基于遺傳算法的磁流變阻尼器Bouc-Wen模型參數(shù)辨識

劉永強(qiáng)，楊紹普，廖英英，張耕寧

(石家莊鐵道大學(xué)，石家莊 050043)

磁流變阻尼器是一種智能化的半主動(dòng)控制實(shí)現(xiàn)元件，通過控制線圈中電流指令的大小可以改變磁流變液所處環(huán)境的磁場強(qiáng)度，磁場強(qiáng)度的大小直接影響著磁流變液的粘度系數(shù)，即影響著液體流經(jīng)閥門的速度，從而實(shí)現(xiàn)阻尼器輸出阻尼力的控制。磁流變阻尼器以反應(yīng)速度快，消耗能量少和控制范圍廣等優(yōu)點(diǎn)著稱［1，2]，但由于其特殊的力學(xué)特性——滯回特性［3]，使得它的數(shù)學(xué)模型十分復(fù)雜。其中，Bouc-Wen模型就是較為典型的一個(gè)，該模型包含有8個(gè)未知參數(shù)，再考慮電流大小、活塞速度和激勵(lì)等因素，參數(shù)識別起來比較困難。

國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者對此進(jìn)行了大量的研究。Ikhouane等人［4，5]曾采用解析的方法對 Bouc-Wen 模型的參數(shù)識別過程做過詳細(xì)的闡述，但由于解析法需要進(jìn)行大量的假設(shè)和定義，過程較為復(fù)雜，因此通用性不佳。Spencer和 Dyke 等人［6，7]將 Bouc-Wen 模型中的參數(shù)均作為常值，利用有約束的非線性優(yōu)化算法進(jìn)行識別，雖然簡單易行，但識別精度不高，且由于不含電流項(xiàng)所得到的模型無法應(yīng)用于半主動(dòng)控制。歐進(jìn)萍、Shen、Liu 以及 Jansen 等人［8～11]曾將部分參數(shù)視為電流的函數(shù)，在此假設(shè)的基礎(chǔ)上利用普通優(yōu)化算法對參數(shù)進(jìn)行識別，但值得指出的是普通優(yōu)化方法在多變量識別方面局限性較大，識別精度較低，且通用性差。

本文擬通過對Bouc-Wen模型的結(jié)構(gòu)和力學(xué)特性進(jìn)行分析，采用擅長解決多變量優(yōu)化問題和全局優(yōu)化問題的遺傳算法對模型的參數(shù)進(jìn)行辨識，并確定了α，c0，k0三個(gè)參數(shù)與電流指令間的函數(shù)關(guān)系和其余5個(gè)參數(shù)的值。

1 磁流變阻尼器力學(xué)試驗(yàn)

磁流變阻尼器的結(jié)構(gòu)如圖1所示，利用MTS力學(xué)性能測試試驗(yàn)臺測量其輸出阻尼力，激勵(lì)采用正弦信號x=A sin(2πft)。共進(jìn)行了5組試驗(yàn)，分別為:A=5 mm、f=0.5 Hz，A=10 mm、f=0.5 Hz，A=20 mm、f=0.5 Hz，A=10 mm、f=1 Hz，A=10 mm、f=1.5 Hz。每組激勵(lì)下分別取0 A～3 A范圍內(nèi)7個(gè)電流指令進(jìn)行測試，共得到35組數(shù)據(jù)。其中，A=10 mm、f=0.5 Hz激勵(lì)下的位移－阻尼力和速度－阻尼力曲線如圖2和圖3所示。由圖中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電流為3 A時(shí)，磁流變阻尼器輸出的阻尼力達(dá)到了飽和。

圖1 磁流變阻尼器結(jié)構(gòu)Fig.1 The structure form of the MR damper

圖2 位移－阻尼力試驗(yàn)曲線Fig.2 Displacement-damping force test curve

圖3 速度－阻尼力試驗(yàn)曲線Fig.3 Velocity-damping force test curve

2 磁流變阻尼器Bouc-Wen模型及數(shù)值仿真

Bouc-Wen模型最早由 Wen于1976年提出［12]，它由滯回系統(tǒng)和彈簧、阻尼器并聯(lián)而成，如圖4所示。Bouc-Wen模型能夠很好地模擬滯回特性，且通用性強(qiáng)，易于數(shù)值處理。其力學(xué)模型描述為:

其中，滯回變量 z由下式?jīng)Q定

圖4 Bouc-Wen模型結(jié)構(gòu)Fig.4 Bouc-Wen model structure

由于存在微分項(xiàng)，采用傳統(tǒng)方法對 Bouc-Wen模型進(jìn)行數(shù)值仿真存在困難。本文在SIMULINK環(huán)境下對Bouc-Wen模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，并采用4階Runge-Kutta法對其進(jìn)行數(shù)值仿真分析，如圖5所示。

Bouc-Wen模型的創(chuàng)始人之一 Wen［12]認(rèn)為 Bouc-Wen模型中參數(shù)γ，β只影響滯回環(huán)的形狀，而不影響阻尼力的大小，參數(shù)n只影響從彈性區(qū)過渡到塑性區(qū)曲線的平順性。

圖5 Bouc-Wen模型在Simulink中的實(shí)現(xiàn)Fig.5 The realization of Bouc-Wen model in simulink

從試驗(yàn)曲線圖1和圖2中可以發(fā)現(xiàn)，電流I的大小對阻尼力幅值的影響較大。那么，到底Bouc-Wen模型中哪些參數(shù)與電流有關(guān)呢?Shen和 Jansen等［9，11]認(rèn)為參數(shù)α，c0與電流之間存在著如下函數(shù)關(guān)系

而 Liu 等人［10]則將參數(shù) α，c0，k0視為電流的多項(xiàng)式函數(shù)。因此，本文假設(shè)參數(shù)α，c0，k0與電流指令間存在著函數(shù)關(guān)系，但具體函數(shù)表達(dá)式待定。

3 Bouc-Wen模型參數(shù)辨識

Bouc-Wen 模型中待辨識的參數(shù)有 α，c0，k0，γ，β，A，n，x0共8個(gè)之多，辨識起來比較復(fù)雜。本文擬采用擅長多變量優(yōu)化和全局搜索技術(shù)的遺傳算法工具箱進(jìn)行參數(shù)的識別工作。

1962 年 Holland［13，14]首次提出一種嶄新的全局優(yōu)化算法——遺傳算法，它借用了生物遺傳學(xué)的觀點(diǎn)，通過自然選擇、遺傳、變異等作用機(jī)制，體現(xiàn)了自然界中“物競天擇、適者生存”進(jìn)化過程，且計(jì)算速度快，效果比較理想，從而被迅速推廣到優(yōu)化、搜索、機(jī)器學(xué)習(xí)等方面，亦在復(fù)雜數(shù)學(xué)模型的參數(shù)識別方面得到廣泛應(yīng)用。MATLAB中遺傳算法的命令為:

其中，fitnessfiunc為適應(yīng)度函數(shù);N var s為待求未知變量的個(gè)數(shù);options為GA的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

GA的線性約束表達(dá)為:

GA的非線性約束用Nonlcon函數(shù)來表達(dá)，它包括:

定義Bouc-Wen模型的適應(yīng)度函數(shù)為:

其中，m為試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù);Fsim和Fexp分別為通過仿真和試驗(yàn)得到的阻尼力大小;和分別為試驗(yàn)數(shù)據(jù)中最大和最小阻尼力值。

遺傳算法是一種隨機(jī)搜索、逐漸尋優(yōu)的算法，其結(jié)果具有隨機(jī)性。對任意一個(gè)MR阻尼器來說，由于Bouc-Wen模型不存在真實(shí)解，也就無法判斷所識別的參數(shù)是否全局最優(yōu)解，因此判斷識別結(jié)果是否準(zhǔn)確的唯一標(biāo)準(zhǔn)就是仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的吻合程度，即適應(yīng)度函數(shù)值。另外，經(jīng)過大量的仿真試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在保持其余參數(shù)固定不變的條件下，各參數(shù)的單調(diào)變化(單調(diào)遞增或遞減)都會(huì)引起滯回環(huán)形狀或阻尼力幅值的單調(diào)變化。Bouc-Wen模型參數(shù)的這種特殊的單調(diào)特性使得只要目標(biāo)函數(shù)足夠小，得到的結(jié)果就應(yīng)該在全局最優(yōu)解的附近。

