淺析Stirling公式的若干應(yīng)用

韓 誠(chéng) 劉丹丹

(鹽城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 鹽城 224002)

1 利用Stirling公式證明Wallis公式

Wallis公式

它是關(guān)于圓周率的無(wú)窮乘積的公式,公式中只有階乘運(yùn)算,形式十分簡(jiǎn)單，但它是有理數(shù)過(guò)渡到無(wú)理數(shù)的一個(gè)非常重要的橋梁。而對(duì)于Wallis公式的證明,一般情況下，都用積分證明方法[3],證明過(guò)程比較復(fù)雜，本文利用Stirling公式證明Wallis公式，使其證明過(guò)程簡(jiǎn)單明了。

Wallis公式的證明：

2 Stirling公式在歐拉積分中的應(yīng)用

定理1：對(duì)任意x>0存在θ(x)∈(0,1)使得

(1)

兩邊取對(duì)數(shù)得

(2)

因此只要證明公式(2)就可以了。

下面通過(guò)四個(gè)引理來(lái)證明公式(2)。

引理2：對(duì)任意x>0,滿足不等式

引理3：對(duì)任意的自然數(shù)n,有

現(xiàn)在來(lái)證明(2)式。

(3)

又(3)式左端第一項(xiàng)當(dāng)n→∞時(shí)的極限是lgΓ(x),在(3)式的兩邊讓n→∞,即得

(4)

這即是要證明的(2)式,從而定理得證。

3 Stirling公式在微積分中的應(yīng)用

在微積分中,經(jīng)常會(huì)遇到含有n!的數(shù)列計(jì)算,并且有些數(shù)列計(jì)算是比較難的,因此可以借助Stirling公式來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

3.1 Stirling公式在數(shù)列極限中的應(yīng)用

由Stirling公式得

3.2 Stirling公式在乘積不等式中的應(yīng)用

4 Stirling公式在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

這樣,就可以得到二項(xiàng)分布的概率近似值。

下表表示對(duì)一些二項(xiàng)分布的概率利用階乘近似所得計(jì)算結(jié)果與按定義計(jì)算(或查表所得)值的比較[4]。

若干二項(xiàng)分布概率近似值

這種方法比較簡(jiǎn)單,并且計(jì)算結(jié)果精度較高。另外,計(jì)算者可以自行調(diào)整精度值，以滿足實(shí)際問(wèn)題的需要。

[1]劉會(huì)成.Stirling公式在一個(gè)乘積不等式中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2002，(10)：46.

[2]江旭光.兩類極限的求法[J].安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào),2000，(3)：60.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))：第3版[M].北京:高等教育出版社,2006：227.

[4]彭求實(shí).Stirling公式的改進(jìn)及二項(xiàng)分布概率的近似計(jì)算[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2006，(4)：102～103.