標準化方法在線性代數的應用＊——用初等變換的方法求等價類的標準型

劉緒文

(濰坊工程職業學院,山東 青州 262500)

早在上世紀七十年代,錢學森就提出“要加強標準、標準化工作及其科學研究以應對現代化、國際化的發展環境”。在現代科學技術發達的今天,標準的制定和標準化的實施顯得尤為重要,各行各業都在按照一定的標準實施標準化。通過標準及標準化工作,以及相關技術政策的實施,可以整合和引導社會資源,激活科技要素,推動自主創新與開放創新,加速技術積累、科技進步、成果推廣、創新擴散、產業升級以及經濟、社會、環境的全面、協調、可持續發展。

線性代數在一些領域的研究中,對繁紛復雜的代數問題,同樣加強了標準、標準化工作及其科學的研究。對于某類研究對象給出標準型,建立等價類,利用初等變換求等價類的標準型,即標準化問題,并利用標準型研究等價類的特點和性質,從而建立線性代數的有關理論。

1 標準及標準化的定義

標準是在客觀的基礎上產生的科學、技術和實踐經驗的綜合成果,它具有權威性、科學性、適用性和嚴肅性,有了標準也就有了統一的規定,人們在生產過程和社會活動中才有了共同遵守的準則和依據。制定、發布及實施標準的過程就是標準化。

1.1 標準

是對重復性事物和概念所做的統一規定。它以科學、技術和實踐經驗的綜合成果為基礎,經有關方面協商一致,由主管機構批準,以特定形式發布,作為共同遵守的準則和依據。該定義包含以下幾個方面的含義:(l)標準的本質屬性是一種“統一規定”。(2)標準制定的對象是重復性事物和概念。(3)標準產生的客觀基礎是“科學、技術和實踐經驗的綜合成果”。(4)制定標準過程要具有權威性、科學性和適用性。(5)標準文件有其自己的嚴肅性。

1.2 標準化

為在一定的范圍內獲得最佳秩序,對實際的或潛在的問題制定共同的和重復使用的規則的活動,即制定、發布及實施標準的過程,稱為標準化。標準化的實質與目的是通過制定、發布和實施標準,達到統一是標準化的實質。獲得最佳秩序和社會效益則是標準化的目的。標準化的基本原理通常是指統一原理、簡化原理、協調原理和最優化原理。

2 矩陣的標準化

設A、B是兩個m×n矩陣,若對A進行一系列的行和列的初等變換化成B,稱矩陣A與矩陣B等價。由于矩陣的等價滿足反身性、對稱性和傳遞性。因此所有與A等價的矩陣構成一類,叫做矩陣A的等價類。下面對幾種等價類進行討論,并給出其標準型。

2.1 矩陣等價標準型

當矩陣A為n階可逆方陣時,A與n階單位矩陣 En等價,即 PAQ=En。這也是矩陣A可逆的充分必要條件。

2.2 矩陣等價階梯型

設A是任意一非零m×n矩陣,則對A進行一系列的行初等變換化成行階梯矩陣 T。進而化為行簡化階梯矩陣。也就是說任一m×n非零矩陣A都與一行階梯矩陣T等價。

即:存在m階可逆矩陣P,使得 PA=T

特別的當矩陣A為n階可逆方陣時,存在n階可逆矩陣P,使得 PA=E。因此得到矩陣A可逆的又一充分必要條件。

由于階梯矩陣 T的秩等于它不為零的行數,并且初等變換不改變矩陣的秩,因此與A等價的階梯矩陣T的不為零的行數就是矩陣A的秩?？蓛H用行初等變換將A化為P,以此來求矩陣A的秩。

2.3 矩陣的相似標準型

設A、B是兩個n階方陣,如果存在n階可逆方陣 P,使得 P-1A P=B,稱A與B相似。當B為對角矩陣Λ時,稱A可對角化,Λ為A的相似標準型。

由于矩陣的相似滿足反身性、對稱性和傳遞性。凡是與矩陣 A相似的構成一類,叫做矩陣 A的相似類。

在矩陣A的相似類中找最簡形式的矩陣,看它是否為對角矩陣。對于一般矩陣 A是不能對角化的,當A有n個線性無關的特征向量時才可對角化?；驅τ诰仃嘇的每一個特征值λi,若λi的重數等于n-r (λiE-A),則矩陣A可對角化。

