含連續整數的3維本原勾股數問題

袁 淑 麗

(東莞市經濟貿易學校，廣東 東莞 523106)

1 引言

在不定方程x2+y2=z2中有一類特殊的正整數解，3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、180、181；……。它們整體互素，且有兩個為連續的正整數。這些解也被稱之為本原勾股數。它們可以通過公式：a=2n+1、b=2n2+2n、c=2n2+2n+1得到。顯見，具有這些性質的勾股數有無窮多個。人們把滿足不定方程x2+y2+z2=w2且互素的正整數解稱之為3維本原勾股數。我們不禁會想3維本原勾股數也有類似的奇妙現象嗎？對應這樣的解有多少個？怎樣求出對應的解呢？筆者試就以上問題作一些探索。

2 具有三個連續正整數的3維本原勾股數的解

由于3維本原勾股數是由四個數組成，設為a、b、c、d，且(a、b、c、d)=1，其中必然有兩個為偶數兩個為奇數，其中最大的一個數d一定是奇數[1]，若a、b、c、d四個數是連續正整數，只能是a=2n、b=2n+1、c=2n+2、d=2n+3，則有

(2n)2+(2n+1)2+(2n+2)2=(2n+3)2

所以，至多只能有三個連續的整數。

定理1：設a、b、c、d是本原3 維勾股數，其中含有三個連續的正整數的只有1、2、2、3唯一的一組解。

證：若a、b、c為連續的整數，因為其中有兩個偶數一個奇數，分別設為a=2n+1、b=2n、c=2n+2，若存在奇數d=2m+1使得a2+b2+c2=d2，則有

(2n+1)2+(2n)2+(2n+2)2=(2m+1)2

于是有

3n(n+1)+1=m(m+1)

上式中，左邊是奇數而右邊為偶數，顯然不能成立。故a、b、c不能成為連續的整數。

若a、b、d為連續的整數，因為其中有兩個奇數一個偶數，分別設為a=2n-1、b=2n、d=2n+1代入a2+b2+c2=d2有

(2n-1)2+(2n)2+c2=(2n+1)2

于是有

c2=4-4(n-1)2

由于a、b、c、d都是正整數，只有n=1，即只有1、2、2、3唯一的一組解。

3 具有兩對連續正整數的3維本原勾股數及其算法

對于不定方程x2+y2+z2=w2具有兩對連續整數的3維本原勾股數解的問題，我們有如下的結論：

定理2：設a、b、c、d是本原3維勾股數，當a、b為兩個連續整數，則c、d也是連續整數的充分且必要條件是c=ab。

證：若b=a+1，d=c+1為兩對連續正整數，代入a2+b2+c2=d2有

a2+(a+1)2+c2=(c+1)2

展開化簡，即得

c=a(a+1)=ab

若

b=a+1,c=ab=a(a+1)

