基于廣義解調時頻分析和瞬時頻率計算的階次譜方法在齒輪故障診斷中的應用

程軍圣，李寶慶，楊 宇

(湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

齒輪在啟停過程中，其振動信號包含了豐富的狀態信息，一些在平穩運行時不容易反應出來的故障征兆有可能會充分地表現出來。在這個過程中，齒輪的振動信號為變速非平穩信號，而且表現為多分量的調幅-調頻特征［1］，采用傳統方法無法從頻譜分析中有效地提取故障特征［2］。考慮到齒輪啟停過程中的振動信號表現出隨轉速變化的調頻特征，可以采用階次分析方法提取故障特征，該方法可以有效地提取隨轉速變化的振動信號的故障特征［3，4］。

當齒輪發生故障時，其振動信號的幅值和相位都會發生變換，產生幅值和相位調制，而相位的調制信息往往包含了齒輪的故障特征。在幅值調制方面，如包絡解調等方法現在已經研究的比較成熟，文獻［3］就是綜合使用了包絡分析方法和階次分析方法;而在相位調制方面，相關的研究相對來講比較少，本文針對齒輪故障振動信號的相位調制特點提出了基于瞬時頻率計算的階次譜方法，該方法首先計算信號的瞬時頻率，然后對瞬時頻率信號進行等角度重采樣，再對重采樣信號進行頻譜分析得到階次譜，從而提取故障特征，進行齒輪故障診斷。但是，齒輪發生故障時，其振動信號還表現為多分量的調幅-調頻信號，在計算信號的瞬時頻率之前還需要將其分解為若干個單分量的調幅-調頻信號之和，因此，在啟停過程中對齒輪進行故障診斷的關鍵就在于找到一種有效的多分量信號分解方法。目前，常用的方法有EMD(Empirical Mod Decomposition，簡稱 EMD)［5，6］，該方法由于其自適應性而在多分量信號分解中得到了廣泛應用，但是它在理論上還存在頻率混淆、端點效應等問題［7，8］，這些問題仍然處在研究當中。

廣義解調時頻分析方法［9］采用廣義解調把時頻分布是傾斜、非線性或曲線的調制信號變換為時頻分布是線性和平行于時間軸的信號，然后對變換后的信號進行小波包分解，只要選擇合適的小波包分解尺度和分解樹結構，得到的小波分解結果就是瞬時頻率和瞬時幅值都具有物理意義的單分量信號，進一步求出各個單分量信號的瞬時頻率和瞬時幅值，從而實現對調制信號的解調。由廣義解調時頻分析方法得到的各個分量可以是調幅-調頻的，因此該方法非常適用于處理多分量的調幅-調頻信號。而當齒輪存在故障時，其啟停過程中的振動信號表現為多分量的調幅-調頻特征，因此廣義解調時頻分析方法是非常適合處理啟停過程中的齒輪故障振動信號的。本文將廣義解調時頻分析方法引入齒輪故障診斷，提出了基于廣義解調時頻分析和瞬時頻率計算的階次譜方法，首先采用廣義解調時頻分析方法將齒輪瞬態信號分解為若干個單分量信號，然后計算各個分量的瞬時頻率，再對其瞬時頻率信號進行重采樣，最后對重采樣信號進行頻譜分析得到階次譜，從而提取齒輪振動信號的故障特征。仿真和實驗信號的分析結果表明，基于廣義解調時頻分析和瞬時頻率計算的階次譜方法可以有效地應用于啟停過程中的齒輪故障診斷。

1 基于廣義解調時頻分析和瞬時頻率計算的階次譜方法

廣義解調時頻分析方法的關鍵在于找到了一種信號變換方法，能把時頻分布是傾斜、非線性或曲線的信號變換為時頻分布是線性的平行于時間軸的信號，它實際上是廣義傅里葉變換和小波變換的混合體。該方法綜合運用了解析向量和廣義解調的方法，采用小波包分解方法將廣義解調后得到的解析信號分解為若干個分量之和，任何一個分量只包含在小波包時頻空間的一個矩形時頻塊中，在小波包時頻空間的任何一個矩形時頻塊中最多只包含一個分量，從而使得瞬時頻率和瞬時幅值都具有了物理意義，再對各個分量進行逆廣義解調后求出瞬時頻率和瞬時幅值，進一步就可以得到原始信號完整的時頻分布，即Hilbert譜或Hilbert能量譜，其具體步驟可參見文獻［10］。

當齒輪發生故障時，其振動信號的幅值和相位同時發生變化，產生幅值和相位調制，忽略齒輪箱傳遞函數對齒輪振動信號的影響，傳感器拾取的齒輪箱故障振動信號為［11，12］:

