圓形有界磁場問題的分類及解析

周平原

(臨海市回浦中學 浙江 臺州 317000)

1 對心飛入問題

【例1】(2002年高考天津卷)電視機的顯像管中，電子束的偏轉是用磁偏轉技術實現的.電子束經過電壓為U的加速電場后，進入一圓形勻強磁場區，如圖1所示.磁場方向垂直于圓面.磁場區的中心為O，半徑為r.當不加磁場時，電子束將通過O點而打到屏幕的中心M點.為了讓電子束射到屏幕邊緣，需要加磁場，使電子束偏轉一已知角度θ，此時磁場的磁感應強度B應為多少？

圖1

圖2

又有

三式聯立解得

點評：粒子沿半徑方向飛入圓形勻強磁場，必沿半徑方向飛出磁場.

2 圓心出發問題

【例2】(2004年高考甘肅卷) 一勻強磁場，磁場方向垂直于xOy平面，在xOy平面上，磁場分布在以O點為中心的一個圓形區域內.一個質量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速度為v，方向沿x軸正方向.后來粒子經過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖3所示.不計重力的影響.求磁場的磁感應強度B的大小和xy平面上磁場區域的半徑R.

圖3 圖4

解析：如圖4所示，粒子在磁場中軌跡的圓心C必在y軸上，且P點在磁場區之外.粒子從A點離開磁場區，設軌跡半徑為r.則

又

可求得

磁場區域的半徑

點評：畫軌跡時可先畫一個完整的圓，然后分析粒子從圓周上哪一點離開，速度方向才會與題意相符，只要找到了離場點，問題就能解決了.

3 最長時間(最大偏角)問題

圖5 圖6

要使粒子在磁場中運動的時間最長，應使粒子在磁場中運動的圓弧最長，即所對應的弦最長.則以磁場圓直徑ab為弦時，粒子運動的時間最長.

點評：粒子穿過圓形磁場時，以磁場圓直徑ab為弦時，粒子運動時間最長，偏轉角最大.

4 最小半徑問題

【例4】(1994年高考全國卷) 如圖7所示,一帶電質點,質量為m,電荷量為q,以平行于x軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區域.為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于x軸的速度v射出,可在適當的地方加一個垂直于xy平面、磁感應強度為B的勻強磁場.若此磁場僅分布在一個圓形區域內,試求這圓形磁場區域的最小半徑.重力忽略不計.

圖7 圖8

點評：粒子穿過圓形磁場時，若軌跡是確定的，則以軌跡圓弧對應的弦為直徑時，磁場圓最小.

5 會聚一點問題

【例5】(2009年高考浙江卷) 如圖9所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上.在xOy平面內有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內還有與xOy平面垂直的勻強磁場.在圓的左邊放置一帶電微粒發射裝置，它沿x軸正方向發射出一束具有相同質量m，電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒.發射時，這束帶電微粒分布在0

(1)從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求電場強度和磁感應強度的大小和方向.

(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區域，并說明理由.

(3)若這束帶電微粒初速度變為2v，那么它們與x軸相交的區域又在哪里？并說明理由.

圖9 圖10

帶電微粒進入磁場后，做圓周運動并從坐標原點O沿y軸負方向離開，則軌跡半徑r=R

(2)如圖10所示，從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動，圓心位于其正下方的Q點，微粒從M點離開磁場.可證明四邊形PO＇MQ是菱形，則M點就是坐標原點，故這束帶電微粒都通過坐標原點O.

(3)帶電微粒在y軸右方(x>0)的區域離開磁場并做勻速直線運動.靠近上端發射出來的帶電微粒在穿出磁場后會射向x軸正方向的無窮遠處，靠近下端發射出來的帶電微粒會在靠近原點之處穿出磁場.所以，這束帶電微粒與x軸相交的區域范圍是x>0.