那么

a2+(a+1)2+[a(a+1)]2=a4+2a3+3a2+2a+1=(a2+a+1)2

即

d=a2+a+1=a(a+1)+1=c+1

c、d也是連續整數。

根據以上的結論，可構造計算公式，并計算結果如下：

令a=nb=n+1c=n(n+1)d=n(n+1)+1ì?í????可得abcd12232367341213452021563031674243…………

滿足以上性質的3維本原勾股數都可以由唯一的參數a的取值而隨之確定。顯然，a可以取任何正整數，對于一個確定a的值有且僅有一組解。

4 具有一對連續正整數的3維本原勾股數的求解問題

假設a2+b2+c2=d2中c=d-1，我們觀察一下a、b、c、d有什么關系。

由于

d2-c2=d2-(d-1)2=2d-1

若2d-1=a2+b2有整數解，即已經得到問題的答案。

當2d-1為模4余1的素數時，顯然成立[2]128。

如：d=7,2d-1=13為模4余1的素數，對應有解3、2、6、7；

d=9,2d-1=17為模4余1的素數，對應有解1、4、8、9；

當2d-1含有4x-1的素數(即：模4余3的素數)時，2d-1不能表示成a2+b2形式[3]113，也就是說找不到具有以上性質的解。

如：d=5, 2d-1=9=32，因為9不是素數，而3是模4余3的素數，則不存在正整數a、b使a、b、4、5為勾股數。

對于d=11,2d-1=21=3×7，3和7都是模4余3的素數，也不存在正整數a、b使a、b、10、11為3維勾股數。綜上所述，我們得到以下結論。

定理3：對于奇數d，存在一組正整數a、b、c、d是本原3維勾股數，且c、d為連續整數的充分必要條件是2d-1為模4余1的素數。

如果2d-1不是素數，而是若干個素數的乘積，設2d-1=p1p2…prM2，其中p1、p2…pr是互不相同的素因子，則2d-1可以表示成兩個平方數之和的充要條件是，每一個pi為模4余1的素數[2]128。這表明只要2d-1中除平方因子外不含有模4余3的素因子，則對于奇數d，存在正整數a、b使得a、b、d-1、d是本原3維勾股數。

比如d=33,2d-1=65=5×13，5和13都為模4余1的素數，對應有

2d-1=5×13=(12+22)(22+32)

作如下變式

即可得到a=7、b=4、c=32、d=33為一組具有兩個連續正整數的3維本原勾股數。

接下來的問題是，這樣的本原3維勾股數有多少個呢？

定理4：對于奇數d，若2d-1=p1p2…prM2，且p1、p2…pr是互不相同的模4余1的素因子，則存在正整數a、b使得a、b、d-1、d是本原3維勾股數的個數有2r-1個(r是模4余1的素因子的個數)。

證(數學歸納法)：當r=1時2d-1=p1M2，根據參考文獻[3]109結論

p1=a12+b12

那么

2d-1=(a12+b12)M2=(a1M)2+(b1M)2

取a=a1M、b=b1M得a、b、d-1、d是一組本原3維勾股數，且是唯一的一組解。

結論成立。

假設r=k時結論成立，

當r=k+1時，2d-1=p1p2…pk+1M2；根據歸納假設，對于p1p2…pkM2有2k-1組不同的正整數Ai、Bi(i=1,2,3,…,2k-1)的值，使得p1p2…pkM2=Ai2+Bi2；

又pk+1是模4余1的素數，因此pk+1=ak+12+bk+12

而

=(Aiak+1-Bibk+1)2+(Aibk+1+Biak+1)2

或

=(Aiak+1+Bibk+1)2+(Aibk+1-Biak+1)2

i=1,2,3,…,2k-1

所以，對于2d-1=p1p2…pk+1M2，存在2k-1×2=2(k+1)-1組不同的正整數Si、Ti的值，使得2d-1=p1p2…pk+1M2=Si2+Ti2；

即r=k+1時結論成立。

根據數學歸納法原理，該結論對一切正整數r成立。

例如：d=553,2d-1=1105=5×13×17，符合條件的解應有4組。它們可以通過如下方式求得：

則

=92+322

=232+242

=312+122

=332+42

從而得到9、32、552、553；23、24、552、553；31、12、552、553；33、4、552、553四組具有一對連續正整數的本原3維勾股數。

5 結語

二維勾股數中具有許多奇妙的性質，與之對應三維勾股數也有相應的性質。但由于維數的增加，其對應的性質是大不相同的，變得更加復雜和奇妙。筆者在這里探索了有連續正整數的3維本原勾股數解的條件和求解的方法及其解的個數，并以行列式的計算形式給出了構造有兩個連續正整數的3維本原三維勾股數的計算范例。

[1]顏有祥.三維勾股數的性質及其計算方法[J].新鄉學院學報：自然科學版，2010，(3).

[2][美]Joseph H.Silverman.數論概論[M].孫智偉，等，譯.北京：機械工業出版社，2008.

[3]閩嗣鶴，嚴士鍵.初等數論(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.