對一道試題解答的否定之否定

315806 浙江省寧波市北侖明港中學 甘大旺

對一道試題解答的否定之否定

315806 浙江省寧波市北侖明港中學 甘大旺

文［1］首先出示了浙江省臺州市2011年3月的一道模擬試題(以后簡稱原試題)——

將3個完全相同的小球隨機地放入編號依次為1，2，3，4，5的盒子里，用隨機變量ξ表示有球盒子編號的最大值．

(Ⅰ)求 P(ξ=2);

(Ⅱ)求ξ的分布列和數學期望．

然后，文［1］表述命題組的4位專家提供的解題過程，并同時指出命題組的解法是錯誤的．錯在哪里呢?文［1］有下面一個有趣案例來剖析——

某戶家庭有兩個孩子，問這戶人家有男孩女孩各一個的概率是多少?

筆者同意文［1］作者對于有趣案例的解析，問題在于這個有趣案例與原試題雖然可類比但卻不是“同構”的，有趣案例屬于“不同元素放不同位置”問題，而原試題則屬于“相同元素放不同位置”問題，于是不應該把有趣案例的解答思路遷移運用到原試題．所以，文［1］的剖析和更正都是缺少根基的．

我們再來看文［2］中的第8題——

編號依次為1，2，3，4，5的盒子可供3個小球隨機地被全部放入，用隨機變量ξ表示有球盒子編號的最大值(如ξ=3表示盒3必定有球，盒4、盒5必定無球，盒1、盒2有球或無球，等)．

(1)當這3個小球完全相同時，求Eξ;

(2)當這3個小球兩兩不同時，求Eξ．

通過比對，我們發現原試題與這道題的第(1)小題是雷同的，文［1］對原試題的“正確解法”其實是把題意誤解成為這道題的第(2)小題，其錯因在于文［1］“必須把‘完全相同’的小球要看成‘完全不同’的小球”．所以，文［1］的“正確解法”是錯誤的，命題組的4位專家提供的解題過程是正確的．

順便地，我們可把原試題推廣到一般情形——

此定理的詳細論證過程較長，見文［3］．文［3］末尾附有編者后記:“這篇質疑和探究的文章在編輯部引起了激烈的爭論…，…，我們相信求真的過程有時比真理本身還要重要”．

此外，假如把這個定理中條件的“無序小球”替換成“有序小球”，其余條件不變，則相應結論如何變更?請讀者思考.

1 金勝利.一個概率試題的深思考［J］.中學數學，2011，7

2 甘大旺.新題征展(106)［J］.中學數學，2009，4

3 甘大旺.對一道放球問題的質疑與探究［J］.高中數理化，2007，3

20110922)