混雜邊界軸向運動Timoshenko梁固有頻率數值解

胡超榮，丁 虎，陳立群，

(1.上海大學 上海市應用數學和力學研究所，上海 200444，2.上海大學 力學系，上海 200072)

混雜邊界軸向運動Timoshenko梁固有頻率數值解

胡超榮1，丁 虎2，陳立群1，2

(1.上海大學 上海市應用數學和力學研究所，上海 200444，2.上海大學 力學系，上海 200072)

運用微分求積方法求解兩端帶有扭轉彈簧且彈簧系數均可任意變化的非對稱下的軸向運動Timoshenko梁的固有頻率。以權系數修改法處理軸向運動Timoshenko梁的混雜邊界。研究系統的前兩階固有頻率隨軸向速度、剛度系數以及彈簧彈性系數變化的情況，并將數值計算結果與半解析半數值的研究結果進行比較，結果表明，數值計算結果與半解析半數值結果基本吻合。

軸向運動梁;Timoshenko模型;固有頻率;微分求積法

軍事、航空航天以及機械電子工程等研究、制造及生產領域的多種工程元件都可簡化為軸向運動連續體模型，比如空中纜車索道、傳輸帶、升降機纜繩等。由于振動因素可能導致這些運輸傳送裝置的效率降低或者造成噪聲危害等。因此，軸向運動連續體廣受研究者關注［1－10］。

Euler梁模型是軸向運動體系的一種有效的簡化經典模型。?z［1］、馮志華［2］、陳樹輝［2］、張偉［4］，Ding等［7］分別利用Euler模型研究了軸向運動梁固有頻率、內共振以及靜平衡等問題。隨著研究的深入，近幾年，考慮了更多因素的Timoshenko模型逐漸受到眾多研究者的關注。Chen等［8］給出了簡支邊界的Timoshenko梁模型固有頻率的復模態分析方法及半解析半數值求法。Ghayesh和Balar［9］通過半解析半數值方法研究了固定邊界的軸向運動Timoshenko梁模型的橫向振動固有頻率。李等［10］通過半解析半數值方法求解了兩端非對稱混雜邊界的軸向運動Timoshenko梁的固有頻率。以上分析可見，Timoshenko梁模型的固有頻率求法主要局限于復模態分析結合半解析半數值的求法。該方法的優點在于，在計算固有頻率的同時還可以計算模態函數，但是計算過程中的特征函數過于復雜。目前，還沒有得到其他方法的驗證。

Chen等［7］運用微分求積方法研究了軸向運動Euler梁模型的非線性參數振動，證明微分求積法可用于分析常見邊界的軸向運動連續體的橫向振動。兩端非對稱混雜邊界是更一般化的邊界，一定條件下可以退化為各種常見邊界條件，其中包括兩端簡支、兩端固定，以及一端簡支一端固定等［10］。本文將引入微分求積方法研究軸向運動Timoshenko梁的橫向振動，該方法能夠根據常規的矩陣運算，快捷精確的計算系統前幾階固有頻率。通過該方法處理更一般的混雜邊界，仿真固有頻率隨系統參數的變化，并與半解析半數值結果［10］比較，驗證系統參數對Timoshenko梁模型固有頻率的影響。

1 微分求積法及應用

研究在平面內作橫向振動的Timoshenko模型軸向運動梁，考慮截面積為A、繞橫截面中性軸的轉動慣量為J、密度為ρ、初始張力為P的梁以一致的速度沿軸向運動，其速度為常數γ，梁彈性模量為E，剪切模量為G。只考慮梁的橫向和徑向變形，在徑向空間坐標x處，t時刻橫向位移為v(x，t)，假設其長度為l，建立軸向運動Timoshenko梁的橫向自由振動的無量綱式控制方程［8，10］，利用微分求積法解此運動方程：

式中逗號后的x和t分別表示對x和t的偏微分，相應的無量綱化變量和參數為［8］：

其中，c為速度，k為形狀系數，k1和k2為剪切模量，k3為轉角，kf為彎曲剛度。取梁兩端帶有扭轉彈簧鉸支的無量綱化約束邊界條件［10］

其中kt1和kt2為兩端邊界處的扭轉彈簧的剛度。

對函數v(x，t)的空間坐標x進行離散，網格點的分布形式采用非均勻格式［11］：

式中A(r)ij是權系數，r為導數階數，f(xj)是函數f(x)在網點xj處的值，N表示網點總數，有：

由上述計算公式，將(6)代入控制方程(1)和邊界條件(3)，則得到(1)和(3)在相應的網格點的微分求積近似離散方程：

上式中v上面的點表示對時間的導數。

文獻［7］研究了微分求積法在軸向運動連續體的應用中的精度問題，并通過數值算例說明，取11個網格節點足夠精確。本文在數值計算中也選取11個網格節點，即N=11。

本文采用修正權系數方法來處理非對稱混雜邊界條件(10)。根據式(10)，在生成(14)式中各系數矩陣時，就將邊界條件引入到各權系數矩陣中［11］。修正后的第二階權系數矩陣為：

