基于參數靈敏度分析的吊桿索力識別

陳彥江，程建旗，閆維明，何浩祥，李 勇

(北京工業大學 工程抗震與結構診治北京市重點實驗室，北京 100124)

吊桿是鋼管混凝土系桿拱橋重要的受力構件，吊桿索力的精確測量不僅是整座橋梁施工監控的重要環節，而且也是后期橋梁養護管理與健康監測最關心的問題。由于振動法測索力有其很多優勢而被廣泛應用［1]。

目前，應用各種加速度傳感器及頻譜分析技術，可以較精確得到吊桿的基頻或前幾階固有頻率［2]。因此利用振動法測索力的精度主要取決于計算式的選取。從吊桿受力模型簡化角度分，目前存在的振動法測索力方法主要有以下三類:

第一類方法是基于拉緊的弦振動理論的公式，忽略吊桿的抗彎剛度，并視吊桿兩端為鉸接［3，4]:

式中，f1為吊桿的基頻;T，m，l分別是吊桿索力、單位長度質量和計算長度。

第二類方法考慮了吊桿的抗彎剛度，將吊桿視為兩端簡支軸向受拉梁［5]:

式中，fn為吊桿的第n階固有頻率;EI為吊桿的抗彎剛度。

第三類方法考慮吊桿的抗彎剛度和兩端固結邊界條件，推導出了含索力、頻率的超越方程，并在此基礎上，應用能量法迭代計算出經驗擬合公式［6]。然而，上述的三類方法都存在著不同程度的缺陷:

(1)第一種方法忽略了吊桿抗彎剛度的影響。對于長度較小的吊桿，抗彎剛度對吊桿頻率影響很大，用式(1)計算將得到偏大索力值。

(2)第二、三種方法雖然考慮了吊桿的抗彎剛度，但抗彎剛度的影響作為顯式的計算參數。在工程實踐中，吊桿內部結構形式、鋼絲間的粘結程度、索力大小等不確定因素的影響，吊桿的抗彎剛度 EI難以準確識別。

(3)早期修建的鋼管混凝土系桿拱橋，多數吊桿錨固時采用鋼套管并內灌水泥砂漿護索，吊桿兩端近似于固結［7]。近幾年吊桿多采用帶球形支座的錨具錨固，如圖4。且鋼套管內不再灌水泥砂漿，而是設置橡膠減震器，顯然其兩端約束情況用固結來模擬已不再適用，而且索的計算長度由于受減震器的影響，采用上下錨固點之間的距離也將產生很大的誤差。

(4)對于短吊桿，環境激勵下基頻很難被激發，限制了上述公式中用基頻計算索力的應用，使得短吊桿(＜5m)不能通過振動法來測出索力［8，9]。

針對上述計算方法中存在的缺陷，本文提出基于吊桿參數靈敏度的優化算法計算索力值。該方法假設吊桿兩端鉸接并考慮抗彎剛度影響，以索力、抗彎剛度和計算長度作為未知參數，通過計算長度修正來考慮實際吊桿邊界條件簡化為兩端簡支后引入的誤差［10，11]。首先分析吊桿頻率對各參數的靈敏度，然后基于參數靈敏度矩陣進行迭代計算。數值分析表明，這種算法不僅收斂速度快，且特別適用于固有頻率受抗彎剛度影響較大的短吊桿。并通過對一座鋼管混凝土拱橋的吊桿測試分析驗證了該方法的可行性。

1 基于吊桿參數靈敏度的優化算法

考慮索的抗彎剛度，忽略剪切變形和轉動慣量的影響，此時吊桿受力就相當于一軸向受拉梁，其運動微分方程為［12]:

假定解具有形式:

即幅值Y(t)隨時間變化，Φ(x)是指定形狀函數。

分離變量得:

其中:

對于任意軸向力，式(6)中的 D1、D2、D3、D44 個參數定義了索振動的形狀。可由兩端鉸接邊界條件得出:

把上式代入式(6)，D1、D2、D3、D4不全為零，則由方程組行列式為0可計算出:

上式就是考慮軸向力和抗彎剛度影響的吊桿固有頻率與索力的關系式。式中吊桿單位長度質量m在出廠時可精確測量，且在營運過程中變化量很小，作為已知量。將索力T、抗彎剛度EI和計算長度l作為未知參數，構成變量列陣P，即:

因此式(8)可記作fj=F(P)，其中fj是吊桿的第j階固有頻率(j=1，2…n)。

fj在設計變量P處按Taylor級數一階展開得:

式中Pi是變量列陣P中第i個變量，這里P有3個元素，所以r=3，i=1，2，3。忽略高階項的影響，則固有頻率增量δfj為:

因為索力T，抗彎剛度EI，和計算長度l具有不同的量綱，且數值大小也相差幾個數量級，僅從靈敏度表達式Sp還不能判斷固有頻率最敏感的參數，因此，式(11)可進一步寫成:

將式(14)進一步簡化為:

式中，U是n×1階列向量，表示各階頻率相對變化量;ε是r×1階列向量，表示參數變量的相對變化量;ε是n×r階矩陣，表示參數變量的差分相對靈敏度。具體形式如下:

應用迭代法求解方程(15)可分以下6個步驟:

(1)置迭代步 k=0，設定設計變量 P的初始值P0= ［T0EI0l0]T;

(3)計算頻率的相對變化量Uk，可采用下式:

(5)計算參數的相對變化量:

(6)修正吊桿的參數變量，得到第k+1次迭代時參數估計值:

重復以上的迭代過程，直到列向量U收斂到0，迭代結束，此時的設計變量P即為吊桿參數精確值。

上述迭代算法實質是非線性優化問題，考慮各參數變量的實際物理意義，并加快迭代收斂速度，引入各參數的約束條件，如下:

索力值T的上、下限可根據設計索力值設定一個較大的初始區間;計算長度l的下限L0為最外側減震器間的間距，上限L為錨墊板間的間距，如圖4;對于抗彎剛度，文獻［8]用單根鋼絲的抗彎剛度之和作為整個吊桿的抗彎抗度，文獻［9]則用同等直徑的鋼柱作為吊桿的抗彎剛度。而事實上，吊桿的抗彎剛度介于上述最小值和最大值之間。因此，EImin為單根鋼絲的抗彎剛度值之和，EImax為同等直徑鋼柱的抗彎剛度。

2 數值分析

將第1節算法編成Mat lab程序，選取文獻［9]中4根吊桿，來驗證該算法的可行性，各吊桿的參數如表1所示。

表1 各吊桿參數值Tab.1 Parameters of hanger rods

吊桿1長度＜5 m，且ξ值很小，表示固有頻率受抗彎剛度影響較大［15];吊桿2、3雖然索力和抗彎剛度值不同，但ξ值近似相等，屬于受力性能相近的吊桿;吊桿4代表長吊桿，索力值和計算長度都較大，ξ值也比較大。

分析上述4根吊桿前20階固有頻率分別對索力、抗彎剛度和計算長度的靈敏度，分析結果如圖1、圖2、圖3所示。

從下面3個圖可以看出:

(1)頻率對索力的相對靈敏度隨著階次的增加而減小，頻率對抗彎剛度、索長的相對靈敏度隨著階次的增加而變大，且頻率對索長的相對靈敏度是負值;

(2)相對于索力和抗彎剛度兩參數，索的各階頻率對索長的相對靈敏度最大。低階頻率時，頻率對索力的相對靈敏度大于對抗彎剛度的相對靈敏度，高階頻率時，頻率對抗彎剛度的相對靈敏度大于對索力的相對靈敏度;

(3)2號、3號吊桿因為ξ值近似相等，各參數的相對靈敏度也基本相等。1號吊桿ξ值比4號吊桿ξ值小，因此頻率值對抗彎剛度的相對靈敏度1號吊桿比4號吊桿大，頻率值對索力的相對靈敏度1號吊桿比4號吊桿小。

圖1 各階頻率對索力的相對靈敏度Fig.1 Relative sensitivity to tension force

圖2 各階頻率對抗彎剛度相對靈敏度Fig.2 Relative sensitivity to flexural rigidity

圖3 各階頻率對索長相對靈敏度Fig.3 Relative sensitivity to length

分別計算上述4根吊桿的前4階固有頻率，并假設為實際測量真實值，吊桿的索力、抗彎剛度和計算索長作為未知參數，通過第1節中所述迭代算法計算各吊桿索力值T，抗彎剛度EI和計算長度L。