特別的,當A為n階實對稱矩陣時,一定存在n階正交矩陣P,使得 P-1A P=PTA P=Λ,即矩陣A可對角化。如果A可對角化,首先求A的所有的特征值,對于每一個特征值λi,求出它的所有的特征向量,并將其標準正交化,以求得的所有對應的n個特征向量ξ1,ξ2,…,ξn為列構成一個n階正交矩陣P,以所有的特征值λ1,λ2,…,λn為對角元構成一個n階對角矩陣Λ。那么一定有 P-1A P=PTA P=Λ。

由于相似矩陣有相同的可逆性和相同的特征多項式,因而有相同的特征值、相同的跡和相同的行列式。如果矩陣A可對角化,相似標準型為Λ。那么這一相似類中所有矩陣的可逆性、特征值、跡和行列式都與Λ相同。特征值為Λ的對角元,跡為對角元的和,行列式為對角元的乘積。

2.4 矩陣的合同標準型

設A、B是兩個n階方陣,如果存在n階可逆方陣 P,使得 PTA P=B,稱A與B合同。當B為對角矩陣Λ時,稱Λ為A的合同標準型。

由于矩陣的合同滿足反身性、對稱性和傳遞性,凡是與矩陣A合同的構成一類,叫做矩陣A合同類。顯然與A合同矩陣都有相同的秩。若A為對稱矩陣,且B與A合同,則B也是對稱矩陣。

在矩陣A的合同類中找最簡形式的矩陣,看它是否與對角矩陣合同。對于一般矩陣A是不能與對角矩陣合同的。特別的,當A為實對稱矩陣時,一定存在 n階可逆矩陣 P,使得 PTA P=Λ。即A與對角矩陣Λ合同。因為 P可逆,P可表示為初等矩陣 P1,P2,…,PS乘積,即 P=P1P2…PS,使得 PTS…PT2PT1A P1P2…PS=Λ。因此對A進行一系列的完全相同的行和列的初等變換將A化為Λ,同時僅對單位矩陣 E進行完全相同的列變換將E變為P。從而用初等變換法求出矩陣A的合同標準型Λ。

同時也一定存在 n階正交矩陣 P,使得 P-1A P=P5A P=Λ,對角矩陣Λ中的n個對角元λ1,λ2,…,λn就是A的n個特征值。按矩陣的相似來求正交矩陣 P和對角矩陣Λ。

兩個相似的方陣必等價,兩個合同的矩陣必等價。反之未必。由于正交矩陣 P滿足 P-1=PT,當存在n階正交矩陣P,使得 P-1A P=PTA P=Λ時,則兩個相似的方陣必正交合同,兩個合同的矩陣必正交相似。

3 方程組的等價(同解方程組)

若兩個線性方程組同解,則稱這兩個方程組等價。由于方程組的等價具有反身性、對稱性和傳遞性,把所有同解的方程組歸為一類,就叫做方程組的等價類。將方程組的等價類中最簡形式的方程組稱為標準型。解方程組就是求它的等價類的標準型。由于方程組的初等變換是同解變換,解方程組就是利用方程組的初等變換將其化為標準型。齊次線性方程組分為兩大類:一類是僅有零解,另一類是有非零解。非齊次線性方程組分為兩大類:一類是無解,另一類是有解,在有解的一類中又分為有無窮多解和唯一解兩類。

3.1 齊次方程組A X=0的解

含有m個方程n個未知量的齊次線性方程組A X=0,僅對系數矩陣A進行一系列的行的初等變換化為B,則方程組A X=0與B X=0同解,或稱為方程組A X=0與B X=0等價。根據齊次線性方程組有非零解的充要條件,當 r(A)=r(B)=r=n時,A X=0僅有唯一的零解;當 r(A)=r(B)=r＜n時,并且B為行簡化階梯矩陣,將BX=0的n-r個自由未知量移到等號右邊得A X=0的一般解。令n-r個自由未知量分別依次取(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(1,0,…,0)得 A X=0的基礎解系ξ1,ξ2,…,ξn-r,從而求出A X=0的通解。

