第1行的 n個數是1，3，5，…，2n-1，從第 2 行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和.

(1)寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表n(n≥3)(不要求證明);

它的第 1，2，3，4 行中各數的平均數分別為 4，8，16，32，它們組成首項為4、公比為2的等比數列.

將此結論推廣到表n(n≥3)，有下列結論：

表n(n≥3)各行中的數的平均數按從上到下的順序構成以n為首項、2為公比的等比數列.

(2) 因為表n(n≥3)各行中的數的平均數按從上到下的順序構成以n為首項、2為公比的等比數列，所以第k行中各數的平均數為n×2k-1，于是表n中最后一行的一個數為bn=n×2n-1.

2.2 借根式的性質裂項，適當放縮證明不等式

例4 (2011年湖南十二校聯考題)已知a為正常數，在曲線Cn：y=上的一點 Pn(xn，yn)處的切線 Ln總經過定點(-a，0)(n∈N*);

(1)求證：點列 P1，P2，…，Pn，…在同一直線上;

點評 此例求解的關鍵，在于對bn恒等變形，借助根式的性質而裂項求和，進而將“不等式恒成立”問題化歸并轉化為求離散函數的最小值問題.

2.3 借對數性質裂項，適當放縮證明不等式

點評 上述證明的關鍵，是仔細觀察結構特點，適當構造對數函數，巧妙賦以變量之值，借助對數運算性質而裂項!求和之后的適度放縮，已是水到渠成了!

1 楊仁寬.創設新穎情境，體現課標理念，考查探究能力［J］.中學數學，2010，8

2 楊仁寬.繼承優良傳統，探索命題創新——2011年廣東高考數學試卷評析［J］.高中數理化，2011，7(下)

3 周偉忠.數列不等式證明方法比較［J］.中學數學，2008，4

20110726)