為了驗證算法對不同的初始值都收斂到精確解，迭代步驟(1)中初始值T0、EI0、L0取不同值:1號吊桿分別取真實值的80%，80%，80%;2號吊桿分別取真實值的120%，120%，120%;3號吊桿分別取真實值的80%，150%，60%;4號吊桿分別取真實值的130%，70%，150%。計算結果如表2所示，表中最后一列是式(1)在已知計算索長，不考慮抗彎剛度時由基頻計算的索力值。

從表中計算結果可以看出:

(1)基于拉緊的弦振動理論的公式在吊桿ξ值較小時，計算索力值將引起很大誤差，且是偏大值。如表中吊桿1的計算索力值相對誤差為10.5%，若用高階頻率計算時，誤差將更大，因為高階頻率受抗彎剛度影響更大;

(2)采用本文介紹的迭代算法時，各參數的誤差基本都在5%以內。其中，計算索長精度最好，主要原因是各階頻率對索長都較敏感，更容易收斂于真實值，而2號、3號、4號吊桿的抗彎剛度值的計算結果誤差較大，是由于這3根吊桿ξ值較大，各階頻率對抗彎剛度相對不敏感，迭代時收斂速度較慢，誤差也較大。

(3)2號、3號吊桿雖然長度不等，但是力學性能基本相同。因此，長、短吊桿的分類不能簡單的只依賴于索的計算長度的大小。用ηn表示考慮和不考慮抗彎剛度時吊桿的第n階頻率的比值，由式(1)、式(8)可得:

表2 吊桿各參數計算結果Tab.2 Estimation results of the parameters

3 工程應用

102國道跨伊通河大橋是三跨飛燕式異性鋼管混凝土拱橋，主跨158 m，橋寬40 m。主拱共設16對吊桿，順橋向間距6 m，規格均為LZM7－61型，索體采用PES(FD)系列新型低應力防腐拉索。如圖4，每套吊桿包含吊桿兩端錨頭、螺母、減震器、和保護罩。吊桿長度L是指每根吊桿兩端錨頭錨墊板之間的理論長度值，L0是最外側減震器間距離。

在施工調索期間，選取其中3根吊桿進行監測，各吊桿的參數見表3。將A104型無線加速度傳感器固定在吊桿上，以200 Hz采樣頻率進行采樣。后將時程序列重采樣并低通濾波將高頻部分濾掉，且去除趨勢項后，得到各吊桿的頻譜圖。吊桿B加速度時程曲線和頻譜圖分別如圖5、圖6所示。

從圖6中明顯識別出吊桿前6階頻率分別為5.792 Hz，11.665 Hz，17.698 Hz，23.896 Hz，30.241 Hz，36.278 Hz。

應用第1節中所述迭代算法，A、B、C 3根吊桿各參數的上、下限如表3中所示，計算結果見表4，表中式(1)的計算長度選取本文的計算結果，即表中第4列。將各計算值與同步張拉吊桿的千斤頂油壓表讀數相比較，本文方法的計算索力值誤差較小，能滿足工程精度要求。

圖4 吊桿錨固詳圖Fig.4 Structure of hanger rod

圖5 吊桿B加速度時程曲線Fig.5 Acceleration time-history responses of rod B

圖6 吊桿B頻譜圖Fig.6 Power spectrum density of rod B

表3 吊桿拉索參數表Tab.3 Parameters of hanger rods

表4 吊桿各參數計算結果Tab.4 Estimation results of the parameters

4 結論

本文分析了吊桿頻率對索力、抗彎剛度和計算長度3參數的靈敏度，同時提出了基于靈敏度分析的優化算法，可同時計算出3參數。該方法有三點優勢:

(1)計算精度高，考慮了抗彎剛度對各階頻率的影響，特別適用于ξ值≤20的短吊桿;

(2)不引入考慮吊桿未知邊界條件的參數，而是用計算長度來修正吊桿兩端等效成簡支約束后的影響;

(3)不僅能計算出索力值，而且還能較精確得到吊桿的抗彎剛度。此方法用于振動法監測吊桿，不需要建立和修正吊桿的有限元模型，可實時用計算索力值和抗彎剛度雙參數對吊桿和整個橋梁結構進行健康狀態評估。

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