式中，Xm為第m階嚙合頻率諧波分量的幅值，φm為第m階嚙合頻率諧波分量的初相位，fs為軸的轉頻，z為齒輪的齒數;dm(t)和bm(t)分別是第m階嚙合頻率諧波分量的幅值和相位調制函數。當齒輪出現局部故障時故障齒隨軸每周嚙合一次，因此dm(t)和bm(t)是以軸轉頻fs為重復頻率的周期函數。進一步將式(1)寫成如下形式

式中:am(t)=Xm［1+dm(t)］，Φm(t)=2πmzfst+ φm+bm(t)

從式(2)中可以看出齒輪故障振動信號是典型的多分量調幅—調頻信號，含有若干個嚙合頻率族，每一個嚙合頻率族am(t)cosΦm(t)又是一個單分量調幅—調頻信號，因此為了提取信號的相位調制信息bm(t)，可以首先采用廣義解調時頻分析方法對齒輪故障振動信號進行分解，將各個頻率族分離得到若干個單分量信號，其中每個單分量信號代表齒輪振動信號的一個以某階嚙合頻率mfz為中心的頻率族或者為噪聲分量。

為進一步研究齒輪振動信號相位調制特性，給出相位調制函數［13］:

式中:Bm，n為調頻指數;βm，n為其相位。

對于經過廣義解調時頻分析方法分解得到的每一個單分量信號可以給出其瞬時頻率，即:

在齒輪啟停過程中，轉頻fs是隨時間變化的，因此式(4)中的b'm(t)也是隨時間變化的函數。因此分解得到的各個分量的瞬時頻率fm(t)是被轉頻fs調制以后的調制信號，也就是說各個分量的瞬時頻率信號fm(t)是一個變調頻信號，需要使用階次分析方法來獲得故障特征。我們可以先對齒輪啟停過程中的振動信號的各個單分量的瞬時頻率fm(t)進行等角度采樣，得到等角度采樣信號Fm(t)，再對Fm(t)進行快速傅里葉變換。

在對瞬時頻率fm(t)等角度采樣前我們需要首先計算各個單分量的瞬時頻率，因此，式(5)定義為基于瞬時頻率計算的階次譜。

基于廣義解調時頻分析和瞬時頻率計算的階次譜方法步驟如下:

(1)根據齒輪轉速信號r(t)估計相位函數s(t)。

(2)采用文獻［10］中提出的改進的廣義解調時頻分析方法對齒輪振動信號x(t)進行分析，得到若干個單分量信號 c1(t)，c2(t)，…，cN(t)。

(3)采用Hilbert變換計算各個單分量信號ci(t)的瞬時頻率，得到瞬時頻率信號fm，i(t)。

(4)對瞬時頻率信號fm，i(t)進行等角度重采樣，得到重采樣信號Fm，i(t)。

(5)對重采樣信號Fm，i(t)進行頻譜分析，得到階次譜。

2 應用

2.1 仿真信號分析

考察式(6)所示的多分量調幅-調頻信號:

該信號及其兩個分量x1(t)和x2(t)的時域波形如圖1所示，采樣頻率為1 024 Hz。先直接采用MODWPT對仿真信號進行分析［13］，近似地估計出相位函數s(t)=110t2，然后確定分解層數J=2，選擇長度L=22的Fejer-Korovkin小波濾波器對仿真信號進行廣義解調時頻分析，得到的分解結果如圖2所示。

圖1 仿真信號及其分量的時域圖形Fig.1 The time waves of the simulated signal and its components

圖2 仿真信號的廣義解調時頻分析分解結果Fig.2 The generalized demodulation time-frequency analysis results of the simulated signal

假設給出的仿真信號是某一轉頻fs(t)=120t的齒輪振動信號，對圖2中的分量c1(t)、c2(t)采用 Hilbert變換計算其瞬時頻率，再進行等角度采樣，進行頻譜分析后得到階次譜，如圖3和圖4所示。從圖3中可以看出，在階次為1處有明顯的峰值，從圖4中可以看出，在階次為2處有明顯的峰值，說明兩個分量信號被轉頻調制。因此，基于廣義解調時頻分析和瞬時頻率計算的階次譜方法可以有效地提取非平穩轉速下相位調制信號的調制信息，可以有效地應用于非平穩轉速下的齒輪故障診斷。

2.2 齒輪故障分析

圖5 斷齒齒輪的振動加速度信號Fig.5 The vibration accretion signal of the broken gear

為驗證方法的有效性，在實驗臺上進行了正常、斷齒齒輪兩種工況的瞬態實驗，采用模數為2 mm，齒數為55的兩個標準直齒輪，齒輪轉動軸上負載的轉動慣量為 0.03 kg·m2。在齒輪箱上拾取加速度振動信號，通過光電式轉速傳感器拾取轉速信號，采樣頻率為8 192 Hz。圖5是斷齒齒輪振動加速度信號的時域波形，其轉速曲線如圖6所示。