其中：

其中 i，j=3，4，…，N －3，N －2。這些都是 N 階矩陣，而{φ)是N階列向量。

2 數值結果

Timoshenko梁物理參數［8］分別為 P=107N，A=9 ×10－3m2，E=169 ×109Pa，k=5/6，l=0.3 m，G=66×109Pa;相應無量化參數為 k1=5.90 ×10－5，k2=0.009，k3=0.004 2;圖1給出了當c=2，剛度系數為=0.64時，利用微分求積法計算得到的當扭轉彈簧取不同彈性系數時，系統的前三階固有頻率隨軸向速度變化的數值結果，其中系統參數如圖中所示。觀察圖1，能夠清楚看出，軸向運動Timoshenko梁的前兩階固有頻率隨兩端邊界處彈簧彈性系數的增大而增大。與以往Timoshenko梁橫向振動特性的研究結果相符。

圖2給出了當梁剛度系數取不同值的時候，系統的前兩階固有頻率隨速度變化的情況。由圖2可以看出，在軸向運動速度不大于臨界速度時，系統的前兩階固有頻率隨梁的剛度增加而增大，隨軸向速度的增大而減小。

圖1 隨軸向速度變化的固有頻率Fig.1 Natural frequencies changing with axial speed and constraint stiffness

圖3給出了當c=2，剛度系數為k2f=0.64時，保持kt2不變，即kt2=2時，系統的前兩階固有頻率隨彈性系數kt1變化的情況，其中實線表示第一階固有頻率，虛線表示第二階固有頻率。由圖3可看出，系統的前兩階固有頻率隨邊界處扭轉彈簧的彈性系數增大而增加，尤其是在彈簧系數較小的時候表現的較為明顯。如果保持kt1不變，以研究kt2的影響，可得出相同的結論。

3 與半解析半數值結果比較

文獻［10］通過假設(1)式的解為復模態形式，通過邊界條件建立線性方程組，和模態函數有非零解的充要條件，建立系統的特征方程，這個過程稱為解析過程;以數值方法求解特征方程，稱為數值過程。這一求解陀螺系統運動頻率的方法就稱之為半解析半數值的方法。

圖4給出了本文結果與文獻［10］中的半解析半數值結果的比較，其中彈簧系數取不同的值，梁的剛度系數k2

f=0.64，圖中實線為數值計算結果，點線為半解析半數值結果。由圖可知在簡支邊界即kt1=0，kt2=0以及彈簧系數相等即kt1=2，kt2=2時，數值結果與半解析半數值結果吻合的很好;當兩端彈簧系數分別取kt1=2，kt2=4時，數值結果與半解析半數值結果在速度較小時吻合很好，但隨著速度的增大，兩種方法得到的系統第二階固有頻率會有微小的差異。

圖2 隨剛度系數和軸向速度變化的固有頻率Fig.2 Natural frequencies changing with axial speed and the stiffness of the beam

圖3 第1和2階固有頻率隨著kt1的變化情況Fig.3 The natural frequencies changing with constraint stiffness

圖4 數值結果與半解析半數值結果的比較情況Fig.4 The comparison for the numerical results and the semi－analytical and semi－numerical

4 結論

本文將微分求積方法引入更一般的邊界條件，即兩端鉸支彈簧系數均可任意變化的非對稱混雜邊界的處理，并求解了這種邊界下軸向運動Timoshenko梁的固有頻率。數值結果表明，兩端彈簧系數的增大以及軸向速度的減小，都會引起系統固有頻率的增大，在彈簧系數不大時尤為明顯。通過對數值計算結果和半解析半數值的比較，發現本文的數值結果很好的驗證了半解析半數值的結論。也說明了微分求積法可以處理這種復雜邊界條件。

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Natural frequency numerial solution to an axially moving timoshenko beam with hybrid boundary

HU Chao－rong1，DING Hu2，CHEN Li－qun1，2

(1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200444，China;2.Department of Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200072，China)

The differential quadrature method was developed to solve natural frequencies of an axially moving asymmetric hybrid supported Timoshenko beams with randomly varying spring coefficients at both sides.The weighted coefficient matrices were modified for dealing with the hybrid boundary.The axially moving speed，the stiffness of the beam and the spring coefficients were numerically investigated for clarifying their influences on the first two natural frequencies，and the results were compared with the semi－analytical and semi－numerical solutions.It was shown that both of them are basically consistent.

axially moving beam;transverse vibration;natural frequency;differential quadrature method

O32

A

國家自然科學基金項目(10902064);國家杰出青年科學基金(10725209);上海高校選拔培養優秀青年教師科研專項基金(B37－0101－08－003);上海市優秀學科帶頭人計劃(09XD1401700);上海大學創新基金項目(08－22);上海市重點學科建設項目(S30106);長江學者和創新團隊發展計劃基金課題(IRT0844)資助

2010－04－12 修改稿收到日期：2010－05－24

胡超榮 女，碩士生，1983年10月生

丁 虎 男，副研究員，1978年3月生