點評：一束帶電粒子以平行的初速度v垂直射入圓形勻強磁場，若帶電粒子的軌道半徑與磁場圓半徑相同，則這些帶電粒子將會聚于初速度方向與磁場圓的切點.

6 平行離開問題

【例6】 電子質量為m，電荷量為e，從坐標原點O處沿xOy平面射入第一象限，射入時速度方向不同，速度大小均為v0，如圖11所示.現在某一區域加方向向外且垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應強度為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求熒光屏上光斑的長度.

圖11 圖12

點評：速度大小相等的一束帶電粒子從圓周上同一點沿不同方向垂直射入圓形勻強磁場，若粒子的軌道半徑與磁場圓半徑相同，那么所有粒子成平行線離開磁場，而且與磁場圓在入射點的切線方向平行.

7 最小面積問題

【例7】(2009年高考海南卷)如圖13所示，ABCD是邊長為a的正方形.質量為m，電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區域.在正方形內適當區域中有勻強磁場.電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場.不計重力，求：

(1)此勻強磁場區域中磁感應強度的方向和大小；

(2)此勻強磁場區域的最小面積.

圖13 圖14

解析：(1)讓平行粒子束射入圓形勻強磁場，若軌道半徑與磁場圓半徑a相同，則這些帶電粒子將會聚于初速度方向與磁場圓的切點A.

點評：此題也屬會聚一點問題，圓形磁場內剛好能覆蓋粒子軌跡范圍的部分，就是所要求的磁場最小面積.

8 先散后聚問題

【例8】某平面內有M,N兩點，距離為L，從M點向此平面內各個方向發射速率均為v的電子，請設計一種勻強磁場分布，使得由M點發出的電子都能匯聚到N點.要求畫出勻強磁場分布圖，并加以必要的說明，電子質量為m，電荷量為e.

圖15

點評：此題是平行離開和會聚一點問題的綜合，需要較好的空間想象能力.

9 回歸起點問題

【例9】如圖16所示，半徑為R的圓筒形區域內，分布著磁感應強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，一帶正電的微粒從圓筒壁上小孔A點沿半徑方向射入磁場，且初速度方向垂直于磁場方向.若該微粒與筒壁碰撞時不損失電荷量，并能以大小相等的速度反向彈回，問初速度大小滿足什么條件時，微粒能回到A點，并求出微粒回到A點所經歷的時間.已知微粒質量為m，電荷量為q，不計微粒重力.

圖16 圖17

點評：由于微粒軌跡有無數種可能，關鍵是理清幾何關系找到通式.

10 粒子束縛問題

圖18

(1)粒子沿環狀半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度;

(2)所有粒子不能穿越磁場的最大速度.

圖19

點評：應分析粒子的可能軌跡，從中找到剛好不出磁場的臨界軌跡.

11 循環運動問題

圖20 圖21

點評：分析粒子的入場點和出場點從而確定軌跡是關鍵.

12 電磁綜合問題

【例12】(2009年高考江蘇卷)1932年，勞倫斯和利文斯設計出了回旋加速器.

圖22

回旋加速器的工作原理如圖22所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計.磁感應強度為B的勻強磁場與盒面垂直.A處粒子源產生的粒子，質量為m，電荷量為q，在加速器中被加速，加速電壓為U.加速過程中不考慮相對論效應和重力作用.

(1)求粒子第2次和第1次經過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；

(2)求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間；

(3)實際使用中，磁感應強度和加速電場頻率都有最大值的限制.若某一加速器磁感應強度和加速電場頻率的最大值分別為Bm,fm，試討論粒子能獲得的最大動能Ekm.

解得

(3)加速電場的頻率應等于粒子在磁場中做圓周運動的頻率，即

當磁感應強度為Bm時，加速電場的頻率應為

粒子的動能

當fBm≥fm時，粒子最大動能由fm決定vm=2πfmR，解得

點評：要綜合運用帶電粒子在電場、磁場中運動的規律，尤其要理清電場、磁場的相互制約關系，才能正確求解.