全程跟蹤衛星或飛船的測控站數量模型

王積建，王曉紅

（浙江工貿職業技術學院 a.基礎部；b.圖書館，浙江 溫州 325003）

全程跟蹤衛星或飛船的測控站數量模型

王積建a，王曉紅b

（浙江工貿職業技術學院 a.基礎部；b.圖書館，浙江 溫州 325003）

為了確定全程跟蹤衛星或飛船的測控站數量，在不考慮地球自轉影響和考慮地球自轉影響的情況下，使用幾何方法分別建立了對衛星或飛船進行全程測控時所需要的最少測控站數量模型，并針對“神舟七號”飛船給出了所需最少測控站數量，估算出“神舟七號”飛船所能測控的有效范圍。

衛星測控；數學建模；神舟飛船

0 引 言

近年來，神舟系列飛船的成功發射顯示了我國在航天領域取得的巨大成就，航天也成了人們普遍關注的熱門話題。2009年全國大學生數學建模C題就是關于衛星或飛船的跟蹤測控問題，給出以下三個問題：

（1）在所有測控站都與衛星或飛船的運行軌道共面的情況下至少應該建立多少個測控站才能對其進行全程跟蹤測控？

（2）如果一個衛星或飛船的運行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，且在離地面高度為H的球面S上運行。考慮到地球自轉時該衛星或飛船在運行過程中相繼兩圈的經度有一些差異，至少應該建立多少個測控站才能對該衛星或飛船可能飛行的區域全部覆蓋以達到全程跟蹤測控的目的？

（3）收集我國一個衛星或飛船的運行資料和發射時測控站的分布信息，分析這些測控站對該衛星所能測控的范圍。文獻[1]只是給出了一個解決以上三個問題的基本思路，但缺乏完整性和可讀性。本文在此基礎上進行深入、詳細的研究，完整地解決了衛星或飛船的全程跟蹤測控問題。

1 問題1的解決

1.1 當衛星運行軌道為圓時

衛星運行軌道為圓時的剖面如圖1所示。其中，設R為地球半徑；H為衛星距離地面的高度；為衛星觀測站的最低仰角；v為衛星的線速度。

在圖1所示的三角形ODS中，利用正弦定理得：

圖1 衛星運行軌道為圓時的剖面

其中[]內取整數部分。

這表明衛星到地球表面的距離越大，一個測控站的觀測范圍越大，所需測控站的數目越少。

表1 衛星或飛船在不同高度下所需測控站數量

每個測控站所能測控的時間為：

對于“神舟七號”飛船，H=343km，所需測控站數量為n=[11.5177]+1=12個。由v=7.820km/s可得出每個測控站所能測控的時間為t=3.61m i n。

1.2 當衛星運行軌道為橢圓時

以地球中心為極點O，衛星運行軌道（橢圓）的左焦點F1在極點，射線F1F2為極軸，衛星運行軌道為橢圓時的剖面如圖2所示。

圖2 衛星運行軌道為橢圓時的剖面

在圖2所示的三角形OAP1中，利用正弦定理得：

逐步遞推求解，直到 為止，此時確定的最后一個測控站為Pn。這樣一共有n+1個測控站。

由（4）、（5）、（6）式可求出近地點d1和遠地點d2在不同組合下所需測控站數量（見表2）。

表2 橢圓軌道下所需測控站數量

以“神州七號”飛船為例，其近地點為200 km，遠地點為343 km，通過計算得出需要14個測控站就可實現全程測控的目的。“神州七號”飛船14個測控站的坐標（第一個測控站取）見表3。

表3 “神州七號”飛船14個測控站的坐標

畫出14個測控站點、地球表面曲線、飛船軌跡及每個測控站測控的范圍，如圖3所示。實線是地球表面曲線，五角星表示測控站，虛線表示飛船軌跡，圓點表示各個測控站測控的始點和終點，從每個測控站點出發的折線表示該測控站測控的范圍。

圖3 “神州七號”飛船14個測控站的分布

以下推導各個測控站所能測控的時間范圍。

該測控站所能測控的時間為：

以“神州七號”飛船為例，通過計算得出14個測控站所能測控的時間（見表4）。

表4 “神州七號”飛船14個測控站所能測控的時間

2 問題2的解決

由于地球自轉的影響，飛船在運行過程中的每一圈的星下線的位置都會向西偏移，如圖4所示[2]。

圖4 “神州七號”飛船星下線軌跡

任何一個地面上固定的測控站都無法觀測飛船的某些圈的運行軌道段。根據飛船運行軌道與地球赤道平面有固定夾角這一情況，假設飛船在離地面高度為H的球面S上運行，此時飛船的運行區域落在一個赤道周圍的球面的帶形區域中。考慮到地球自轉時該飛船在運行過程中的相繼兩圈的經度有一些差異，希望通過一些測控站覆蓋區域以達到全程跟蹤監測的目的。這需要計算所需覆蓋的面積和一個測控站所能覆蓋的區域面積，然后再計算這二者的比值。