其中k1,k2,…,kn-r為任意實數。

齊次方程組A X=0的一般解,就是同解方程組的最簡形式,即齊次方程組A X=0的等價類(同解方程組)中最簡方程組,也就是標準型。

3.2 非齊次線性方程組A X=β的解

其中k1,k2,…,kn-r為任意實數。

非齊次方程組A X=β的一般解,就是同解方程組的最簡形式,即非齊次方程組A X=β的等價類(同解方程組)中最簡方程組,也就是標準型。

4 向量組的等價標準型

若向量組α1,α2,…,αm與向量組β1,β2,…,βm可互相表示,則稱這兩個向量組等價。由于向量組的等價具有反身性、對稱性和傳遞性,把所有與α1,α2,…,αm等價的向量組歸為一類,就叫做向量組α1,α2,…, αm的等價類。將向量組的等價類中最簡形式的向量組——極大線性無關組稱為標準型。因此向量組α1, α2,…,αm與他的極大無關組αi1,αi2,…,αir等價。

由于矩陣的行初等變換不改變矩陣列向量組的秩和線性關系。因此,對以n維向量組α1,α2,…,αm為列構成的n×m矩陣A=(α1,α2,…,αm),進行一系列的行的初等變換可化為行簡化階梯矩陣B=(β1,β2,…,βm),則向量組α1,α2,…,αm與向量組β1,β2,…,βm等價。設αi1,αi2,…,αir為向量組β1,β2,…,βm的極大無關組βi1,βi2,…,βir相對應的向量組,則αi1,αi2,…,αir為α1,α2,…,αm的極大無關組。所有的與αi1, αi2,…,αir等價向量組為一類,其中αi1,αi2,…,αir是該向量組中的標準型。由于秩為 r的向量組中任意r個線性無關的向量都是該向量組的極大無關組,因此向量組的極大無關組(標準型)不唯一,但是極大無關組所含向量的個數是唯一的,稱為向量組的秩。以上的結論同時給出了求向量組的極大無關組和向量組的秩的方法。

一個向量組中的任一向量用極大無關組表示,其表示是唯一的;若一個向量組的秩小于向量的個數,則該向量組一定線性相關。若一個向量組的秩等于向量的個數,則該向量組一定線性無關,它的極大無關組就是它本身。

5 二次型的等價

設 f(X)=XTA X,g(Y)=YTBY是兩個n元實二次型,如果存在n階可逆矩陣 P,使得B=PTA P,即存在可逆的線性變換 X=PY,使得 f(X)=XTA X=(PY)TA(PY)=YT(PTA P)Y=YTB Y=g(Y),稱 f (X)與 g(Y)等價。

由于任一實二次型 f(X)=YTA X,一定存在正交變換 X=PY,使得

即任一實對稱矩陣都與對角矩陣相似,并且合同。

兩個實二次型等價的充要條件,它們有相同的秩、和相同的正慣性指數。兩個對稱矩陣合同的充要條件,它們有相同的秩、和相同的正慣性指數。

線性代數各部分的研究,一般采取的方法是,首先給出一類研究對象及其標準型,用初等變換的方法討論如何把研究對象化為標準型,給出具體辦法,即標準化。并利用標準型研究這類對象的特點和性質,從而揭示這類研究對象的內涵和實質。以上論述是自己多年來教學經驗的總結,將線性代數的研究歸結為標準型和標準化的研究,這種提法僅是一家之言,目前尚未見到有關論述,是否妥當,期待還請各位專家同行進行討論,給以指正。

[1]劉吉佑,徐誠浩.線性代數[M].河北:武漢大學出版社,2006.

[2]張禾瑞,郝鈵新.高等代數[M].3版.北京:高等教育出版社,1983.

[3]錢椿林.線性代數[M].2版.北京:電子工業出版社,2001.