基于以上認(rèn)識，本文擬采用逐漸縮小參數(shù)取值范圍的方法來提高識別精度。利用幅值為A=10 mm，頻率為f=0.5 Hz的正弦激勵(lì)下電流為0 A～3 A的試驗(yàn)數(shù)據(jù)參與模型參數(shù)辨識，對辨識結(jié)果進(jìn)行數(shù)值仿真，對比其他激勵(lì)狀況下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果間的吻合情況，以驗(yàn)證辨識結(jié)果的正確性。

3.1 參數(shù)x0，n的確定

Bouc-Wen 模型共包括 c0，k0，x0，α，γ，β，A，n 等 8個(gè)未知參數(shù)需要識別。從圖2和圖3可以看到，磁流變阻尼器的滯回曲線不存在偏移現(xiàn)象，因此可知x0=0。對于固定的磁流變液，參數(shù)n為固定值，本文所用磁流變液為 n=2。因此，Bouc－Wen 還有 c0，k0，α，γ，β，A等6個(gè)參數(shù)待識別。

3.2 參數(shù)與電流間函數(shù)關(guān)系的確定

本文采用初始群體個(gè)數(shù)為N=50，采用實(shí)數(shù)編碼方式，選擇算法采用隨機(jī)均勻分布選擇;交叉采用分散交叉的方法，交叉概率取0.8(變異概率為0.2);變異采用高斯函數(shù)方法，生成服從高斯分布、均值為0的隨機(jī)數(shù)加到父代上，尺度取0.5，壓縮取0.7。

由文獻(xiàn)［6，12] 可知Bouc-Wen模型中各參數(shù)均取正值，但由于無具體參數(shù)取值范圍的界定，進(jìn)行識別時(shí)應(yīng)取較寬的取值范圍，如:分別在電流指令為0 A～3 A條件下，對Bouc-Wen模型各參數(shù)進(jìn)行GA辨識運(yùn)算，迭代次數(shù)為500。

由于在參數(shù)取值范圍較寬的條件下得到的參數(shù)適應(yīng)度函數(shù)值較大，I=0 A時(shí)適應(yīng)度值只能達(dá)到f1=5.41e－2。并且由于遺傳算法在局部尋優(yōu)能力較弱，因此需要縮小參數(shù)取值范圍來提高識別精度。

從初步識別得到的參數(shù)值中選擇各自的最小值作為低限值LB，最大值作為高限值UB，再次進(jìn)行GA運(yùn)算。不同的電流指令作用下，各參數(shù)的取值范圍會(huì)稍有不同。以 I=0 A 時(shí)為例，c0，k0，α，γ，β，A 的線性約束取為:

此時(shí)得到的適應(yīng)度值減小為 f2=1.38e－0.02。以此類推，逐漸縮小參數(shù)的取值范圍，參數(shù)識別的精度也逐漸提高。經(jīng)過10組運(yùn)算后，適應(yīng)度值減小到f10=1.36e－0.03。

運(yùn)算得到的各參數(shù)值及誤差如表1所示。繪制各參數(shù)隨電流的變化曲線如圖6所示。

表1 GA運(yùn)算得到的參數(shù)值及誤差值Tab.1 The parameter and error values of GA

圖6 各參數(shù)隨電流的變化趨勢Fig.6 The change trends of parameters under different

從圖6可以發(fā)現(xiàn)γ，β，A為隨機(jī)變化，無明顯規(guī)律可循，α，c0，k0隨電流的變化趨勢則可以近似表達(dá)為3階多項(xiàng)式形式:

因此，需要辨識的參數(shù)由原來的6個(gè)增加為12個(gè):

3.3 12個(gè)參數(shù)的確定

根據(jù)式(9)修改Bouc-Wen仿真模型，并根據(jù)式(6)中的適應(yīng)度函數(shù)，定義包含所有電流的總適應(yīng)度函數(shù)為:

式中，p為試驗(yàn)中電流的個(gè)數(shù)，本文取p=7;fitnrssfunci為單個(gè)電流作用下的適應(yīng)度值。

采用遺傳算法對所有12個(gè)參數(shù)進(jìn)行參數(shù)識別，采用逐步縮小參數(shù)取值范圍的方法提高識別精度，式(9)中衍生出的9個(gè)參數(shù)可在［－1e8，1e8] 范圍內(nèi)取值，其余參數(shù)的取值范圍為［0，1e8] ，最終得到總適應(yīng)度值為fitnrssfuncall=1.107e－3時(shí)的參數(shù)識別結(jié)果為:

因此，Bouc－Wen模型最終可以表示為:

其中:

4 模型驗(yàn)證

模型驗(yàn)證分為擬合結(jié)果驗(yàn)證和預(yù)測驗(yàn)證兩部分。擬合結(jié)果驗(yàn)證是為了驗(yàn)證對參數(shù) α，c0，k0與電流間函數(shù)關(guān)系進(jìn)行的3階多項(xiàng)式假設(shè)的正確性;預(yù)測驗(yàn)證則是為了驗(yàn)證采用遺傳算法辨識得到的Bouc-Wen模型能否真正表達(dá)該磁流變阻尼器的力學(xué)特性。

4.1 擬合結(jié)果驗(yàn)證

首先驗(yàn)證利用逐漸縮小參數(shù)取值范圍的方法得到的Bouc-Wen模型的識別結(jié)果是否為全局最優(yōu)解。

遺傳算法的全局搜索能力較強(qiáng)，但局部搜索能力較弱，得到的結(jié)果無法保證為全局最優(yōu)解。而模式搜索(Pattern Search，PS)則在求解全局最優(yōu)解方面表現(xiàn)優(yōu)異，但它對初始值的設(shè)定依賴性較強(qiáng)。因此本文利用遺傳算法的結(jié)果作為模式搜索的初始值，較寬的取值范圍內(nèi)搜索全局最優(yōu)解，以驗(yàn)證遺傳算法結(jié)果的正確性。

按照式(7)設(shè)定為參數(shù)的取值范圍，將式(11)作為初始值，采用模式搜索法得到的近似的全局最優(yōu)解為:

對比式(11)和式(13)中的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)二者的結(jié)果基本相同，由此可以證明利用逐步縮小取值范圍的方法提高Bouc-Wen模型參數(shù)識別精度的方法是可行的，由此得到的解在全局最優(yōu)解的附近。

對式(12)所示的Bouc-Wen模型進(jìn)行數(shù)值仿真分析，采用 Runge-Kutta法進(jìn)行定步長求解，步長取為1 e－2 s，仿真時(shí)間為2 s，以獲得與試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同的仿真值。當(dāng)正弦激勵(lì)幅值為A=10 mm，頻率為f=0.5 Hz時(shí)，分別繪制仿真與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的位移－阻尼力和速度－阻尼力曲線圖，如圖7所示。

圖7 A=10 mm，f=0.5 Hz時(shí)仿真值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.7 Comparation between simulation results and experiment data when A=10 mm，f=0.5 Hz

從圖中可以看出，仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合，由此可見本文對函數(shù)關(guān)系的假設(shè)是合理的，所得到的曲線擬合和辨識結(jié)果均滿足要求。

4.2 預(yù)測結(jié)果驗(yàn)證

由于Bouc-Wen模型的參數(shù)是通過振幅為A=10 mm，頻率為f=0.5 Hz的正弦激勵(lì)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得的，因此需要用其他幅值和頻率下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證才能證明該模型的正確性。

圖 8 A=5 mm，f=0.5 Hz，I=0.5 A時(shí)仿真值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.8 Comparation between simulation results and experiment data when A=5 mm，f=0.5 Hz，I=0.5 A

預(yù)測結(jié)果驗(yàn)證，即將數(shù)值仿真結(jié)果分別與 A=5 mm，f=0.5 Hz，A=20 mm，f=0.5 Hz，A=10 mm，f=1 Hz，A=10 mm，f=1.5 Hz正弦激勵(lì)中不同電流指令作用下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，如圖8～圖11所示。