2.1 一個測控站所能覆蓋的區域面積

由于地面一個測控站的測控范圍只考慮其與地平面夾角3°以上的空域，所以該測控站的測控范圍形成一個以測控站為頂點的圓錐體，如圖5所示。

圖5 以測控站為頂點的圓錐體

2.2 飛船形成的球形帶狀區域面積

飛船運行的區域是球面上不包括南北兩極所在的球冠的帶狀區域，如圖6所示。

圖6 飛船形成的球形帶狀區域

2.3 計算測控站所需數量

覆蓋飛船運行區域測控站所需數量為：

上面的計算只是一個非常粗略的估計，實際上每個測控站的測控區域免不了有些重合。可使用圓內接正六邊形覆蓋所涉及的區域，如圖7所示。

圖7 圓內接正六邊形區域

3 問題3的解決

“神舟七號”飛船在第583 s飛船與火箭分離，隨后飛船正常進入預定軌道，飛船在近地點200 km、遠地點343 km的橢圓軌道，入軌飛行速度7.820 km/s。實施變軌后，在距地球表面約343 km的近圓工作軌道運行，飛行一圈需要90 m i n[3]。“神舟七號”飛船測控通信系統，除了5艘遠望號測量船外，在國內有主場站、喀什站、和田站、東風站、青島站、渭南站、廈門站7個地面測控站；在國外也有卡拉奇站、馬林迪站、圣地亞哥站、納米比亞站4個地面測控站;還有遠一站等5個測控站,以上16個測控站組成了一個“神舟七號”飛船的監控天網，時刻掌握著相關信息，并發送指令，全程保護安全[4]。“神舟七號”飛船16個測控站的經緯度見表5。

表5 “神舟七號”飛船16個測控站的經緯度

使用O r b i t r o n軟件，在（局部）世界地圖上動態描繪出“神舟七號”飛船的星下線軌跡，并根據各個測控站的經緯度利用網格法求測控覆蓋率，如圖8所示。需要說明的是，飛船運行區域的投影網格的長度是從西經180°到東經180°，寬度是從南緯42.2°到北緯42.2°。

圖8 網格法求測控覆蓋率

利用網格法可估算“神舟七號”飛船的測控覆蓋率[5]。將飛船運行的球形帶狀區域面積在地球表面上的投影展開成網格平面，畫出每個測控站所能測控的范圍（用圓面積表示），通過計算所有測控站所能測控的有效面積之和與飛船運行的區域面積的比值，就是測控覆蓋率。

“神舟七號”飛船軌道剖面如圖9所示。

圖9 “神舟七號”飛船軌道剖面

4 結束語

使用幾何方法建立了對衛星或飛船進行全程測控時所需最少測控站數量模型，并針對“神舟七號”飛船給出了所需最少測控站數量，估算出“神舟七號”飛船所能測控的有效范圍。因此，具有思路清晰、方法簡捷、模型簡單、結果準確的優點，尤其適合高職學生的知識基礎和能力水平。

[1] 周義倉，譚永基. 衛星和飛船的跟蹤測控問題的命題和評注[ J ] .工程數學學報，2009，26 (增刊二) :189-195.

[2] 查春明.神舟七號載人飛船運行軌跡圖[EB/OL].(2008-09-26)[2011-01-18].http://news.qq.com/a/20080926/002700.htm.

[3] 神七飛行任務計劃曝光:27 日下午6 時左右出艙[EB/OL].(2008-09-23)[2011-01-18].http://www.chinanews.com/gn/news/2008/09-23/1390490.shtml.

[4]5 艘巨輪加11 個地面站組成測控天網護神七[EB/OL].(2008-09-26)[2011-01-18].http://news.sohu.com/20080926/n259755655.shtml.

[5] 鐘志平，鄭思穎，羅凱. 航天測控網的數學模型[ J ] .工程數學學報，2009，26 （增刊二）:177-178.

Quantitative Model on Monitoring and Control Stations of Traching Satellites or Spaceships

WANG Jijiana, WANG Xiaohongb(a. Basic Courses Department;b. Library, Zhejiang Industry and Trade Polytechnic, Wenzhou,325003, China)

To determine the number of on monitoring and control stations of tracking satellites or spaceships, in both the case of disregarding and regarding the influence of the rotation of the earth, a quantitative model of the fewest on monitoring and control stations of tracking satellites or spaceships by geometric methods is established. In addition, in view of "Shenzhou VII" manned spaceship, the fewest monitoring and control stations needed is presented and the effective range "Shenzhou VII" manned spaceship can cover is estimated.

Satellite monitoring and control; Mathematical modeling; Shenzhou VII manned spaceship

V556

A

1671-4326(2011)02-0042-06

2011-02-24

王積建（1966—），男，甘肅景泰人，浙江工貿職業技術學院基礎部副教授，碩士；王曉紅（1965—），女，遼寧遼陽人，浙江工貿職業技術學院圖書館館員.

王瑋明]