圖6 斷齒齒輪的轉速信號Fig.6 The ration speed signal of the broken gear

對振動加速度信號直接進行基于瞬時頻率計算的階次譜分析，結果如圖7所示，從圖中可以看到，雖然存在與轉頻有關的階次1，但是還含有幅值更高的與轉頻無關的階次，其原因在于振動信號不僅是一個多分量的調幅—調頻信號，其各個分量的瞬時頻率隨時間發生變化，而且還含有較強的噪聲，從而導致振動信號故障特征不明顯，因此直接對其分析無法判斷齒輪的工作狀態，需要對其做進一步處理。

圖7 斷齒齒輪振動信號基于瞬時頻率計算的階次譜Fig.7 The order spectrum based on the instantaneous frequency calculation of the broken gear vibration signal

進一步對廣義解調時頻分析的各個分量使用基于瞬時頻率計算的階次分析方法進行分析，結果顯示第1個分量c1(t)和第2個分量c2(t)的階次譜(分別如圖9和圖10所示)在階次為1處都有明顯的最高峰值，對應著齒輪的轉頻，說明齒輪振動信號被轉頻成分幅值調制了，這正是齒輪出現斷齒故障時振動信號的特征，與實際情況吻合。

圖11和圖12分別是正常齒輪的振動加速度信號及其轉速曲線，采用上述同樣方法對齒輪振動加速度信號的各個分量進行分析，得到各個分量的階次譜，分別如圖13～圖16所示，從這些圖中都未能找到與轉頻有關的階次。

圖12 正常齒輪的轉速信號Fig.12 The ration speed signal of the normal gear

實驗結果分析顯示，基于廣義解調時頻分析和瞬時頻率計算的階次譜方法能夠有效地提取齒輪故障特征，可以進行齒輪故障診斷。

3 結論

階次分析的實質是將時域的非平穩信號通過等角度采樣轉換為角域的穩定信號，以便更好地反映與轉速相關的信息。而當齒輪發生故障時，在啟停過程中其振動信號表現為多分量的調幅—調頻特征，因此為了提取故障信號的調頻特征，一方面需要將多分量的調幅—調頻信號進行分離，另一方面，對分離得到的單分量信號計算其瞬時頻率后進行階次分析。基于此，本文提出了基于廣義解調時頻分析和瞬時頻率計算的階次譜方法，采用廣義解調時頻分析方法將齒輪瞬態信號分解為若干個單分量信號，然后計算各個分量的瞬時頻率，再對其瞬時頻率信號進行重采樣，最后對重采樣信號進行頻譜分析得到階次譜，就可以提取與轉頻有關的調頻特征，從而有效地進行故障診斷。值的提出的是，在采用本文所提出的方法時需要估計相位函數，這在實際應用中可能會有一定的困難，如何針對不同的實際問題估計相位函數還需要做進一步的研究。

［1］ Ma J，Li C J.Gear defect detection through model based wideband demodulation of vibrations［J］.Mechanical System and Signal Process，1996，10(5):653-665.

［2］康海英，欒軍英，田 燕，等.階次跟蹤在齒輪磨損中的應用［J］.振動與沖擊，2006，25(4):112-118.

［3］康海英，欒軍英，鄭海起.基于階次跟蹤和經驗模態分解的滾動軸承包絡解調分析［J］.機械工程學報，2007，43(8):119-122.

［4］ Fyfe K R，Munck E D S.Analysis of computed order tracking［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，1997，11(2):187-205.

［5］Huang N E，Shen Z，Long S R.A new view of non-linear water waves:the Hilbert spectrum［J］.Annu.Rev.Fluid Mech，1999，3l:4l7-457.

［6］Huang N E，Shen Z，Long S R.The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis［J］.Proc.R.Soc.Lond.A，l998，454(1971):903-995.

［7］Lei Y，He Z，Zi Y Y.Application of the EEMD method to rotor fault diagnosis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23:1327-1338.

［8］Qi K Y，He Z，Zi Y Y.Cosine window-based boundary processing method for EMD and its application in rubbing faultdiagnosis［J］. MechanicalSystems and Signal Processing，2007，21(7):2750-2760.

［9］ Olhede S，Walden A T.A generalized demodulation approach to time-frequency projections for multi-component signals［J］.Proceedings of the Royal Society A，2005，461(2059):2159-2l79.

［10］程軍圣，楊 宇，于德介.基于廣義解調時頻分析的多分量信號分解方法［J］.振動工程學報，2007，20(6):563-569.

［11］ McFadden P D.Examination of a technique for the early detection of failure in gears by signal processing of the time domain average of the meshing vibration［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，1987，(1):173-183.

［12］ Dalpiaz G，Ribola A，Rubini R.Effectiveness and sensitivity of vibration processing techniques for local fault detection in gears［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2000，14(3):387-411.

［13］ Olhede S，Walden A T.The Hilbert spectrum via wavelet projections［J］.Proc.R.Soc.London.A，2004，460(2044):955-975.