圖 9 A=10 mm，f=1 Hz，I=1 A時(shí)仿真值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.9 Comparation between simulation results and experiment data when A=10 mm，f=1 Hz，I=1 A

圖 10 A=20 mm，f=0.5 Hz，I=1.5 A 時(shí)仿真值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.10 Comparation between simulation results and experiment data when A=20 mm，f=0.5 Hz，I=1.5 A

圖 11 A=10 mm，f=1.5 Hz，I=2 A 時(shí)仿真值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.11 Comparation between simulation results and experiment data when A=10 mm，f=1.5 Hz，I=2 A

從圖8～圖11中可以看出，本文通過遺傳算法識別出的Bouc-Wen模型不僅與參與辨識的試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，而且對其他幅值和頻率的正弦激勵(lì)下的MR阻尼器的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)也能準(zhǔn)確反映。

5 結(jié)論

本文在基于Bouc-Wen模型部分參數(shù)與電流指令間存在函數(shù)關(guān)系的假設(shè)上，通過遺傳算法對模型的參數(shù)進(jìn)行識別，采用逐步縮小參數(shù)取值范圍的方法提高識別精度，并采用模式識別方法對該方法識別出的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。最后，采用數(shù)值仿真的方法對函數(shù)關(guān)系的假設(shè)、曲線擬合及參數(shù)識別結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果顯示，由于Bouc-Wen模型參數(shù)特殊的單調(diào)特性，通過逐步縮小參數(shù)取值范圍來提高識別精度的方法可以找到近似的全局最優(yōu)解。識別出的Bouc-Wen模型不僅與參與識別的試驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合，而且還可以準(zhǔn)確表達(dá)其他幅值和頻率正弦激勵(lì)下的MR阻尼器動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

［1] 陳進(jìn)新，王 宇.一種可應(yīng)用于小阻尼力領(lǐng)域的新型磁流變液阻尼器［J] .振動(dòng)與沖擊，2009，28(2):155 －161，166.

［2] 施 亮，何 琳.磁流變阻尼器參數(shù)辨識方法研究［J] .振動(dòng)與沖擊，2009，28(1):131 －133.

［3] Yang S P，Li S H，et al.A hysteresis model for magnetorheological damper［J] ，Int J Nonlinear Sci Numer Simul，2005，6(2):139 －144.

［4] Ikhouane F，Rodellar J.Systems with hysteresis:analysis，identification and control using the Bouc-Wen model［M] .Chichester:John Wildy＆ Sons，Ltd，2007.

［5] Sireteanu T，Giuclea M，Mitu A M.An analytical approach for approximation of experimental hysteretic loops by Bouc-Wen model［J] .Proceedings of the Romanian Academy，Series A，2009，10(1):1 －12.

［6] Spencer B F，Dyke SJ，Sain M K，et al.Phenomenological model of a agnetorheological damper［J] .J.Engrg.Mech.，ASCE，1997(123):230－238.

［7] Dyke SJ.Acceleration feedback control strategies for active and semi-active control systems:modeling，algorithm development，and experimental verification［D] .University of Notre Dame，Indiana，1996.

［8] 歐進(jìn)萍.結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制——主動(dòng)、半主動(dòng)和智能控制［M] .北京:科學(xué)出版社，2003.

［9] Shen Y. Vehicle suspension vibration control with magnetorheological dampers［D] .University of Waterloo，Canada，2005.

［10] Liu Y Q，Matsuhisa H，Utsuno H，et al.Controllable vibration of the car-body using magnetorheological fluid damper［J] .Vehicle System Dynamics Supplement，2004(41):627－636.

［11] Jansen L M，Dyke SJ.Semiactive control strategies for MR dampers:comparative study［J] .Journal of Engineering Mechanics，2000(8):795 ～803.

［12] Wen Y K.Method of random vibration of hysteretic systems［J] .Journal of Engineering Mechanics Division，ASCE，1976，102(EM2):249 －263.

［13] Kristinsson K.System identification and control using genetic algorithms［J] .System，Man and Cybernetics，1992，22(5):1033－1046.

［14] Schneider T R.A genetic algorithm for the identification of conformationally invariant regions in protein molecules［J] .Acta Crystallographica Section D:Biological Crystallography，2002，58(2):195 －208.